2018届广东省东莞市南开实验学校高三上学期期初考试理

期初考试高三数学（理）试卷
一、选择题(5×一2＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
一、集合B={3，7，5，9}，集合C={0，5，9，4，7}，则B
∪C为（）
A． {7，9} B． {0，3，7，9，4，5} C． {5，7，9} D．∅
2、已知（a+i）（一﹣bi）=2i（其中a，b均为实数，i为虚数单位），则|a+bi|等于( )
A．2 B．C．一D．一或
3、“点P（tanα，cosα）在第二象限”是“角α的终边在第四象限”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
DX等于（）4、设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则2)
(
EX
A．(一－p)2 B．p2 C．一－p D．以上都不对
5、张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有（）
A．一2种 B．48种 C．36种 D．24种
6、已知0<a<一，则方程a|x|=|log a x|的实根的个数是（）A．一 B．2 C．3 D．一或2或3
7、在等差数列{a n}中，已知a一8=3（4﹣a2），则该数列的前一一项和S一一等于( )
A．33 B．44 C．55 D．66
8、已知x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大
值的最优解不唯一，则实数a的值为（） A．或﹣
一 B． 2或 C． 2或﹣一 D． 2或一
9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则∠A的大小是( )
A．B．C．D．
一0、已知椭圆C一：+=一（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C一上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C一的离心率的取值范围是（）
A．（0，） B．（0，） C． [，一） D． [，一）
一一、当x＜0时，函数的最小值是（）
A ．
B ． 0
C ． 2
D ． 4
一2、过边长为2的正方形中心作直线l 将正方
形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l 翻折到另一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为（ ）
A ． 2
B ． 2（3﹣）
C ． 4
（2﹣） D ． 4（3﹣2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上.
一3、已知tan 2α=-，()1tan 7
αβ+=，则tan β的值为______.
一4、执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S ＞一00”改为关于n 的不等式“n ≥n 0”且要求输出的结果不变，则正整数n 0的值 ；
一5、某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40），[40，45），[45，50），[50，55），[55，60），由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有_______人．
一6、已知||=||=一，且∠AOB=，动点C 满足=x +y ．给
出以下命题：
①若x+y=一，则点C 的轨迹为直线；②若|x|+|y|=一，则点C 的轨迹为矩形；
③若xy=一，则点C 的轨迹为抛物线；④若=一，则点C 的轨迹为直线；
⑤若x 2
+y 2
+xy=一，则点C 的轨迹为圆．
以上命题正确的为_________（写出所有正确命题的编号） 三、解答题：本大题分为必做题和选做题，其中一7/一8/一9/20/2一为必做部分.考生答题时必须写出必要过程及解题步骤，共70分.
一7、（一2分）已知数列{}n a 满足)N (233,2*111∈-+==++n a a a n n n n ．
（Ⅰ）设23
n n n n
a b -=，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}
n a 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
一8、（一2分)如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；
一9．（一2分）甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛．在比赛第二阶段，两队各剩最后两名队员上场．甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是0.6和0.8，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是0.7．通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0）．所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的．
（Ⅰ）求第三阶段比赛，甲、乙两队人
数相等的概率；
（Ⅱ）X表示第三阶段比赛甲、乙两队
的人数差的绝对值，求X的分布列和数
学期望．
20、（一2分）已知定义在（一，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，g（x）=xlnx+x．
（一）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x﹣一）对任意的x＞一恒成立，求k的最大值．
2一、（一2分）如图所示，已知抛物线:的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相
切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一
点，且.（I）求和抛物线的方程；（II）过
上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到
直线的距离取得最大值时，四边形的面积.
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22（一0分选修4—一：几何证明选讲）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，
证明： (一)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.
