拓扑优化中基于图论的邻接熵过滤方法

第38卷　第3期2010年　3月　华　中　科　技　大　学　学　报(自然科学版)
J.Huazhong Univ.of Sci.&Tech.(Natural Science Edition )Vol.38No.3　Mar.　2010
收稿日期:2009205208.
作者简介:陈志敏(19822),男,博士研究生,E 2mail :minzc @.
基金项目:国家重点基础研究发展计划资助项目(2004CB 719405);国家自然科学基金资助项目(50825503).
拓扑优化中基于图论的邻接熵过滤方法
陈志敏　赵龙彪　邱浩波　高　亮
(华中科技大学数字制造装备与技术国家重点实验室,湖北武汉430074)
摘要:在拓扑优化中提出一种基于图论的邻接熵过滤方法,通过分析单元的邻接信息,对无效单元进行过滤,从而有效消除棋盘格现象并降低优化结构的网格依赖性.该方法具有数值实现简单、计算量小、适应复杂网格划分、兼容多种有限元求解器等优点.给出了采用邻接熵过滤法的拓扑优化程序流程,用Matlab 程序和
ANSYS 参数化设计语言实现了算法,并通过典型算例证明了该方法的有效性.
关　键　词:拓扑优化;邻接熵;棋盘格;网格依赖性;参数化设计语言
中图分类号:T H11;TU311 文献标识码:A 文章编号:167124512(2010)0320008204
Abuttal entropy numerical f ilter method by graph
theory in topology optimization
Chen Zhi mi n Zhao L on gbi ao Qi u H aobo Gao L i an g
(State Key Laboratory of Digital Manufacturing Equipment and Technology ,Huazhong University of Science and Technology ,Wuhan 430074,China )
Abstract :An abuttal ent ropy met hod to solve t he numerical filters in topology optimization is devel 2oped ,in which t he checkerboard pattern and mesh 2dependency problem could be solved effectively t hrough analyzing t he adjacency information of t he st ruct ure and filtering t he invalid unit.Owing to it s less comp utational complexity ,t his met hod could be implemented easily and adapted to t he com 2plex mesh and be compared wit h multiple finite element met hod solvers.A topology optimization p ro 2cedure is also given by using t he abuttal ent ropy met hod and be implemented t hrough Matlab and ANS YS parametric design language.Finally ,t he validity of t his met hods is p roved t hrough several numerical applications.
K ey w ords :topology optimization ;abuttal ent ropy ;checkerboard ;mesh 2dependency ;parametric de 2
sign language
基于有限元分析的拓扑优化求解的结构中容易出现棋盘格和网格依赖性[1]等数值计算不稳定性问题.在拓扑优化求解过程中,如果不能有效解决数值不稳定性问题,那么优化过程将很难进行.因此,消除这些数值计算不稳定性问题的数值稳定性过滤算法是拓扑优化研究领域的一个热点.
棋盘格现象是网格依赖性现象的一种表现形式,能消除网格依赖性现象的方法一般也能消除棋盘格现象[2].消除棋盘格和网格依赖性现象的
常见的解决方法有很多种[3～9],大多是基于变密度法的方法,计算过程依赖复杂的密度、敏度和柔度等信息,需要进行复杂的数值计算,同时都只适合大小一致的四边形网格划分.文献[10]提出了一种采用最小宽度的方法,通过控制拓扑结构中的杆件的粗细来达到过滤效果,能有效消除棋盘格现象.但这种方法也只适应大小一致的四边形网格划分,对复杂网格有很大的局限性.文献[11]提出基于连通性的罚函数法,其思路是判断优化
结构中的各单元的连通性,找到一个单元数量最多的连通性结构,对此连通结构外的其他连通结构通过罚函数法进行删除.此方法只能减缓棋盘格现象,不能适应复杂网格划分,同时有很大的局限性.
为此,本文提出一种基于图论的邻接熵过滤法,它计算量小、计算规则简单、适合处理复杂网格模型、能有效消除棋盘格和网格依赖性现象,可以移植到不同的软件开发环节中.
1　邻接熵过滤法
数值稳定性过滤方法需充分考虑过滤效果、
优化对象的网格划分、约束和载荷的复杂性、计算资源等.
1.1　术语定义
邻接熵过滤法主要包含两个部分:一是计算有限元网格中每个单元的邻接熵值;二是按照邻接熵过滤法则对有限元网格的单元“生死”状态进行过滤计算.有限元网格中每个单元的邻接熵值定义如下.
邻接熵:表示单元的周边相邻单元的数量的多少,分正邻接熵和负邻接熵两种.
正邻接熵P ae :表示对于单元中状态为“生”的单元,与之边邻接的“生”单元个数.
负邻接熵N ae :表示对于单元中状态为“死”的单元,与之边邻接的“死”单元个数.图1是对三类不同的四边形网格设计区域进行邻接熵值标注的例子,规定白色单元为“死”单元,深色单元为“生”单元.
各单元的邻接熵值标在
图1　不同网格结构的邻接熵值
单元上,其中“生”单元上的邻接熵值为正邻接熵
值,“死”单元上的邻接熵值为负邻接熵值.1.2　邻接熵过滤方案
邻接熵过滤步骤如下:步骤1　若某个“生”单元未受到约束或载荷,且P ae ≤1,则执行删除操作,即改“生”状态为“死”状态.若某个“生”单元受到约束或载荷,且P ae <1,则同样执行删除操作.
