(山东专用)新高考数学二轮复习 板块1 命题区间精讲 精讲7 三角恒等变换与解三角形学案(含解析)-

三角恒等变换与解三角形
命题点1 三角恒等变换
1．三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2．常用公式技巧 (1)降幂公式：sin 2α＝
1－cos 2α2，cos 2
α＝1＋cos 2α
2
. (2)辅助角公式：a sin θ＋b cos θ＝
a 2＋
b 2sin(θ＋φ)，其中cos φ＝
a a 2＋
b 2
，sin φ＝
b
a 2＋
b 2
.
[高考题型全通关]
1．(2020·唐山模拟)若sin 78°＝m ，则sin 6°＝( ) A ．m ＋1
2 B ．
1－m
2 C ．
m ＋1
2
D ．
1－m
2
D [因为sin 78°＝m ，所以cos 12°＝m ，则
sin 26°＝
1－cos 12°2＝1－m
2
，又sin 6°＞0，所以sin 6°＝
1－m
2
，故选D ．] 2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝6
3，则sin 2α的值为( ) A ．13 B ．23 C ．－13 D ．－2
3
C [法一：依题意得
22(cos α－sin α)＝63，两边平方得，12(cos α－sin α)2＝2
3
，即1－sin 2α＝43，sin 2α＝－1
3
，选C ．
法二：sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1－2×⎝⎛⎭⎫6
32
＝－13，选C ．] 3．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3
5
，则cos β等于( ) A ．25
25
B ．25
5
C ．2525或255
D ．
55或525
A [因为α，β都是锐角，且cos α＝55＜12
， 所以π3＜α＜π2
，
又sin(α＋β)＝35，而12＜35＜22，
所以3π4＜α＋β＜5π
6，
所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)
＝－45，
sin α＝
1－cos 2α＝
25
5
， cos β＝cos(α＋β－α)
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝25
25
.] 4．[教材改编]已知sin α＝
55，sin(α－β)＝－1010
，α，β均为锐角，则β等于( ) A ．5π12 B ．π3 C ．π4 D ．π
6
C [因为α，β均为锐角， 所以－π2＜α－β＜π2.
又sin(α－β)＝－
10
10
，
所以cos(α－β)＝310
10.
又sin α＝
55，所以cos α＝255
， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22
.所以β＝π4.] 5.
3sin 220°－1
cos 220°
＋64sin 220°＝________. 32 [因为3sin 220°－1
cos 220°
＝3cos 220°－sin 220°sin 220°cos 220°
＝
(3cos 20°＋sin 20°)(3cos 20°－sin 20°)
14
sin 2
40°
＝2cos (20°－30°)2cos (20°＋30°)14sin 2
40°
＝16cos 10°cos 50°sin 2 40°＝16sin 80°
sin 40° ＝
32sin 40°cos 40°
sin 40°
＝32cos 40°，
所以3sin 220°－1
cos 220°＋64sin 220°
＝32cos 40°＋64×1
2
(1－cos 40°)＝32.]
6．(2020·东营模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝435
，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋11π6＝________. －45 [由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－3
2
sin α＝3⎝⎛⎭⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝435，得sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝45，sin ⎝⎛⎭⎫α＋11π6＝－
sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫α＋11π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－45
.]
7．[一题两空][教材改编]已知锐角α，β满足cos α＝5
5
，tan β＝3，则tan(α＋β)＝________，α＋β＝________.
－1
3π4 [锐角α，β满足cos α＝5
5
，所以sin α＝1－cos 2α＝25
5
，所以tan α＝2.因为
tan β＝3，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－1，所以α＋β＝3π
4.]
