上海市民办文绮中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析

上海市民办文绮中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 当x∈R时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[0,4) D．(0,4)
参考答案：
C
略
2. （理科）已知如图，四面体中，分别在棱上，且
则两点到平面的距离之比为 ( ).
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
3. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品的销售情况，需从这600个销售点中抽取一容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是（）
A. 分层抽样，系统抽样
B. 分层抽样，简单随机抽样
C. 系统抽样，分层抽样
D. 简单随机抽样，分层抽样
参考答案：
B
4. 已知双曲线的右焦点为F，过F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则双曲线的离心率的范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
5. 若|x﹣s|＜t，|y﹣s|＜t，则下列不等式中一定成立的是（）
A．|x﹣y|＜2t B．|x﹣y|＜t C．|x﹣y|＞2t D．|x﹣y|＞t
参考答案：
A
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】由题意分别解两个绝对值不等式，根据不等式的运算性质，利用两个同向不等式相加即可．【解答】解：∵|x﹣s|＜t?﹣t＜x﹣s＜t ①
∵|y﹣s|＜t?﹣t＜y﹣s＜t?﹣t＜s﹣y＜t ②
根据不等式的性质①+②得
﹣2t＜x﹣y＜2t
∴|x﹣y|＜2t，
故选：A．
6. 如图甲所示，三棱锥的高分别在和
上，且，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥的体积与的变化关系，其中正确的是（）
参考答案：
A
, ,
是抛物线的一部分，答案A
7. 某人进行了如下的“三段论”推理：
如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点。

你认为以上推理的
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 结论正确
参考答案：
A
8. 已知P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( ).
A.双曲线的焦点到渐近线的距离为;
B.若，则e的最大值为;
C.△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为b ;
D.若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则
参考答案：
D
略
9. 已知方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围为 ( )
(A) (B)(C) (D)
参考答案：
D
10. 能推出{a n}是递增数列的是（）
A．{a n}是等差数列且{}递增
B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且{}递增
C．{a n}是等比数列，公比为q＞1
D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜1
参考答案：
B
【考点】数列的函数特性．
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其单调性即可判断出结论．
【解答】解：对于B：S n=，=a1+，
∵递增，∴d＞0，因此{a n}是递增数列．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若F1，F2是双曲线与椭圆的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是。

参考答案：
12. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，6个点可以连15条弦，请你探究其中规律，如果圆周上有10个
点．则可以连条弦．
参考答案：
45
【考点】归纳推理．
【分析】观察原题中的函数值发现，每一项的值等于正整数数列的前n项和，根据上述规律从而得到圆周上n个不同点之间所连的弦数的等式．
【解答】解：根据题意，设f（n）为圆周上n个点之间所连的弦的数目，
有f（2）==1，
f（3）==3，
f（4）==6，
…；
分析可得：f（n）=，
故f（10）==45；
故答案为：45．
13. 如图2，在正三棱柱中，已知是棱的中点，且
，则直线与所成的角的余弦值为
．
参考答案：
略
14. 计算=．
参考答案：
π
解答：
解：
=（sinx+x）
=sin0+0﹣[sin（﹣π）﹣π]=π，
故答案为：π．
15. 抛物线的准线方程是▲ .
参考答案：
16. 已知函数f（x）=xlnx，且0＜x1＜x2，给出下列命题：
①＜1
②x2f（x1）＜x1f（x2）
③当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）
④x1+f（x1）＜x2+f（x2）
其中正确的命题序号是．
参考答案：
②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
【解答】解：f′（x）=lnx+1，
x∈（0，）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）单调递减，
x∈（，+∞），f′（x）＞0，．∴f（x）在（，+∞）上单调递增．
①令g（x）=f（x）﹣x=xlnx﹣x，
则g′（x）=lnx，设x1，x2∈（1，+∞），
则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴由x2＞x1得g（x2）＞g（x1）；
∴f（x2）﹣x2＞f（x1）﹣x1，∴＞1；故①错误；
②令g（x）==lnx，则g′（x）=，（0，+∞）上函数单调递增，
∵x2＞x1＞0，∴g（x2）＞g（x1），∴x2?f（x1）＜x1?f（x2），即②正确，
③当lnx1＞﹣1时，f（x）单调递增，
∴x1?f（x1）+x2?f（x2）﹣2x2f（x1）=x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]=（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0
∴x1?f（x1）+x2?f（x2）＞x1?f（x2）+x2f（x1），
∵x2?f（x1）＜x1?f（x2），
利用不等式的传递性可以得到x1?f（x1）+x2?f（x2）＞2x2f（x1），故③正确．
④令h（x）=f（x）+x=xlnx+x，则h′（x）=lnx+2，
∴x∈（0，）时，h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（0，）上单调递减，
设x1，x2∈（0，），所以由x1＜x2得h（x1）＞h（x2），
∴f（x1）+x1＞f（x2）+x2，故④错误；
故答案为：②③17. 过椭圆左焦点F且斜率为的直线交椭圆于A,B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率
=______
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）在个同样型号的产品中，有个是正品，个是次品，从中任取个，求（1）其中所含次品数的期望、方差；（2）事件“含有次品”的概率。

参考答案：
依题意可知随机变量的一切可取值为，则
，
（1）
（2）设，
则。

19. 袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：
(1) 3个全是红球的概率． (2) 3个颜色全相同的概率．
(3) 3个颜色不全相同的概率． (4) 3个颜色全不相同的概率．
参考答案：
解：（1）；（2）；（3）；（4）
略
20. （12分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
参考答案：
（1）因为f′（x）=，而函数f（x）=在x=1处取得极值2，所以，即，解得．
故f（x）=即为所求．
（2）由（1）知f′（x）=，令f′（x）＞0，得﹣1＜x ＜1，∴f（x）的单调增区间为[﹣1，1]．
由已知得，解得﹣1＜m≤0．
故当m∈（﹣1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．
21. 设条件p：2x2﹣3x+1≤0；条件q：（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0．若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合充分必要条件的定义，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：设A={x|2x2﹣3x+1≤0}，B={x|（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0}，
化简得A={x|}，B={x|a≤x≤a+1}．
由于?p是?q的必要不充分条件，
故p是q的充分不必要条件，即A?B，
∴，解得，
故所求实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查结合的包含关系以及命题的关系，是一道基础题．
22. 如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1∥AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．
参考答案：
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】根据题意画出图形，利用棱柱与棱锥的定义即可得出这个几何体不是棱柱，截去的部分是一个四棱锥．
【解答】解：这个几何体不是棱柱，截去的部分是一个四棱锥C1﹣EA1B1F，
如图所示；
在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE=2，
在BB1上取F使BF=2；
连接C1E，EF，C1F，
则过C1EF的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC﹣EFC1，其棱长为2；
截去的部分是一个四棱锥C1﹣EA1B1F．。