2019年秋季湘教版八年级数学上册 教案 5.3 第2课时 二次根式的混合运算1

第2课时 二次根式的混合运算
1．了解二次根式的混合运算顺序；
2．会进行二次根式的混合运算．(重点，难点)
一、情境导入
计算：
(1)x (x ＋1)；
(2)(3x 2y 2－2x 2y ＋xy 2)÷xy ；
(3)(2x ＋3y )(2x －3y )；
(4)(x －y )2＋(x －2y )2.
在上述运算中，如果把x ，y 换成二次根式，以上运算怎样进行？
二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算
【类型一】 二次根式的混合运算
计算：
(1)48÷3－
12×12＋24； (2)12÷43×23
－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．
解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6； (2)
12÷43×23－50＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22
－52＝－92
2. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．
【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算
计算：
(1)(5＋3)(5－3)； (2)(32－23)2－(32＋23)2.
解析：(1)用平方差公式计算；(2)先分别用完全平方公式计算，最后再合并．
解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2； (2)(32－23)2－(32＋23)2＝18－126＋12－(18＋126＋12)＝－24 6.
方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．
【类型三】 二次根式的化简求值
先化简，再求值：x ＋xy
xy ＋y ＋xy －y x －xy
，其中x ＝3＋1，y ＝3－1. 解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．
解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋y xy
. ∵x ＝3＋1，y ＝3－1，
∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2，
∴原式＝232＝ 6. 方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．
【类型四】
33－2，求这个三角形的面积．
解析：根据三角形的面积公式进行计算．
解：这个三角形的面积为：12×(63＋22)×(33－2)＝12
×2×(33＋2)×(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.
方法总结：列出解决实际问题的关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．
探究点二：二次根式的分母有理化
【类型一】 分母有理化
计算：
(1)215＋122
； (2)3－2
3＋2＋3＋23－2.
解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把
3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2
＝230＋262＝30＋6； (2)3－2
3＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2
＝
5－26＋5＋26＝10.
方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以一项的二次根式，使得分母能写成a ×a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .
解析：，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分
解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14
， 14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13
， ∵15＋14＞14＋13＞0，
方法总结：两个正分数比较大小时可把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．
三、板书设计
1．二次根式的混合运算
2．分母有理化
二次根式的混合运算可类比整式的混合运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯．。