中考数学复习课件 第40课 探索型问题

真题评讲
类型一 规律探索型问题

【精选考题 1】 (2012·浙江绍兴)在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相
邻的两盏灯之间有 3 棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离都是 10 m，如图
40－1.第一棵树左边 5 m 处有一个路牌，则从此路牌起向右 510 m～550 m 之
间树与灯的排列顺序是
()
3，4 3
3，
－2 P2 3
3，4 3
3
；当∠PAO＝90°时，P3
34 9
3，4 3
3 ；当∠POA＝90°时，
－16 3，4 3
P4 9
3.
名师点拨
存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型 问题，要注意相关的条件，可以先假设结论成立，然后通 过计算求相应的值，再作存在性的判断．
【预测演练 3】 如图 40－7，在△ABC 中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm， 点 D 是 BC 边的中点．点 P 从点 B 出发，以 a(cm/s)(a>0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动；点 Q 同时以 1 cm/s 的速度从点 D 出发，沿 DB 匀 速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运 动，设它们运动的时间为 t(s)． (1)若 a＝2，△BPQ∽△BDA (点 P 与点 D 对应)，求 t 的值； (2)设点 M 在边 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形． ①若 a＝5，求 PQ 的长； 2 ②是否存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求 出 a 的值；若不存在，请说明理由．
x
＋b 2a
2－ b2 ，∴顶点坐标是 4a
－ b ，－ b2 2a 4a
.
又∵该顶点在直线
y＝k x(k ≠0)上，∴k·
－b 2a
＝－ b2 . 4a
∵b≠0，∴b＝2k.
(3)∵顶点 A1，A2，…，An 在直线 y＝x 上，
∴可设 An(n，n)，点 Dn 所在的抛物线顶点坐标为(t，t)．
名师点拨
结论探索型问题，通常给出相应的条件，然后探索未 知的结论．解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后 经过推理论证，最后作出正确的判断，切忌想当然的确定 结论．
【预测演练 2】 小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题 进行了认真的探索．
图 40－5 思考题：如图 40－5，一架 2.5 m 长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时 B 到墙 C 的距离为 0.7 m．如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，那么点 B 将向外移动多少米？ (1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
点评：(1)本题是一道从特殊到一般再到特殊的探索题，主要考查二次函数的相关 知识和正方形的性质，难度中等． (2)用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征和顶点 坐标公式以及正方形的性质是解答本题的关键． (3)解答第(3)小题时，要注意 n 的取值范围．
解析：(1)－1 a＝－ 1 或 am＋1＝0［∵顶点坐标为(1，1)， m
真题评讲
类型三 存在性探索型问题
【精选考题 3】 (2013·浙江湖州)如图 40－6①，O 为坐标原点，点 B 在 x 轴的
正半轴上，四边形 OACB 是平行四边形，sin∠AOB＝4，反比例函数 y＝k(x
5
x
＞0)在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F.
(1)若 OA＝10，求反比例函数的解析式；
解析：(1)如解图 1，过点 A 作 AH ⊥OB 于点 H. ∵sin ∠A OB ＝A H ＝4，OA ＝10，∴A H ＝8，∴OH ＝6，
AO 5 ∴点 A 的坐标为(6，8)． 根据题意，得 8＝k，解得 k＝48.
6 ∴反比例函数的解析式为 y＝48(x＞0)．
x
(2)如解图 1，过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M.设 OA＝a(a＞0)，∵sin∠AOB
答案：B
【预测演练 1－2】 如图 40－3 所示的图形都是由同样大小的
平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共
有 1 个平行四边形，第②个图形中一共有 5 个平行四边形，
第③个图形中一共有 11 个平行四边形，……，则第⑥个图
形中平行四边形的个数为
()
图 40－3
A．55
B．42
C．41
由(1)(2)可得，点
Dn
所在的抛物线解析式为
y＝－1x t
2＋2x.
∵四边形 AnBnCnDn 是正方形，∴点 Dn 的坐标是(2n，n)，
∴－1(2n)2＋2·2n＝n，∴4n＝3t. t
∵t，n 是正整数，且 t≤12，n≤12，∴n＝3，6 或 9.