命题点2 利用正、余弦定理解三角形
1．正弦定理：在△ABC 中，
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin
B ∶sin
C 等．
2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ．
变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc
. 3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2
bc sin A ．
提醒：求三角形的面积时，有时可以利用余弦定理求出ab 的整体值再求面积，而不必分别求出a ，b 的值．
[高考题型全通关]
1．已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A 为最小角，且a ＝3，b ＝2，cos A ＝5
8
，则△ABC 的面积等于( )
A ．7316
B ．3916
C ．394
D ．734
C [cos A ＝5
8
⇒sin A ＝
1－cos 2A ＝
398
， 由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2bc cos A ， 即3＝c 2＋4－5c
2
，
解得c ＝1
2
或c ＝2.
∵A 为最小角，∴c ＞a ，∴c ＝2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×2×398＝39
4
.]
2．(2020·济南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B
b ＝
sin C c ，若b 2＋c 2－a 2＝8
5
bc ，则tan B 的值为( ) A ．－13 B ．1
3
C ．－3
D ．3
C [因为cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，所以cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，
即
1tan A ＋1tan B ＝1，又b 2＋c 2－a 2＝85
bc ，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得cos A ＝4
5
，则sin A ＝
1－cos 2A ＝35，tan A ＝sin A cos A ＝3
4
，解得tan B ＝－3，故选C ．]
3．[教材改编]在△ABC 中，AC ＝3，向量AB →在AC →
上的投影为－2，S △ABC ＝3，则BC 等于( )
A ．5
B ．27
C ．29
D ．42 C [∵向量AB →在AC →
上的投影为－2， ∴|AB →
|cos A ＝－2. ①
∵S △ABC ＝3，
∴12|AB →||AC →|sin A ＝32|AB →
|sin A ＝3， ∴|AB →
|sin A ＝2. ② 由①②得tan A ＝－1，
∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝3π
4，
∴|AB →|＝2sin 3π4
＝2 2.
在△ABC 中，由余弦定理得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos 3π
4
＝(22)2＋32－2×22×3×⎝
⎛⎭
⎫－
22 ＝29， ∴BC ＝29.]
4．[多选][教材改编]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，sin A ＝4
5
，tan C ＝7，则下列结论正确的是( ) A ．cos A ＝±3
5
B ．B ＝π
4
C ．b ＝52
2
D ．△ABC 的面积为72
BC [由sin A ＝45，得cos A ＝±35.由tan C ＝7，得sin C ＝7210，cos C ＝210.若cos A ＝－3
5，
则sin B ＝sin(A ＋C )＝－17250＜0，与sin B ＞0矛盾，故cos A ＝35，A 错误，则sin(A ＋C )＝2
2，
由sin A ＝45，tan C ＝7，得A ＞π4，C ＞π4，所以A ＋C ＞π2，所以A ＋C ＝3π4，故B ＝π
4，B 正确．由
正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝522，C 正确，所以△ABC 的面积为12×4×522×72
10＝7，D 错
误．]
5．[多选](2020·烟台模拟)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，S △ABC ＝23，且c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0，则有( )
A ．A ＝π3
B ．
C ＝π
2
C ．a ＝ 3
D ．c ＝2
AB [法一：由正弦定理知，c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0可化为sin C cos B ＋sin B cos C －2sin A cos A ＝0，即sin(B ＋C )－2sin A cos A ＝0，因为sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ＞0，所以cos A ＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.由b ＝2，S △ABC ＝1
2bc sin A ＝23，得c ＝4.由余弦定理可得a 2
＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋42－2×2×4×12＝12，所以a ＝2 3.由正弦定理得a sin A ＝c
sin C
，则sin
C ＝c ·sin A a ＝4×sin
π323
＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π
2.故选AB ．
法二：由三角形中的射影定理可知c cos B ＋b cos C ＝a ，所以c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0可化为a －2a cos A ＝0，因为a ≠0，所以cos A ＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.由b ＝2，S △ABC ＝12bc sin
A ＝23，得c ＝4.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋42－2×2×4×1
2＝12，所以a ＝
2 3.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，则sin C ＝c ·sin A a ＝4×sin
π323＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π
2.故
选AB ．]
6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π
3，a ＝7，且△ABC 的
面积为332
，则△ABC 的周长为________．
5＋7 [因为A ＝π
3，a ＝7，
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得 7＝b 2＋c 2－bc .
