江苏省大丰区新丰中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题

江苏省大丰区新丰中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上 1. 已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为( )
A. 2-
B. 1-
C. 1-或2-
D. 2-或3-
2． 已知向量()m m a ,1-=，()2,1-=b ，且b a ⊥，则=m （ ）
A ．3
B ．3
1
C ．2
D ．2-
3． 若扇形的面积为16,圆心角为2rad ,则该扇形的弧长为（ ）cm
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16 4． 已知幂函数()x f 过点124
（，）
，则()x f 在其定义域内（ ） A ．为偶函数 B ． 为奇函数 C ．有最大值 D ．有最小值
5． 已知sin ,cos αα是方程220x x m --=的两个根，则=m （ ） A ．
43 B ．34- C ．12 D ．12
- 6． 已知函数()⎩
⎨⎧≤>=,0,2,
0,log 2x x x x f x 则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f 的值是（ ） A ．
2
1
B ．22
C ．4
D ．
4
1
7. 已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则BE =u u u r
（ ）
A. 3144AB AC -+u u u r u u u r
B. 314
4
AB AC -u u u
r u u u
r C. 1344AB AC -+u u u r u u u r D. 1344
AB AC -u u u
r u u u r 8. 函数()2x
x f x x
⋅=的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
9．已知函数3()cos sin 1f x x x =⋅-，若()4
3
-
=a f ，则()=-a f （ ） A ．
43 B ．43- C ．45 D ．45-
10．在ABC ∆中，已知BC 边上的中线AD 长为2，2=BC ，则=⋅AC AB （ ）
A ．12
B ．12-
C ．3
D ．3-
11. 设函数()2
,,x x a
f x x x a
<⎧=⎨
≥⎩，对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. []0,1
C. []0,2
D. (]
0,2
12. 已知函数
既有最小值也有最大值，则实数t
的取值范围是（ ）
二、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.）
13．实数x 满足3log 1sin x =+θ，则()2log 19x x -+-=____________．
14. 已知单位向量a r 、b r
，则下面所有正确的式子有____________．
(1) 1a b ⋅=r r (2)22
a b =r r (3) a b =r r (4) 0a b -=r r
15. 已知函数2sin()y x ωϕ=+为偶函数，其中0,0ωφπ><<.若此函数的最小正周期为
π，那么tan()3
π
ωφ+=____________．
16. 如果函数 y = f(x) 在其定义域内存在实数0x ，使得 f(k 0x ) = f(k)f(0x )(k 为常数) 成立，则称函数 y = f(x) 为“对 k 的可拆分函数”. 若()21
x a
f x =
+为“对 2 的可拆
分函数”，则非零实数 a 的最大值是____________．
三、解答题.（本大题共6题，共70分.请同学们写出必要的解题步骤.） 17．（本小题满分10分）
在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()4,2=AB ，()3,1=AC ． （1）求DAB ∠cos 的值； （2）求AD BD ⋅的值．
18. （本小题满分10分）已知函数5()151
x x a f x ⋅=-+，()3,2x b b ∈-是奇函数．
（1）求,a b 的值；
（2）若()(1)0f m f m +-<，求m 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
函数()()ϕω+=x A x f sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<>>2π,0,0ϕωA 的图象如图所示.（1）求函数()x f 的解析式和单调增区间； （2）将函数()x f 的图象向左平移
3π个单位长度，得到()x g 的图象，求函数()x g 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2π,0上的最值并求出相应x 的值．
20．（本小题满分12分）
已知θ为第一象限角，()()1,sin πθ-=a ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-=52,2sin θπb ． （1）若//a b r r
，且角θ的终边经过点()2,x ，求x 的值；
（2）
若5
10
=+b a ，求θtan 的值．
21．（本小题满分12分）
某企业为打入国际市场，决定从A B 、两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计[6,8]m ∈.另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
（1）写出该厂分别投资生产A B 、两种产品的年利润12y y 、与生产相应产品的件数x 之间的函数关系，并指明其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.
22. （本小题满分14分）
已知函数()()2
24220g x ax ax b a =-++>，在区间[]2,3上有最大值8，有最小值2，
设()()2g x f x x
=
．
（1）求,a b 的值； （2）不等式()2
2
0x
x
f k -⋅≥在[]1,1x ∈-时恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若方程(
)
21301x
x
f e k e ⎛⎫
⎪-+-= ⎪-⎝⎭
有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
高一数学试题 答案
一、选择题.（本大题共12题，每题5分，共60分.） 1-5 CBBAA 6-10 DABDC 11-12BC
二、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.） 13. 3
14. (2)(4) 15．3 16.