∴满足条件的正方形边长是 3，6 或 9.
专题解读
1．探索型问题： 探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活 动．探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力，主 要包括： (1)规律探索型问题； (2)结论探索型问题； (3)存在性探索型问题； (4)动态探索型问题． 2．解答探索型问题的注意事项： 由于探索型问题的题型新颖，综合性强，思维能力要求高，结 构独特，因此解题时并无固定模式，它要求解题者具有较扎实 的基本功，较强的观察力，丰富的想象力及综合分析问题的能 力．解题时要注意问题情境，注重思维的严密性，注意寻找问 题解决的切入口．有时也可采用以下方法来寻找突破口：(1)利 用特殊值(特殊点，特殊数量，特殊线段等)进行归纳，概括；(2) 反演推理法(反证法)；(3)分类讨论法；(4)类比猜想法．
＝S
△OBF＋S
△B
MF＝
6＋ 3 a2.∵点 50
A，F
都在
y＝k的图象上，∴ 6 a2＝6＋ 3 a2，∴a＝10
x
25
50
3
3，
∴OA＝130 3，∴AH＝83 3，OH＝2 3.∵S□OACB＝OB·AH＝24，∴OB＝AC＝3 3，∴
C 5 3，38 3 .
8 (3)存在三种情况：当∠APO＝90°时，在 OA 的两侧各有一点 P，分别为：P1 3
答案：B
名师点拨
规律探索型问题通常考查数的变化规律，然后用代数 式表示这一规律，或者根据规律求出相应的数值．解题时， 要通过观察，猜想，验证等步骤，应使所得到的规律具有 普遍性，只有这样才能应用于解题．
【预测演练 1－1】 探索以下规律：
图 40－2 则根据规律，从 2013 到 2015 的箭头方向是
星形 AFBDCE，它的面积为 1，取△ABC 和△DEF 各边中点，连结成正六角
星形 A1F1B1D1C1E1，如图 40－4②中阴影部分；取△A1B1C1 和△D1E1F1 各边
中点，连结成正六角星形 A2F2B2D2C2E2，如图 40－4③中阴影部分；如此下
去，…，则正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面积为
()
解析：以 4 个数字为一组，观察每组所给的 4 个数字组成的正方形和它们 的位置，
发现被 4 整除的数字在正方形的左上角，被 4 除余 1 的数字在正方形的左 下角，被 4 除余 2 的数字在正方形的右下角，被 4 除余 3 的数字在正方形 的右上角． 2013÷4＝503…1， 2015÷4＝503…3， ∴2013 在 4 个数字组成的正方形的左下角，2015 在四个数字组成的正方 形的右上角，故选 B.
图 40－1
点评：(1)本题考查图形的变化规律，培养学生观察和归纳的能力，难度较大． (2)通过计算，归纳出第 n 个灯的里程数是解题的关键．
解析：根据题意得：第一个灯的里程数为 15 m，第二个灯的里程数为 55 m，第 三个灯的里程数为 95 m，…，第 n 个灯的里程数为 15＋40(n－1)＝(40n－25)m， 故当 n＝14 时，40n－25＝535(m)处是灯，则 515 m，525 m，545 m 处均是树， 故应该是树，树，灯，树．
＝4，∴A 5
H
＝4a，OH 5
＝3a，∴S 5
△A
OH＝
1A 2
H·OH
＝ 6 a2.∵S 25
△A
OF＝12，
∴S□OACB＝24.∵F 为 BC 的中点，∴S△OBF＝6.∵BF＝12a，∠FBM＝
∠A
OB
，∴F
M
＝25a，B
M
＝130a，∴S
△B
MF
＝12B
M·F
M
＝ 3 a2，∴S 50
△FOM
－ b ＝1，
2a
a＝－1，
∴ －b2＝1， 解得 b＝2.
4a
即当顶点坐标为(1，1)时，a＝－1.
