第8章常微分方程

第8章 常微分方程
8.1 基本概念
一、问题的引出
1. 求曲线方程的问题
例1 已知曲线上每一点P (x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，且该曲线经过点(3,10)，求曲线的方程。

解：设曲线方程为y ＝f (x)
2'x dx
dy y ==由题意得 ⎰+==C x dx x y 3
32两边积分得 初始条件为y|x=3＝10
代入初始条件得10＝9＋C ，C ＝1
13
3
+=x y 故所求曲线为 2. 确定运动规律问题
例2 列车在以20米/秒的速度行驶时制动，制动后的加速度为－0.4米/秒2，求列车制动后的运动规律。

解：设列车的运动规律为s ＝s (t),则加速度是s 的二阶导数，
4.0)(''22-==dt
s d t s 由题意有 1
4.0)4.0()(')(⎰+-=-==C t dt t s t v 积分得 ∵t ＝0时，v ＝s’ (0)＝20,∴s’ (t)＝－0.4t ＋20 ⎰++-=+-=22202.0)204.0()(C t t dt t t s 再积分得
∵t ＝0时，s (0)＝0,∴s (t)＝－0.2t 2＋20t
二、关于微分方程的基本概念
含有未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程，如果导数是多元函数的导数，则称为偏微分方程。

微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。

微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶
导数的次数之和的最大值。

一次微分方程称为线性微分方程。

线性微分方程的左边是关于y 及其各阶导数的有理整式，右边是关于x 的函数。

由微分方程求原函数称为解微分方程。

求出的原函数称为微分方程的解。

含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有任意常数的微分方程的解称为特解。

为求特解所给定的条件称为初始条件。

8.2 一阶微分方程
[一阶微分方程的解法]
形如y’＝f (x)的一阶微分方程总可用两边积分的方法直接求出微分方程的解C x F dx x f y +==⎰)()(。

一、变量可分离的微分方程
形如y’＝f (x)·g (y)或f 1 (x)g 1 (y)dx ＋f 2 (x)g 2 (y)dy ＝0的方程称为变量可分离的微分方程。

对于变量可分离的微分方程，把y'写成dx
dy 的形式，微分方程一定可化为g (y)dy ＝f (x)dx ，两边积分可求得通解为G(y)＝F(x)＋C 例如：解微分方程y'＝y 2+xy 2
dx x dy y
x y dx dy )1(1)1(:22+=+=可变形为解 C x x y ++=-22
11两边积分得 例1：求微分方程y'＝2xy 的通解
xdx dy y
xy dx dy 21,2:==可分离变量为解 )(ln ln ln ln ln 2222为任意常数两边积分得C Ce y Ce
C e C x y x x x ==+=+=
注意：在解微分方程时⎰dy y 1的结果通常不用再写成ln|y|,而直接写作lny ，此时的积分常数通常也不写成Ｃ，而写作lnC 。

例２：求微分方程y'cosx ＝y 满足初始条件2
10==x y 的特解 xdx dy y
x y dx dy sec 1,cos :==可分离变量为解 两边积分得lny ＝ln(secx ＋tanx)＋lnC ＝lnC(secx ＋tanx)
y ＝C(secx ＋tanx) (C 为任意常数)
以初始条件x ＝0，y ＝21代入，得C ＝2
1
则y ＝21
(secx ＋tanx) 二、齐次型微分方程 形如)('x y f y =的微分方程称为齐次型微分方程。

令x
y u =
，则y ＝ux ，y’＝u ＋xu’，原微分方程变形为u ＋xu’＝f(u) 这是一个以u 为变量的变量可分离的微分方程x dx u u f du =-)(，两边积分后即可求出通解：F(u)＝lnx ＋C ，即C x x
y F +=ln )(。

