上海市三林中学高三数学理测试题含解析

上海市三林中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设是方程的解，则属于区间
（）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
参考答案：
C
略
2. “不等式x（x－2）＞0”是“不等式＜1”成立的
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
参考答案：
C
3. 右图是计算值的一个程序框图，其中判断框内
应填入的条件
是( ) A．B．
C．D．
参考答案：A
略
4. 在空间中，a, b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是
A.若 a //, b//，则 a//b
B.若a,b,则a丄b
C.若a//,a//b,则b//
D.若//，a,则a//
参考答案：
D
5. 已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax﹣2与平面区域D有公共点，则实数a的取值范围为（）
A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣，]参考答案：
C
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：画出可行域（如图阴影部分所示），直线y=ax﹣2恒过点A（0，﹣2），
则直线与区域D有公共点时满足a≥k AB或a≤k AC．
而，，
则a≥2或a≤﹣2，
故选：C
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．
6. 若等差数列的公差，且成等比数列，则（）
A．2 B． C． D．
参考答案：
D
略
7. 已知函数f（x）=ax3﹣x2+1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣2）C．（，+∞）D．（，+∞）
参考答案：
D
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】通过讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，结合函数的单调性从而确定a的范围即可．
【解答】解：当a=0得，函数有两个零点，不合题意；
当a≠0时，f'（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1），由f'（x）=0，得，
①若a＜0，则，由f'（x）＜0得或x＞0；由f'（x）＞0得，
故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，又f（0）=1，故函数f（x）存在零点x0＞0，如图12﹣1，此情况不合题意；
②若a＞0，则，由f'（x）＜0得；由f'（x）＞0得x＜0或，
故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
如图12﹣2，要使函数f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，
则必须满足，由得．
故选：D．
8. 下列命题中正确的是（（）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
D．命题p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；
B均值定理等号成立的条件判断；
C或的否定为且；
D对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论．
【解答】解：A、若p∨q为真命题，p和q至少有一个为真命题，故p∧q不一定为真命题，故错误；
B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必须a=b时，等号才成立，故不是充分必要条件，故错误；
C、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误；
D、对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论，
命题p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正确．
故选：D．
9. 函数y=ax 2+bx 与
(ab ≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能
是 ( ）
参考答案：
D
10. 设集合P={3，log 2a}，Q={a ，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=( )
A ．{3，0}
B ．{3，0，1}
C ．{3，0，2}
D ．{3，0，1，2}
参考答案：
B
考点：并集及其运算． 专题：计算题．
分析：根据集合P={3，log 2a}，Q={a ，b}，若P∩Q={0}，则log 2a=0，b=0，从而求得P∪Q． 解答： 解：∵P∩Q={0}， ∴log 2a=0
∴a=1
从而b=0，P∪Q={3，0，1}， 故选B ．
点评：此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （文）过点
与曲线
相切的直线方程是
.
参考答案：
3x-y-2=0或3x-4y+1=0
略
12. 设点的极坐标为，直线过点且与极轴垂直，则直线的极坐标方程为
_______________．
参考答案：
略 13. 点
在曲线C ：
上运动，
，且t 的最大
值为b ，若，则的最小值为_____.
参考答案：
1 【分析】 首先可确定曲线
表示圆心为
，半径为的圆；令
，则
；
的最大值为半径与圆心到点的距离之和，利用两点间距离公式求得
，
代入中利用最大值为可求得，将所求的式子变为
，利用基本不等式求得结果.
【详解】曲线可整理为：
则曲线
表示圆心为
，半径为的圆
设，则表示圆上的点到的距离
则
，整理得：
又（当且仅当，即
，
时取等号）
，即
的最小值为
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值的求解方法，从而可得到
之间的关系，从而配凑出符合基本不等式的形式.
14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为
，若，则角B 等于.
参考答案：
考点：正弦
定理
15. 以双曲线
的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程
是
_____.
参考答案：
双曲线的渐近线为，不妨取，即。

双曲线的右焦点为，圆心
到直线
的距离为，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为。

16. 已知为虚数单位，则
= .
参考答案：
略
17. 观察下列式子：
根据上述规律，第个不等式
应该为 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本大题12分）
已知函数，其图象上相邻两条对称轴
之间的距离为
，且过点．
（I ）求
和
的值；
（II ）求函数的值域．
参考答案：
（Ⅰ）
3分
由题有：，则， 4分
代入点有，则，又，则
6分
（Ⅱ）由题有： 7分
， 9分
则函数的值域为. 12分
19. 设函数
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得
成立，试求正整数的最大值。

参考答案：
解：（1）函数的定义域为
当时，，∴
由得随变化如下表：
故，，没有极大值．
（2）由题意，
令得，
若，由得；由得
若，①当时，，或，；，
②当时，
③当时，或,;，
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为
（3）当时，
∵，∴∴，
由题意，恒成立。

令，且在上单调递增，
，因此，而是正整数，故，
所以，时，存在，时，对所有满足题意，∴
略
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，，，是平面上一点，使三角形的周长为．
⑴求点的轨迹方程；
⑵在点的轨迹上是否存在点、，使得顺次连接点、、、所得到的四边形
是矩形？若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请简要说明理由．
参考答案：
解：⑴依题意，……1分，
，所以，点的轨迹是椭圆……2分，
，......3分，所以，，，椭圆的方程为 (4)
分，因为是三角形，点不在直线上（即不在轴上），所以点的轨迹方程为（）……5分．
⑵根据椭圆的对称性，是矩形当且仅当直线经过原点，且是直角……6分，此时（或）……7分，设，则……9分，解得，……10分，所以有2个这样的矩形，对应的点、分别为、或、……12分．
略
21. 已知向量, , .
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若, , 且, 求
参考答案：
略
22. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝2x2－2ax＋b，f（－1）＝－8．对x∈R，都有
f（x）≥f（－1）成立；记集合A＝{ x | f（x）＞0}，B＝{ x | | x－t |≤1 }．
（Ⅰ）当t＝1时，求（R A）∪B；
（Ⅱ）设命题P：A∩B≠，若┐P为真命题，求实数t的取值范围．
参考答案：
由题意（－1, －8）为二次函数的顶点，∴ f（x）＝2（x＋1）2－8＝2（x2＋2x－3）A＝{ x | x＜－3或x＞1}．
（Ⅰ）B＝{ x | |x－1|≤1}＝{ x| 0≤x≤2}．
∴ （R A）∪B＝{ x | －3≤x≤1}∪{ x| 0≤x≤2}＝{ x | －3≤x≤2}．（Ⅱ）B＝{ x | t－1≤x≤t＋1}．
，
∴实数t的取值范围是[－2, 0]．。