实验七 离散时间信号和系统

信号与系统实验报告
实验七 离散时间信号和系统
§7.1离散时间正弦信号
1.考虑下面离散时间信号：
⎪
⎭⎫
⎝⎛=N Mn n x M π2sin ][，假设N=12。

对于M ＝4，5，7和
10，在120-≤≤N
n 区间上画出][n x M 。

用
stem 创建这些图，并在图的各坐标轴上
给出适当标注。

每一个信号的基波周期是什么？由任意的整数M 和N 值，一般如何来确定信号的基波周期？务必考虑N
M
>的情况。

clc;
N=12;
n=0:(2*N-1); i=1;
for M=[4 5 7 10 15] x=sin(2*pi*M*n./N); figure(i)
stem(n,x,'fill'); i=i+1; end
答：第一个信号的基波周期为3；第二个信号的基波周期为12；第三个信号的基波周期为12；第四个信号的基波周期为6。

由任意的整数M和N值，一般来说信号的基波周期为N/（M与N的最大公约数）
2．考虑信号()n n x k k ωsin ][=，式中5
2k k
πω=。

对于6
,4,2,1=k
，用stem 对][n x k 画出
在区间90<<n 内的图。

应利用subplot 在一张图上用单独的坐标轴画出全部信号。

已画出的图中有多少个唯一的信号？如果两个信号是完全一样的，请解释为何不同的k ω会产生同一个信号。

clc; n=1:8; i=1;
for k=[1 2 4 6] x=sin(2*pi*k/5*n); subplot(2,2,i) stem(n,x,'fill')
i=i+1; end
答：图中有2个唯一的信号。

因为信号是离散的信号，而连续的余弦信号又为周期信号，因此当k 值取值符合一定要求时，两个离散信号图形可能一模一样。

3．考虑下面3个信号
⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=N n N n n x N n N n n x N n N n n x 25sin 32cos ][3sin 2cos 2][3sin 2cos ][321ππππ
假设对每个信号N=6。

试确定是否每个信号都是周期的。

如某一信号是周期的，从0=n 开始画出该信号的两个周期；如该信号不是周期的，对N n 40≤≤画出该信号，并说明为何它不是周期的。

clc; N=6;
subplot(311) n1=0:24;
x1=cos(2*pi*n1./N)+sin(3*pi*n1./N); stem(n1,x1) subplot(312) n2=0:24;
x2=2*cos(2*n2./N)+sin(3*n2./N); stem(n2,x2) subplot(313) n3=0:48;
x3=cos(2*pi*n3./N)+3*sin(5*pi*n3./(2*N)); stem(n3,x3)
答：若2*pi/w0不是有理数，则该信号不是周期的。

4．在310≤≤n 内画出下列信号：
⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=8cos 4sin ][4cos ][4cos 4sin ][3221n n n x n n x n n n x πππππ
每个信号的基波周期是什么？对于这3个信号不依赖MATLAB 如何确定基波周期？
答：第一个信号的基波周期是 4，第二个信号的基波周期是4，第三个信号周期为32。

5．考虑上面3和4中已画出的信号。

两个周期信号的相加必定还是周期信号吗？清说明你的理由？
clc; n=0:31;
x1=sin(pi*n./4).*cos(pi*n./4); x2=(cos(pi*n./4)).^2;
x3=sin(pi*n./4).*cos(pi*n./8); subplot(311) stem(n,x1) subplot(312) stem(n,x2) subplot(313)
stem(n,x3)
答：若两个相加信号的周期不一样，那么相加后的结果可能不在按规律重复，得到的信号也就不是周期信号。

§7.2离散时间信号时间变量的变换
1．定义一个MATLAB 向量nx 是在73≤≤-n 上的时间变量，而MATLAB 向量x 是信号][n x 在这些样本上的值，][n x 给出如下：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧==-===n n n n n n x 其余 ,04 ,33
1,2 ,10 ,2][
请正确定义][n x ，用stem(nx,x)画出该离散时间序列。

clc; n=-3:7;
x=zeros(1,11); x(4)=2; x(6)=1; x(7)=-1;
x(8)=3; stem(n,x);
2．定义MATLAB 向量y1~y4，来表示下列离散时间信号：
]1[][]
[][]1[][]2[][4321+-=-=+=-=n x n y n x n y n x n y n x n y
为此，应该定义y1~y4，关键是要正确定义标号向量ny1~ny4。

首先应判断当变换到][n y i 时，一个给定的][n x 样本的变量时如何改变的。

标号向量不必要跨于和nx 相同的一组变量值，但至少都是11个样本长，并包含了与有关信号全部非零样本的变量值。

clc;
x=zeros(1,11) x(4)=2 x(6)=1 x(7)=-1 x(8)=3 n=-3:7 n1=n-2 n2=n+1 n3=-n n4=-n+1 y1=x y2=x y3=x y4=x y1 =
Columns 1 through 10
0 0 0 2 0 1 -1 3 0 0
Column 11 0 y2 =
Columns 1 through 10
0 0 0 2 0 1 -1 3 0 0
Column 11
0 y3 =
Columns 1 through 10
0 0 0 2 0 1 -1 3 0 0
Column 11 0 y4 =
Columns 1 through 10
0 0 0 2 0 1 -1 3 0 0
Column 11 0
3．利用stem 产生][1n y 到]
[4n y 的图。