步骤2　若某个“死”单元未受到约束或载荷,且N ae ≤1,则执行重生操作,即改“死”状态为“生”状态.若某个“死”单元受到约束或载荷,且N ae <1,则同样执行重生操作.
图2所示为执行删除和重生步骤的拓扑结构对比.
邻接熵过滤方法是一种启发式的局部约束方法,它能事先定义单元的邻接特征,使结构体现出较好的网格无关性,同时能有效消除棋盘格现象.它的最大优点体现在以下几个方面:a .优化过程中不用加入额外约束,邻接熵值计算简单,过滤法则简单,计算量小,计算速度快;b .过滤规则与求解规模无关,可以解决不同规模的拓扑优化问题;c .是一种基于图论的方法,过滤计算过程和过滤效果只与网格的邻接关系相关,
可以适应复
图2　执行删除和重生步骤的拓扑结构对比
杂的网格划分;d .很容易与现有的有限元求解器兼容,因此可以将其运用在基于现有的有限元软件开发的拓扑优化系统中.
2　采用邻接熵过滤法的拓扑优化
图3为采用邻接熵过滤法的拓扑优化流程图,其中拓扑优化算法采用B ESO 法[10,12].本研究用Matlab 程序和A PDL 程序实现了此程序流程.两种程序实现的过程稍有一些区别,求解步骤
・
9・第3期 陈志敏等:拓扑优化中基于图论的邻接熵过滤方法
如下:
步骤1　通过程序进行有限元网格划分,定
义边界.或通过ANS YS 的GU I 接口进行有限元网格划分,定义边界.
步骤2　读入优化参数,如最大优化迭代步数、优化终止条件.初始化设计变量,如弹性模量、泊松比、约束和载荷.步骤3　用Matlab 程序编写的有限元求解器求解位移场和应力场,或通过ANS YS 的有限元求解器求解位移场和应力场.
步骤4　B ESO 法更新设计变量,按照一定的规则重新调整材料分布.
步骤5　用本文方法计算所有单元的正邻接熵值和负邻接熵值.
步骤6　按照邻接熵过滤法则更新设计变量,消除棋盘格现象和网格依赖性现象.
步骤7　判断是否满足优化约束条件,若不满足,则更新模型,转到步骤3继续优化迭代;若满足,则转到步骤8.
步骤8　有限元后处理,绘制材料分布图,输出优化数据
,结束优化迭代过程.
图3　拓扑优化流程图
3　实例及结果分析
3.1　实例1
设计域如图4(a )所示.设计空间长0.24m ,宽0.12m ,厚5mm.材料的弹性模量为207GPa ,泊松比为0.3,体积比约束为0.5,左边所有
网格节点受全约束,受载荷工况F =10kN.优化的目标为结构的整体柔度最小,对应为适应度函数最大问题.
通过Matlab 编写程序进行数值实验,网格划分为24×12.实验结果如图4所示,可以看出,未进行邻接熵过滤时,拓扑优化的结构中有明显的棋盘格现象,结构也多处不连续.图4(b )为文献[11]的求解结果,从图中可以看出,棋盘格现象虽然比未过滤(图4(c )
)好,但依然存在.当采用邻
图4　实例1的设计域及求解结果
接熵(A E )过滤法时,拓扑优化的结构中都未出现
明显的棋盘格现象(图4(d )),说明过滤方法能有效抑制棋盘格现象.
基于ANS YS 2A PDL 语言编写程序进行数值实验,采用不同粒度的网格划分.图5比较了未采用邻接熵过滤法和采用邻接熵过滤法过滤的求解结果.从图中可以看出,当未采用邻接熵过滤时,优化结构中出现明显的棋盘格现象;而当采用邻接熵过滤法进行数值过滤时,优化结构中有效地
消除了棋盘格现象,得到清晰的结构.
(a )未过滤(b )A E 过滤
图5　不同粒度的网格划分求解结果
3.2　实例2
设计域如图6(a )所示.设计空间长0.16m ,
宽0.16m ,厚5mm.材料的弹性模量为207GPa ,泊松比为0.3,体积比约束为0.5,左边所有网格节点受全约束,受载荷工况F =10kN.优化的目标为结构的整体柔度最小,对应为适应度函数最大问题.
通过Matlab 进行数值实验,从实验结果可以看出:未过滤时,拓扑优化的结构中有明显的棋盘格现象,结构也多处不连续(图6(b ));当采用A E 过滤时,拓扑优化的结构中未出现明显的棋盘格现象,过滤方法能有效抑制棋盘格现象的出现(图6(c )).
用ANS YS 2A PDL 进行数值实验.有限元网格中有三角形网格,也有四边形网格,属于混合网格划分.图7比较了未采用邻接熵过滤法和采用后的2种求解结果,从图中可以看出:未采用邻接熵过滤法时,优化结构中出现明显的棋盘格现象;而采用邻接熵过滤法进行数值过滤后,消除了棋盘格现象,并得到清晰的结构.
・01・ 华　中　科　技　大　学　学　报(自然科学版)　第38卷
(a )设计域(b )未过滤(c )A E 过滤
图6　实例2
的设计域和求解结果
(a )未过滤
(b )A E 过滤
图7　混合网格划分的求解结果参
考
文
献
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