北师大版数学高一-(北师大)必修4试题 1.8.2函数y=Asin(ωxφ)的性质

1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π
2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数
解析：由f (x )＝－cos πx －1，x ∈R ，易知f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos πx －1＝f (x )，为偶函数，周期T ＝2π
π
＝2.
答案：B
2．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )
A ．T ＝2，θ＝π
2
B ．T ＝1，θ＝π
C ．T ＝2，θ＝π
D ．T ＝1，θ＝π
2
解析：T ＝2π
π＝2，又当x ＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，要使上式取得最大值，
可取θ＝π
2
.
答案：A
3．设函数f (x )＝A sin(2x ＋π
6)(A ≠0)，则( )
A ．f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫0，12
B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤
5π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0 D ．f (x )的最大值是A
解析：f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∴图像过⎝⎛⎭⎫0，A 2，选项A 不正确；x ∈[5π12，2π3]时，2x ＋π
6∈[π，3π2]，但A 的符号不确定，故B 不正确；A <0时，D 不正确；当x ＝5π12时，2x ＋π
6＝π，即f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，∴⎝⎛⎭⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．
答案：C
4．(2011·山东高考)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π
2]
上单调递减，则ω＝( )
A ．3
B ．2 C.3
2
D.23
解析：由于函数f (x )＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，π
3为
这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝3
2
.
答案：C
5．ω为正实数，函数f (x )＝2sin ωπx 的周期不超过1，则ω的最小值是________． 解析：由2π
ωπ≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.
答案：2
6．函数y ＝12sin(2x －π
6)与y 轴最近的对称轴方程是____________．
解析：令2x －π6＝k π＋π
2(k ∈Z)，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z)．
由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π
6.
答案：x ＝－π
6
7．已知函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π
2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．
解：f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6＋b ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π
6. ∴sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1
2，1. 则当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝4，b －2a ＝－5，∴a ＝3，b ＝1.
当a <0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝－5，
b －2a ＝4，∴a ＝－3，b ＝－2.
8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π
3
)，
(1)用五点法画出f (x )在一个周期上的图像； (2)求f (x )的最大值M 、最小值N 和最小正周期T ； (3)由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到y ＝f (x )的图像； (4)写出函数图像的对称轴方程和对称中心坐标． 解：(1)步骤： ①列表：
x －π
6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π3
0 π2 π 3π2 2π y
1
－1
②描点：(－π6，0)，(π12，1)，(π3，0)，(7π12，－1)，(5π
6，0)．
③用平滑的曲线顺次连接各点，所得图像如图所示．
(2)由(1)中图像可知M ＝1，N ＝－1，T ＝2π
2＝π.
(3)变换步骤是：
①把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，得函数y ＝sin(x ＋π
3)的图
像；
②把函数y ＝sin(x ＋π3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，得函数y
＝sin(2x ＋π
3
)的图像．
(4)令2x ＋π3＝k π＋π
2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，
即对称轴方程是x ＝k π2＋π
12(k ∈Z)．
令2x ＋π
3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π6
(k ∈Z)，
即对称中心是(k π2－π
6，0)(k ∈Z)．。