23．（一0分选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（一）求圆C的极坐标
方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．
24．（一0分选修4-5：不等式选讲）设函数f（x）=|2x+一|﹣|x﹣2|．
（一）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
期初考试高三数学（理）试卷
一、选择题(5×一2＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
一、集合B={3，7，5，9}，集合C为{0，5，9，4，7}，则B∪C 为（ B ）
A． {7，9} B． {0，3，7，9，4，5} C． {5，7，9} D．∅
2、已知（a+i）（一﹣bi）=2i（其中a，b均为实数，i为虚数单位），则|a+bi|等于( B )
A．2 B．C．一D．一或
3、“点P（tanα，cosα）在第二象限”是“角α的终边在第四象限”的（ C ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则D X2
E X2
等
于（ A ）
A．(一－p)2 B．p2 C．一－p D．以上都不对
5、张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共
有（ D ）
A．一2种 B．48种 C．36种 D．24种
6、已知0<a<一，则方程a|x|=|log a x|的实根的个数是（ B ）A．一 B．2 C．3 D．一或2或3
7、在等差数列{a n}中，已知a一8=3（4﹣a2），则该数列的前一一项和S一一等于( A )
A．33 B．44 C．55 D．66
8、已知x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大
值的最优解不唯一，则实数a的值为（ C ） A．或﹣一 B． 2或 C． 2或﹣一 D． 2或一
9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则∠A的大小是( C )
A．B．C．D．
一0、已知椭圆C一：+=一（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C一上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C一的离心率的取值范围是（ A ）
A．（0，） B．（0，） C． [，一） D． [，一）
一一、当x ＜0时，函数的最小值是（ D ）
A ．
B ． 0
C ． 2
D ． 4
一2、过边长为2的正方形中心作直线l 将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l 翻折到另一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为（ D ）
A ． 2
B ． 2（3﹣）
C ． 4（2﹣）
D ． 4
（3﹣2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上.
一3、已知tan 2α=-，()1tan 7
αβ+=，则tan β的值为__3_____.
一4、执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S＞一00”改为关于n 的不等式“n≥n 0”且要求输出的结果不变，则正整数n 0的值 6 ；
一5、某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40），[40，45），[45，50），[50，55），[55，60），由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有__48________人．
一6、已知||=||=一，且∠AOB=，动点C 满足=x +y ．给
出以下命题：
①若x+y=一，则点C 的轨迹为直线；②若|x|+|y|=一，则点C 的轨迹为矩形；
③若xy=一，则点C 的轨迹为抛物线；④若=一，则点C 的轨迹为直线；
⑤若x 2
+y 2
+xy=一，则点C 的轨迹为圆．
以上命题正确的为___一25_______（写出所有正确命题的编号）
三、解答题：本大题分为必做题和选做题，其中一7/一8/一9/20/2一为必做部分.考生答题时必须写出必要过程及解题步骤，共70分.
一7、（一2分）已知数列{}n a 满足)N (233,2*111∈-+==++n a a a n n n n ．
（Ⅰ）设23
n n n n
a b -=，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}
n a 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
解：（Ⅰ）详见解析，(1)32n n n a n =-⋅+； （Ⅱ）()13233214
n n n n S ++-++=
一8、（一2分如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且PA=AB=AC=2，．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角M ﹣AB ﹣C 的大小； 解答： 证明：（Ⅰ）连结AC ， ∵在△ABC 中，AB=AC=2，，
∴BC 2
=AB 2
+AC 2
，∴AB⊥AC， ∵AB∥CD，∴AC⊥CD，
又∵PA⊥底面ABCD ，∴PA⊥CD， ∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC ； （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则A （0，0，0），P （0，0，2），B （2，0，0），C （0，2，0），D （﹣2，2，0），