(
)
5212
+
三、解答题.（本大题共5题，共70分.请同学们写出必要的解题步骤.） 17. 解:(1)Θ四边形ABCD 为平行四边形
∴()()()1,14,23,1--=-=-==AB AC BC AD ………………………2分 1010
316
4242|
|||cos -=+⋅--=
=
∠∴AB AD AB AD DAB ………………………5分
(2) ()()()5,34,21,1--=---=-=AB AD BD ………………………7分 ()()()8535131=+=-⨯-+-⨯-=⋅AD BD ………………………10分
18．【详解】（1）因为函数5()151
x x a
f x ⋅=-+，()3,2x b b ∈-是奇函数
所以320b b -+=，解得1b =， 所以()f x 定义域为()2,2- 由()00f =，得1011
a
-
=+，解得2a =. ………………………4分 （2）因为()f x 为奇函数，
所以()(1)0f m f m +-<得到()()()11f m f m f m <--=-
25()151x
x
f x ⋅=-+，()2,2x ∈- ()252
115151
x x x f x ⋅=-=-++，
因为5x
y =单调递增，所以()2
151
x f x =
-+单调递减， ………………………7分 所以由()()1f m f m <-
得122212m m m m >-⎧⎪
-<<⎨⎪-<-<⎩，解得122213m m m ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪-<<⎪
⎩
所以得到m 的取值范围为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
………………………10分
19. .解：(1)①由图知: 2=A 4
31296121143π
πππ=
=-=
T |
|2w T π
π=
=∴2||=∴w 0>w Θ 2=∴w ………………………2分 )2sin(2)(ϕ+=∴x x f
⎪⎭⎫
⎝⎛2,6)(π过由图知x f Θ2)26sin(2)6(=+⨯=∴ϕππf
1)3
sin(
=+∴ϕπ
Z k k ∈+=
+∴,22
3
ππ
ϕπ
Z k k ∈+=
∴,26
ππ
ϕ
2
||π
ϕ<
Θ6
π
ϕ=
∴
)
62sin(2)(π
+=∴x x f
………………………4分
②Z k k x k ∈+≤+
≤-
,2
26
22
2π
ππ
π
πΘ
Z k k x k ∈+
≤≤-
∴,6
3
π
ππ
π
Z k k k x f ∈+-
∴],6
,3[)(π
ππ
π增区间………………………6分
(2)
)
6
52sin(2]6)3(2sin[2)(π
ππ+=++=x x x g ………………………8分
]
6
11,65[652]
2
,0[ππππ
∈+∴∈x x Θ
2-)(323652取最小值为时，，即当x f x x πππ==+
∴ 1)(06
5652取最大值为时，，即当x f x x ==+ππ.………………………12分
20. 解：(1) ()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=52,cos ,1,sin θθ
//Θθθcos sin 5
2
=∴………………………3分
因为θ为第一象限角，所以25
cos sin tan =
=θθθ
………………………4分 又x 2tan =
θ，所以5
4
=x . ………………………6分 (2)因为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+53,sin cos θθ
510=
所以()25
1
sin cos 2=-θθ. ………………………8分 即25
12
cos sin =
θθ. ………………………10分 所以2512
cos sin cos sin 2
2=+θ
θθθ， 即
25
12tan 1tan 2=+θθ所以3443tan 或
=θ ..………………………12分 (另解：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧
=+±
=-1cos sin 51cos sin 22θθθθ同样给分)
21. 试题解析：（1）设年销售量为x 件，按利润的计算公式，得生产A 、B 两产品的年利润
12y y 、分别为： ()()1y 10x 20mx 10m x 20,0x 200=-+=--≤≤,且x N ∈;
………………………3分
()()2
222y 18x 408x 0.05x 0.05x 10x 400.05x 100460=-+-=-+-=--+,
0x 120≤≤，且x N ∈. ………………………5分
（2）因为6m 8≤≤，所以10m 0->，所以()1y 10m x 20=--为增函数,又0x 200,≤≤且x N ∈，所以x 200=时，生产A 产品有最大利润
为:()10m 200201980200m -⨯-=-(万美元). ………………………7分
又()2
2y 0.05x 100460=--+, 0x 120,≤≤且x N ∈,所以x 100=时，生产B 产品有最大利润为460(万美元) , ………………………9分
作差比较：()()()12max max y y 1980200m 4601520200m -=--=-,令15202000m ->，得67.6m ≤<；令15202000m -=，得7.6m =；令15202000m -<，得7.68m <≤.所以当6m 7.6≤<时，投资生产A 产品200件获得最大年利润；当7.6m 8<≤时，投资生产B 产品100件获得最大年利润；当m 7.6=时，投资生产A 产品和B 产品获得的最大利润一样. ………………………12分
22. 【详解】（1）()2
2422(0)g x ax ax b a =-++>
开口向上，对称轴为1x =， 所以在[]2,3上单调递增，
因为()g x 在区间[]2,3上有最大值8，有最小值2，
所以有()()2238g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即882221812228a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩
解得1a =，0b = ………………………4分 （2）()2
242g x x x =-+，所以()()1
22g x f x x x x
=
=+-， 因为[]1,1x ∈-，令12,22
x
t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
由不等式(2)20x x
f k -⋅≥在[1,1]x ∈-时恒成立， 得()0f t kt -≥在1,22
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时恒成立，
则12t t kt +-≥，即2
212111k t t t ≤⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭
因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则11,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2
110t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
≥ 所以得0k ≤. ………………………9分
（3）设1x m e =-，则方程
2
(1)(3)01
x x
f e k e -+-=- 可转化为()230f m k m ⎛⎫+-=
⎪⎝⎭，即12230m k m m ⎛⎫
+-+-= ⎪⎝⎭
整理得()2
32210m k m k -+++=
根据1x
m e =-的图像可知，方程(
)
21301x
x
f e k e ⎛⎫
⎪-+-= ⎪-⎝⎭
要有三个不同的实数解， 则方程()2
32210m k m k -+++=的要有两个不同的实数根
一根在()0,1之间，一根等于1，或者一根在()0,1之间，一根在()1,+∞， 设()()2
3221h m m k m k =-+++
①一根在()0,1之间，一根等于1时，
()()
00
1032
01
2h h k ⎧
⎪>⎪
=⎨⎪+⎪<<⎩
，即21013221032012k k k k ⎧⎪+>⎪--++=⎨⎪+⎪<<⎩， 解得1202
03
k k k ⎧
>-⎪⎪
=⎨⎪⎪-<<⎩，所以无解集
②一根在()0,1之间，一根在()1,+∞时，
()()00
10h h ⎧>⎪⎨
<⎪⎩
，即1200k k +>⎧⎨-<⎩，
解得
1
2
k
k
⎧
>-
⎪
⎨
⎪>
⎩
，所以0
k>.
综上所述，满足要求的k的取值范围为0
k>. ……………………14分。