例3：求微分方程x
y x y y tan '+=的通解 dx x
udu u dx du x u u xu u xu u y xu y x y u 1cot ,tan tan ','',,:==+=++===分离变量得即代入得则令解 )(sin
ln ln ln sin ln 为任意常数两边积分得C Cx x
y Cx
C x u ==+= 例4：求微分方程y 2+(x 2-xy)y’=0的满足初始条件y|x=1＝－1的特解
dx x
du u u u dx du x u u u u u xu u xu u y xu y x y u x
y x y x xy y y 1)11(,111','',,1)(':2222=--=-+=-=++===-=-=分离变量得即代入得则令将原方程变形为解 )(ln ln ln ,ln ln ln ln 为任意常数两边积分得C Cy x
y Cx
e u
Cx e Cx C x u u x y u ==+==+=- 把x ＝1,y ＝－1代入，得e -1＝－C ，C ＝－e -1 1+-=x y e y 所求的特解为
三、一阶线性微分方程
形如y’＋p(x) y ＝q(x) 的方程称为一阶线性微分方程，它的等式左边是关于y 、y’的一次式，右边的q(x)称为自由项。

当q(x)=0时，微分方程称为一阶线性齐次微分方程，否则，称为一阶线性非齐次微分方程。

1. 一阶线性齐次微分方程y’＋p(x) y ＝0是变量可分离的微分方程，它可化为)(x p y
dy -=，解得ln y ＝－∫p (x)dx ＋C ，通解为⎰=-dx x p Ce y )( 例如 y’－3xy ＝0可化为xdx y
dy 3= 2. 一阶线性非齐次微分方程y’＋p(x) y ＝q(x)解法是这样思考的。

把y’＋p(x) y ＝q(x)的两边同乘以e ∫p (x)dx 得
e ∫p (x)dx ·y’ ＋p(x)e ∫p (x)dx ·y ＝q(x)e ∫p (x)dx
等式的左边恰好是(e ∫p (x)dx ·y)’，两边积分得
e ∫p (x)dx ·y ＝∫q(x)e ∫p (x)dx dx ＋Ｃ 例５：求微分方程25
)1(12'+=+-x y x y 的通解
21221
3222)1ln(2)
1(]')1[(,)1(])1(2[')1()1(,)1()1ln()1ln(2112)(,12)(:2+=++=+-++++=+=+-=+-=+-
=-----+--⎰⎰x y x x y x y x x x e x x dx x dx x p x x p x 即得
方程两边同乘以解 )()1()1(3
2)1(32)1(22723
2为任意常数两边积分得C x C x y C x y x +++=++=+- 例６：求微分方程y ’cos 2x ＋y －tanx ＝0的通解
解：将原方程变形为x x y x y 22sec tan sec '⋅=⋅+ 两边积分得
令即得方程两边同乘以,tan ,sec tan ]'[sec tan sec ',tan sec )(,sec )(2tan tan 2tan 2tan tan tan 22x u x e x y e x e x y x e y e e x
xdx dx x p x x p x x x x x x =⋅=⋅=⋅+===⎰⎰ )
(1tan tan tan tan tan tan 为任意常数C Ce x y C
e e x C e ue du ue y e x x x u u u x -+-=+-⋅=+-==⎰
[小结]
一阶线性非齐次微分方程的解题步骤可以归结为下列4步
1. 将含有y’的项化为单独一个y’
2. 将含有y 的项中与y 相乘的x 的函数式积分，求出它的一个原函数F(x)
3. 方程两边同乘以e F(x)，则等号左边为 (e F(x)y)’
4. 方程两边同时积分
8.5 可降阶的二阶微分方程
一、y”＝f (x)型的微分方程
解此类型的微分方程，只要把方程两边两次积分即可。

例１ 求微分方程 y”＝xcosx 的通解
解：y’＝∫xcosxdx ＝xsinx －∫sinxdx ＝xsinx ＋cosx ＋C 1
y ＝∫(xsinx ＋cosx ＋C 1)dx ＝∫xsinxdx ＋∫cosxdx ＋∫Ｃ1dx ＝－xcosx ＋2sinx ＋C 1x ＋C 2
二、y”＝f (x,y’)型的微分方程
因为方程中不含有y ，可令y’＝p ，则y”＝p’，方程降阶为p 的一阶微分方程。

例２ 求微分方程 y”―y’―x ＝0 的通解
解：令y’＝p, 则y”＝p’，方程降阶为p’－p ＝x
⎰⎰+--=--=--=+--=+--===-----------22
11111
2
)1(1)(',C x x e C dx x e C y x e C C e xe e p C e xe dx xe p e xe p e p e e x
x x x x x x x x x x
x x x 则积分得得方程两边同乘以
三、y”＝f (y,y’)型的微分方程 因为方程中不含有x ，dy dp p dx dy dy dp dx dp y dx dy y p =⋅====",'则可令，方程可看作为以y 为自变量，未知函数p ＝p (y)的一阶微分方程。