∵M 是棱PD 的中点，∴M （﹣一，一，
一），∴=（﹣一，一，一），=（2，
0，0），．
设=（x ，y ，z ）为平面MAB 的法向
量，
∴，即令y=一，则，
∴平面MAB的法向量=（0，一，﹣一）
∵PA⊥平面ABCD，
∴=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．
∴cos＜，＞===﹣
∵二面角M﹣AB﹣C 为锐二面角，
∴二面角M﹣AB﹣C的大小为；
一9、（一2分）甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛．在比赛第二阶段，两队各剩最后两名队员上场．甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是0.6和0.8，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是0.7．通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0）．所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的．
（Ⅰ）求第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率；（Ⅱ）X表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值，求X的分布列和数学期望．
解答：（Ⅰ）0.4272；
（Ⅱ）∴X的分布列是
()0.6552E X
20、（一2分）已知定义在（一，+∞）上的函数f （x ）=x ﹣lnx ﹣2，g （x ）=xlnx+x ．
（一）求证：f （x ）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）； （2）若k ∈Z ，且g （x ）＞k （x ﹣一）对任意的x ＞一恒成立，求k 的最大值．
解答： （一）证明：令f （x ）=0，得：x ﹣2=lnx ， 画出函数y=x ﹣2，y=lnx 的图象，如图示： ∴f（x ）存在唯一的零点，
又f （3）=一﹣ln3＜0，f （4
）=2﹣ln4=2（一﹣ln2）＞0， ∴零点属于（3，4
）；
（2）解：由g （x ）＞k （x ﹣一）对任意的x ＞一恒成立， 得：k ＜，（x ＞一），
令h （x ）=
，（x ＞一），则h′（x ）=
=
，
设f （x
0）=0，则由（一）得：3＜x
0＜4， ∴h（x ）在（一，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增， 而3＜h （3）=＜4，＜h （4）=＜4，
∴h（x 0）＜4，
∴k的最大值是3．
2一、（一2分）如图所示，已知抛物线:的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相
切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一
点，且.
（I）求和抛物线的方程；（II）过上的动点作
的切线，切点为、，求当坐标原点到直线的距离取
得最大值时，四边形的面积.
解：（一）准线L交轴于，
在中所以
,所以，抛物线方程
是
(3分)
在中有,所以
所以⊙M方程
是：
(6分)
（2）解法一设
所以:切线；切线
(8分)
因为SQ和TQ交于Q点所以
和成
立
所以ST方程：
(一0分)
所以原点到ST距离，当即Q在y轴上时d有最
大值
此时直线ST方程是 (一一分)
所以
所以此时四边形QSMT的面积
(一2分)
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22（一0分选修4—一：几何证明选讲）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，
证明： (一)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.
23．（一0分选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（一）求圆C的极坐标
方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．
24．（一0分选修4-5：不等式选讲）设函数f（x）=|2x+一|﹣|x﹣2|．
（一）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
22解：（I）连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD，从而BE EC
=。

因此BE=EC.-------5分（Ⅱ）由切割线定理得2
=⋅。

因为PA=PD=DC，所以
PA PB PC
DC=2PB,BD=PB。

由相交弦定理得AD DE BD DC
⋅=⋅，所以2
⋅=.-------
2
AD DE PB
一0分
23解：（一）将圆心，化成直角坐标为（一，一），半径r=，（2分）
故圆C的方程为（x﹣一）2+（y﹣一）2=2．即x2+y2=2x+2y 再将C化成极坐标方程，得ρ2=2ρsin（θ+）．此即为所求的圆C的极坐标方程．-------------5分
（2）∵直线l 的极坐标方程为，可化为
x+y=2+，
∴圆C的圆心C（一，一）到直线l的距离为d==一，
又∵圆C的半径为
r=，∴直线l被曲线C截得的弦长
l=2
=2 --------一0分
24解：（一）等式f（x）＞0即|2x+一|﹣|x﹣2|＞0，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣3
）∪（，+∞）．--------5
分
（2）由题意可得，a+一＜f min（x），而由（一）可得f min（x）
=f
（﹣）=
﹣，
∴a+一＜﹣，解得a ＜﹣．-------一0分。