根据这些图，陈述每个信号与原始信号]
[n x 是如何相关联的。

clc;
x=zeros(1,11); x(4)=2; x(6)=1; x(7)=-1; x(8)=3; n=-3:7; n1=n-2; n2=n+1; n3=-n; n4=-n+1; y1=x; y2=x; y3=x; y4=x;
subplot(2,2,1)
stem(n1,y1);title('y1') subplot(2,2,4)
stem(n4,y4);title('y2')
subplot(2,2,2)
stem(n2,y2);title('y3') subplot(2,2,3)
stem(n3,y3);title('y4')
§7.3离散时间系统的性质 1.系统()
][2sin ][n x n y π
=不是线性的。

利用信号][][1n n x δ=和][2][2n n x δ=来证明该系
统是如何违反线性性质的。

答：当n=0时，若输入 ][][1n n x δ=，则x1(0) =1,y10)=1;若 ][2][2n n x δ=，则x2(0)=2，y2(0)=sin(pi/4)=2/2, 结果不等于 2倍y1(0),因此是非线形的。

2．系统]
1[][][++=
n x n x n y 不是因果的。

利用信号][][n u n x =证明它。

定义MATLAB
向量x 和y 分别代表95≤≤-n 上的输入和96≤≤-n 上的输出。

中等题
答：y[n]=x[n]+x[n+1]=u[n]+u[n+1],当n=-1时，y[-1]=u[-1]+u[0]=1,即当n<0时，存在y(n)不等于0，因此系统
]
1[][][++=n x n x n y 不是因果的。

clc; i=0; for n=-5:9
i=i+1;
x(i)=Heaviside(n);
end
i=0;
for n=-6:9
i=i+1;
y(i)=Heaviside(n)+Heaviside(n+1);
end
3．系统()][log ][n x n y =不是稳定的。

答：当n<0时，x[n]=0,而log 0等于负无穷大，此时y[n]无界，也就是说y 不是绝对可和，因此系统()][log ][n x n y =不是稳定的。

4．上述1中的系统不是可逆的。

答：因为三角函数是一个周期函数，当求反三角函数时，因为不知道pi/(2x(n))落在哪一个周期内而无法确定此系统的逆系统，因此1中的系统不是可逆的。

5．][][3n x n y =
答：此系统非线性。

当输入为2x[n]时，输出为8倍y[n]。

6．][][n nx n y =
答：此系统时变。

因为系统方程中含有n 显示函数，因此为时变系统。

7．]2[][n x n y =
答：此系统时变。

因为系统中含尺度变换。

§7.4实现一阶差分方程
1．写出一个函数y=diffeqn(a,x,yn1)，该函数计算][]1[][n x n ay n y +-=所描述的因果系统的输出][n y 。

输入向量x 包含10-≤
≤N n 内的][n x ，yn1提供y[-1]的值。

输出向量y 包含10-≤
≤N n 内的][n y 。

M 文件的第一行应该读出function
y=diffeqn(a,x,yn1)
提示：从y[-1]计算y[0]是自递归的第一步。

在M 文件中利用for 循环从0=n 开始依次计算到较大n 值的][n y 。

function y=diffeqn(a,x,yn1);
N=length(x);
for n=1:N
if n==1
y(n)=a*yn1*x(n)
else y(n)=a*y(n-1)+x(n)
end
end
2．假设0]1[,1=-=y a ，而且仅关心300≤≤n 内的输出。

利用这个函数计算][][1n n x δ=和][][2n u n x =时的响应，用stem 画出每个响应。

clc;
a=1;yn1=-1;
for n=0:30
x2(n+1)=1;
if n==0
x1(n+1)=1;
else x1(n+1)=0;
end
end
y1=diffeqn(a,x1,yn1)
y2=diffeqn(a,x2,yn1)
n=[0:30];
subplot(211)
stem(n,y1,'fill');
title('y1');
subplot(212)
stem(n,y2,'fill');
title('y2');
3．假设1]1[,1-=-=y a ，利用这个函数计算][][1n u n x =和][2][2n u n x =时，在300≤≤n 内的][1n y 和][2n y ，利用stem 画出这两个输出，并画出][][221n y n y -。

已知系统方程的是一线性差分方程，为什么这个差不恒为零？
clc;
a=1;yn1=-1;
for n=0:30
x2(n+1)=1;
x1(n+1)=1;
end
y1=diffeqn(a,x1,yn1)
y2=diffeqn(a,x2,yn1)
n=[0:30];
subplot(311)
stem(n,y1)
title('y1');
subplot(312)
stem(n,y2)
title('y2');
subplot(313)
stem(n,2*y1-y2)
title('2*y1-y2');
答：此系统为非因果，有初始储能，因此虽然系统方程的是一线性差分方程，但这个差不恒为零。

4．只要1<a ，方程][]1[][n x n ay n y +-=描述的因果系统是BIBO 稳定的。

这类系统
的一个性质就是对于足够大的n ，初始条件的影响是不重要的。

假设21=a ，x
向量包含在300≤≤n 内的][][n u n x =。

假定0]1[=-y 和21]1[=-y 的两种情况下，计算300≤≤n 内的两个输出信号。

利用stem 画出这两个响应，它们的差异怎样？ clc;
a=1/2;yn1=0;yn2=-1;
for n=0:30
x(n+1)=1;
end
y1=diffeqn(a,x,yn1);
y2=diffeqn(a,x,yn1);
n=[0:30];
subplot(211)
stem(n,y1);
axis([0 30 -0.5 2.5]);
title('y1');
subplot(212)
stem(n,y2);
axis([0 30 -0.5 2.5]);
title('y2');。