－ b ＝m， 2a
a＝－ 1 ，
当顶点坐标为(m
，m )，m
≠0
时，
－b2＝m ， 4a
解得
b＝2.
m
∴a 与 m 之间的关系式是：a＝－m1 或 am＋1＝0.］
(2)∵a≠0，
∴y＝ax2＋bx＝a
(2)若点 F 为 BC 的中点，且△AOF 的面积 S＝12，求 OA 的长和点 C 的坐标；
(3)在(2)中的条件下，过点 F 作 EF∥OB，交 OA 于点 E(如图 40－6②)，点 P
为直线 EF 上的一个动点，连结 PA，PO.是否存在这样的点 P，使以 P，
O，A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐
0.9 m 吗？为什么？ ②在“思考题”中，梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距
离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题．
解析：(1)(x ＋0.7)2＋22＝2.52，0.8，－2.2(舍去)，0.8． (2)①不会是 0.9 m．理由如下： 若 AA1＝BB1＝0.9， 则 A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6， 1．52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25. ∵B 1C2＋A 1C2≠A 1B 12， ∴该题的答案不会是 0.9 m. ②有可能．理由如下：
D．29
解析：∵图②中平行四边形有 1＋2＋2＝2×3－1＝5(个)，图
③中平行四边形有 1＋2＋3＋2＋3＝3×4－1＝11(个)，图 中平
行四边形有 n(n＋1)－1＝(n2＋n－1)个，∴图⑥中的平行四边
形的个数为 6×7－1＝41.
答案：C
【预测演练 1－3】 如图 40－4①，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角
．
图 40－4
解析：∵A1，F1，B1，D1，C1，E1 分别是△ABC 和△DEF 各边中点， ∴正六角星形 AFBDCE∽正六角星形 A1F1B1D1C1E1，且相似比为 2∶1. ∵正六角星形 AFBDCE 的面积为 1，
∴正六角星形 A1F1B1D1C1E1 的面积为 14.
同理：正六角星形
标；若不存在，请说明理由．
图 40－6
点评：(1)本题主要考查反比例函数，三角函数及四边形的综合，其中第(3) 小题是存在性探索，总体难度中等． (2)求解本题时，要运用数形结合和分类讨论的思想，注意(3)有三种情况， 分别根据当∠APO＝90°时，在 OA 的两侧各有一点 P，得出 P1，P2；当 ∠PAO＝90°时，求出 P3；当∠POA＝90°时，求出 P4 即可，不要漏解．
A2F2B2D2C2E2
的面积为
1 4
2＝ 1 ，… 16
1 ∴正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面积为 4 4＝2516.
答案： 1 256
真题评讲
类型二 结论探索型问题
【精选考题 2】 (2013·福建福州)我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以表 示为 y＝ax2＋bx(a≠0)． (1)对于这样的抛物线： 当顶点坐标为(1，1)时，a＝ ； 当顶点坐标为(m，m)，m≠0 时，a 与 m 之间的关系式是 ； (2)继续探究，如果 b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线 y＝kx(k≠0)上，请用 含 k 的代数式表示 b； (3)现有一组过原点的抛物线，顶点 A1，A2，…，An 在直线 y＝x 上，横坐标依 次为 1，2，…，n(为正整数，且 n≤12)，分别过每个顶点作 x 轴的垂线， 垂足记为 B1，B2，…，Bn，以线段 AnBn 为边向右作正方形 AnBnCnDn，若 这组抛物线中有一条经过 Dn，求所有满足条件的正方形边长．
解：设点 B 将向外移动 x (m)，即 BB1＝x， 则 B1C＝x＋0.7，A1C＝AC－AA1＝ 2.52－0.72－0.4＝2. 而 A1B1＝2.5，在 Rt△A1B1C 中，由 B1C2＋A1C2＝A1B12，得方程 _______________， 解方程，得 x1＝__________，x2＝__________， 故点 B 将向外移动__________m； (2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题： ①在“思考题”中，将“下滑 0.4 m”改为“下滑 0.9 m”，那么该题的答案会是
设梯子顶端从 A 处下滑 x (m)，点 B 向外也移动 x (m)， 则有(x ＋0.7)2＋(2.4－x )2＝2.52， 解得 x＝1.7 或 x＝0(舍去)． 故当梯子顶端从 A 处下滑 1.7 m 时，点 B 向外也移动 1.7 m，即梯子顶端 从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离有可能相等．