2012届高考理科数学第二轮总复习专题导练：平面向量及其运算最新版

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[0，2 ) 3
P2：a b
1
(2，] 3
P3：a
b
1
[0， ) 3
P4：a b
1
(，] 3
其 中 的 真 命 题 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
解 析 ： 由 | a b | 1可 得 a 2 2a b b 2 1， 因 为 a与 b
ka b k 2 2kcos 1,因 为 ka b ka b ， 所 以 k 2 2kcos 1 k 2 2 kcos 1， 有 2kcos 2 kcos ， 因 为 k 0， 故 cos 0， 又 因 为 0 ，0 ， 所 以 .
分析：因为两向量垂直的充要条件是其数量积 等于0，故只需检验其数量积即可；第(2)问由 条件出发，利用模公式运算．
解析：1因为 a b a b
a2 a b ba b2 a2 b2 a 2 b 2
(cos2 sin 2 ) (cos2 sin 2 )
所以k16. 13
2设d (x, y)，则d c (x4，y1)，ab 2,4，
由题意得4xx4422y y11250，
得xy
31或xy
5 .
3
所以d (3，1)或5,3．
例2 如图所示，在ABO中，
OC 1 OA，OD 1 OB，AD与
变 式 2 . 在 A B C 中 ， C D 2 D B ， 设 A D m A B n A C (m ， n 为 实 数 )， 则 m n _ _ _ _ _ _ _ _ .
4
2
BC相交于点M .设OA a，OB b.
试用a和b表示向量OM .
分析：该题以平面图形为背景，故考虑向 量的加减的几何表示和平面向量基本定 理．
解 析 ： 过 点 D 作 D N O A， 交 B C 于 点 N . 由平面几何性质得，
D N 1 O C 1 O A 1 C A， 所 以 M N 1 C M .
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变式1.平面内给定三个向量a3,2，b1,2， c4,1，求： 1若akc 2ba，求实数k； 2若d满足dc ab，且dc 5，求d.
解析： 1akc34k,2k， 2ba5,2，
所以234k52k0，
2
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6
6
又 点 N 是 BC中 点 ， 所 以 CM 6 CN 3 CB.
7
7
所 以 OM OC CM OC 3CB 7
O C 3 (O B O C ) 7
3 O B 4 O C 3 O B
7
所 以 O M 1 a 3 b. 77
11 0. 所以a b与a b互相垂直．
2 ka b (kcos cos ， ksin sin )，
ka b (kcos cos ， ksin sin )，
所 以 ka b k 2 2kcos 1，
单 位 向 量 ， 所 以 a b 1 ， 故 ( ， ]， 反 之 也
2
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成 立 ， 故 真 命 题 是 P1， P4 .
5.(2010南京市高三第一次调研测试) 如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB 的三等分点，M，N是线段AB的三等分点， 若OA6，则MDNC的值是____ .
解 析 ： 因 为 a 2 b(3 ， 3 )， 所 以 由 a 2 b 与 c共 线 ， 得 33 3 k0 ， 解 得 k 1 .
4 .(2 0 1 1 全 国 新 课 标 卷 )已 知 a与 b均 为 单 位 向 量 ， 其
夹 角 为 θ， 有 下 列 四 个 命 题 ：
P1：a b
解 析 ： 由 ab2ab4， 得 ab4， 所 以
co〈 sa， b〉 ab 1， 所 以 〈 a， b〉 120. |a||b| 2
3 .(2 0 11北 京 卷 )已 知 向 量 a(3 ， 1 )， b(0 ， 1 )， c(k ， 3)． 若 a2 b 与 c共 线 ， 则 k_ _ _ __ .
平面向量及其运算
1.(2011 江苏卷)已知e1，e2是夹角为23的两个 单位向量，a e1 2e2，b ke1 e2，若a b 0，
4
则k的值为______5_________.
2.(2010·北京市海淀区高三统一练习)若向量a， b满足：(a-b)(2a+b)=-4,且 |a|=2,|b|=4，则a与b 的夹角等于____.
解析：连结OD，OC
MD NC (ODOM) (OCON)
OD OCOD ONOM ONOM ON
661 62(1)62(1)22
2
2
2
26.
例1已知a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中 0π.
1求证：ab与ab互相垂直； 2若kab与kab(k0)的长度相等，求-.
均 为 单 位 向 量 ， 所 以 a b 1 ， 故 [0，2 )．
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3
当 [0，2 )时 ， a b 1 ， 所 以 | a b |2 a 2 2a
3
2
b b 2 1， 即 | a b | 1；
由 | a b | 1可 得 a 2 2a b b 2 1， 因 为 a与 b均 为