山西省吕梁学院附中高三上学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．函数
3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是
( )
3．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当 )02(，
-∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为（ ）
A.2
1
-
B.
2
1
C. 2
D.2-
4．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3 (x ∈R ) 图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( )
A ．5 B.15 C ．4 D.1
4
5. 已知函数()y f x =是奇函数， 当0x >时， ()f x =lg x ，则1
((
))100
f f 的值等于 A.
1lg 2 B.1lg 2
- C.lg 2 D.lg 2- 6.集合M ＝{x |x ＝sin
nπ3，n ∈Z}，N ＝{x |x ＝cos nπ
2
，n ∈N}，则M ∩N 等于 ( ) A.{－1,0,1} B.{0,1} C.{0} D.∅
7.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π
3对称，它的周期是π，则
( )
A.f (x )的图象过点(0，12)
B.f (x )的图象在[5π12，2π
3]上递减
C.f (x )的最大值为A
D.f (x )的一个对称中心是点(5π
12
，0)
8..要得到y ＝sin(2x －π
3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( )
A.向左平移π3个单位
B.向右平移π
3个单位
C.向左平移π6个单位
D.向右平移π
6个单位
9．已知函数)2
cos(2sin )
2
sin(
42cos 1)(x
x a x x x f --++=
ππ的最大值为2，则常数a 的值为（ ）
A ．15
B ．15-
C ．15±
D ．10±
10．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f '(x)可能为（ ）
11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，
且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是
（ ）
A ．(－3，0)∪(3，+∞)
B ．(－3，0)∪(0，3)
C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)
D ．(－∞，－3)∪(0，3)
12．设c bx ax x x f +++=
22131)(23，当)1,0(∈x 时取得极大值，当)2,1(∈x 时取得极小值，则
1
2
--a b 的取值范围为
（ ）
A ．)4,1(
B ．)1,21(
C ．)21,41(
D ．)1,4
1
(
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，)
13、函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ____.
14．已知
2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g _______ .
15.下面有五个命题：
①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝kπ
2
，k ∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点； ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π
6个单位得到y ＝3sin2x 的图象；
⑤函数y ＝sin(x －π
2)在[0，π]上是减函数.
其中真命题的序号是 .
16. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x
的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明步骤)
17．（10分）
已知函数2
()2sin cos 2cos 1f x x x x =-+，
（1）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （2）若53)(=
θf ，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值．
18．(12分) 设函数x
x
x f 424)(+=，
(1)证明：函数)(x f 是R 上的增函数；
(2)证明：对任意的实数t ，都有1)1()(=-+t f t f ； (3)求值：)2012
2011()20123()20122()20121(
f f f f ++++ 19．（12分）设函数)( sin )(R x x x x f ∈=.
（1）证明x k x f k x f sin 2)()2(ππ=-+,其中为k 为整数；
（2）设0x 为)(x f 的一个极值点，证明2
40
2
01)]([x x x f +=；
20（12分） 设1
()(0)x x
f x ae b a ae =+
+>。

（1）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；
（2）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3
2
y x =
；求,a b 的值。

21．（本小题满分12分）
设函数2
()2sin cos cos 22
f x x x x =
+
. （1）在给出的直角坐标系中画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像；
（2）根据画出的图象写出函数)(x f y =在],0[π上的单调区间和最
值
22．(本小题满分12分)
已知函数2
(1)
()a x f x x -=
，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；
（Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e]上的最大值.（其中为自然对数的底数）
2013-2014年度高三第二次月考
数学（理）答案
18、解：（1）证明：设任意12x x <，
则
121212
1212121212121212442(44)
()()2424(24)(24)
,44440240,240
()()0,()()
x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x f x f x f x f x --=-=++++<∴<∴-<+>+>∴-<<又∴)(x f 在R 上是
增函数
（2）对任意t, 11444424()(1)124242424424
t t t t
t t t t t
f t f t --++-=+=+==+++∙++ ∴对于任意t,f(t)+f(1-t)=1
19．（1）证明：由函数f (x )的定义，对任意整数k ，有
x x k x k x x f k x f sin )2sin()2()()2(-++=-+πππ
.
sin 2sin sin )2(x k x x x k x ππ=-+=
（2）证明：函数上在定义域R x f )(
,cos sin )(x x x x f +='可导 ① .0cos sin ,0)(=+='x x x x f 得令
显然，对于满足上述方程的x 有0cos ≠x ，上述方程化简为.tan x x -=如图所示，此方程一定有解，
.tan )(000x x x x f -=一定满足的极值点
由.tan 1tan sin ,tan 1tan cos sin sin sin 0
20202
222222
x x x x x x x x x +=+=+=得
21．解：（1）22()sin 2cos 2sin(2)224
f x x x x π
=
+=+，列表： x
8π
38
π 58π 78
π π
24
x π
+
4
π
2
π
π
32
π 2π
94
π sin(2)4
x π
+
22 1 0
－1
22
描点得图像（图像略）； （2）单调增区间：],85[
],8,
0[πππ
；单调减区间：]8
5
,8[ππ；
函数的最大值是：1 ；函数的最小值是：1-.
22、【答案】 解：（1）3
(2)
()a x f x x
-'=
，（0x ≠）， 在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.
所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2).
(2）设切点坐标为00(,)x y ，则00
2
0000
30
(1)10(2)
1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪
--=⎨⎪-⎪=⎪⎩ ……………6分（
解得01x =，1a =
.。