又△ABC 的面积为33
2，
所以12bc sin A ＝332，
所以bc ＝6， 所以b ＋c ＝(b ＋c )2
＝
b 2＋
c 2＋2bc ＝5，
所以周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.]
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC 边上的高为a 2，则b 2c ＋c
2b 的最大
值是________．
2 [因为BC 边上的高为a
2
，
所以12×a 2×a ＝1
2bc sin A ，
即a 2＝2bc sin A ，
可得b 2c ＋c 2b ＝b 2＋c 22bc ＝a 2
＋2bc cos A 2bc
＝2bc sin A ＋2bc cos A 2bc ＝sin A ＋cos A
＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π
4≤2， 当A ＝π
4时，等号成立，
故b 2c ＋c
2b
的最大值是 2.] 8．[一题两空](2020·东营模拟)在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∠ABD ＝π
6.若AB ＝3
BD ，则∠CAD ＝________.若AC ＝2AD ＝2，则△ABC 的面积为________．
π3
3 [设BD ＝m ，则AB ＝3m ，BC ＝2m ，根据余弦定理，AD 2＝AB 2＋BD 2－
2AB ·BD cos ∠ABD ＝m 2，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABD ＝m 2，∴AD ＝DC ＝AC ＝m ，即△ACD 是正三角形，∴∠CAD ＝π3
.
记△ABC 的三内角∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 所对的三条边分别为a ，b ，c ，则BD ＝1
2a ，
由余弦定理可得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，∴1＝c 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2
－3
2ac ，即4＝4c 2＋a 2－23ac ，又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，∴4＝c 2＋a 2－3ac ，于是，4c 2＋a 2－23ac ＝c 2＋a 2－3ac ，∴a ＝3c ，代入c 2＋a 2－3ac ＝4可得c ＝2，a ＝23，∴S △ABC ＝1
2ac sin ∠ABC
＝ 3.]
命题点3 正、余弦定理的实际应用
1．解决三角形应用题的基本思路
实际问题――→
画图
数学问题――→
解三角形
数学问题的解――→
检验
实际问题的解．
2．用正、余弦定理解决问题的一般步骤
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理．
[高考题型全通关]
1．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．现要测量如图所示的蓝洞的口径，即A，B两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠ACD＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________．
805[由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝150°，∴∠DAC ＝15°，由正弦定理得AC＝
80sin 150°
sin 15°＝
40
6－2
4
＝406＋40 2.在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°，∴∠CBD＝30°，由正弦定理得
CD
sin∠CBD
＝
BC
sin∠BDC
，∴BC ＝
CD·sin∠BDC
sin∠CBD
＝
80×sin 15°
1
2
＝160sin 15°＝406－40 2.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600×(8＋43)＋1 600×(8－43)－2×1 600×(6＋2)×(6－2)×⎝⎛⎭⎫
－
1
2＝1 600×16＋1 600×4＝32 000，∴AB＝805，则A，B两点间的距离为80 5.]
2．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°的方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
63 [由已知得∠ACB ＝45°，∠BAC ＝75°，∴∠ABC ＝60°，由正弦定理可得AC sin 60°＝AB sin 45°，∴AC ＝20×
3
22
2
＝106，∴海轮的速度为10630＝6
3(海里/分)．] 3．如图，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421 m 的两点A ，B ，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向，旗杆顶部D 的仰角为60°，在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°的方向，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________m.
12 [设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴BC ＝x ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AC ＝
CD tan 60°＝x
3
，在△ABC 中，∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°，AB ＝421，∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 150°，即(421)2＝1
3x 2＋x 2
－2·x 3·x ·⎝⎛⎭⎫－32＝73x 2，得x ＝12.]。