例3 求微分方程 yy”＝1＋(y’)2 的通解
222111
2212212
21211222)1ln(11
,1',1,ln ln ln )1ln(2
11221,1,",':C x y C y C C dx y C dy y C y y C p y C C y p y
dy dp p p p dy dp yp dy dp p y y p +±=-+±=--±==+=+=+=+⋅+===解为于是即两边积分得即代入方程得则令解
8.6 二阶线性微分方程
形如y”＋p(x) y’＋q(x) y ＝f (x)的二阶微分方程称为二阶线性微分方程。

若f (x)＝0时，方程y”＋p(x) y’＋q(x) y ＝０称为二阶线性齐次微分方程，否则，称为二阶线性非齐次微分方程。

一、线性微分方程解的结构
[定理8.1]
⑴如果y 1(x)是线性齐次微分方程的解，则对于任意常数Ｃ，Cy 1(x)
也是该方程的解。

⑵如果y 1(x)和y ２(x)都是线性齐次微分方程的解，则y 1(x)＋y ２(x)也是该方程的解。

如果y 2(x)＝k y 1(x)，则称y 2(x)与y 1(x)线性相关，否则，称y 2(x)与y 1(x)线性无关。

[定理8.２]
如果y 1(x)和y ２(x)是线性齐次微分方程的两个线性无关解，则该
方程的通解为y ＝C 1y 1＋C 2y ２。

C 1y 1＋C 2y ２称为y 1和y ２的线性组合或线性迭加。

[定理8.３]
如果y*是二阶线性非齐次微分方程y”＋p(x) y’＋q(x) y ＝f (x)的一个特解，C 1y 1＋C 2y ２是线性齐次微分方程y”＋p(x) y’＋q(x) y ＝0的
通解，则非齐次微分方程的通解为y ＝y*＋C 1y 1＋C 2y ２。

例如，y*＝3
1x 3e x 是二阶线性非齐次微分方程y”－2y’＋y ＝2xe x
的一个特解，齐次微分方程y”－2y’＋y ＝0的通解为C 1e x ＋C 2xe x ，因此，二阶线性非齐次微分方程y”－2y’＋y ＝2xe x 的通解为：
y ＝3
1x 3e x ＋C 1e x ＋C 2xe x 。

二、二阶线性常系数齐次微分方程
形如y”＋p y’＋q y ＝0的微分方程，当p 、q 是常数时，称为二阶线性常系数齐次微分方程。

怎样来求二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关解呢？ 的问题了
成了求求微分方程的解就转化这样一来就是微分方程的解的解是如果因此代入后得到
是微分方程的解所以我们可以设由于λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ,,0,,0)(,,
)'()"(,)'(2222x
x x x x x x x e y q p q p e e y y e e e y e e ==++=++====== 2
12,0'"0λλλλ和设它的两根为的特征方程次微分方程称为二阶线性常系数齐方程=++=++qy py y q p
)sin cos (,)3(,)2(,)1(212,12121212121bx C bx C e y bi a xe C e C y e C e C y ax x
x x
x +=±=+==+=≠微分方程的通解为时当微分方程的通解为时当实数微分方程的通解为时当实数λλλλλλλλλ 例1 求微分方程y”－7y’＋6y ＝0的通解 解：特征方程为λ2－7λ＋6＝0，解得λ1＝6，λ2＝1
故微分方程的通解为x
x e C e C y 261+=
例２ 求微分方程y”－６y’＋９y ＝0的通解 解：特征方程为λ2－６λ＋９＝0，解得λ1＝λ2＝３
故微分方程的通解为x x xe C e C y 3231+= 例3 求微分方程y”－６y’＋13y ＝0的通解
解：特征方程为λ2－６λ＋13＝0，解得λ＝3±2ι
故微分方程的通解为)2sin 2cos (213x C x C e y x +=
[作业]
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P.94 1 ⑴⑶2 3 ⑴⑷4 ⑵⑶
P.122 2 ⑴⑷⑸。