角的概念推广(一)
第1讲 正弦、余弦、正切、余切(讲义)
第1讲 正弦、余弦、正切、余切知识梳理1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ.（4）角α在“0到 360”范围内，指 3600<≤α.2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制．弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小(1) 角度制与弧度制换算关系：180π︒=弧度 ，rad 1801π= ，30.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为s ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=.在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.一、 角概念的推广例题解析例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ± 例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则2α是（ ） A ．锐角 B ．第一象限角C ．第一、三象限角D ．第二、四象限角例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ）A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在y 轴负半轴上的角的集合为___________________例6.（2020·上海市金山中学高一期中）2019角是第_______象限角．例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与4π角终边重合的角的集合是________ 巩固练习1．（2020·上海浦东新区·高一期中）若α是第一象限的角，则2α是第________象限的角．2．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.3．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.4．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。
角的概念和弧度制
1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。
角的概念推广教案
角的概念推广优秀教案第一章：角的引入1.1 教学目标让学生了解角的定义和基本性质。
能够识别和比较不同类型的角。
能够用角度来描述角的大小。
1.2 教学内容角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形。
角的性质：角的内部是两条射线的公共部分，外部是不共线的两条射线的夹角。
角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
1.3 教学方法通过实物演示和图形展示，引导学生直观地理解角的概念。
利用几何模型和练习题，让学生亲手操作，加深对角的认识。
1.4 教学资源角的概念引入PPT演示文稿。
实物模型和图片，如剪刀、三角板等。
1.5 教学步骤1.5.1 导入：利用实物或图片，引导学生观察和描述角的存在。
1.5.2 新课引入：讲解角的定义和性质，通过PPT演示文稿和实物模型进行辅助说明。
1.5.3 实例分析：展示不同类型的角，让学生区分和比较它们的大小。
1.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的概念进行解答。
1.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的概念的理解程度。
第二章：角的大小比较2.1 教学目标让学生能够比较不同角的大小。
学会使用量角器测量角的大小。
2.2 教学内容角的大小比较：通过观察角的内部或外部，比较角的大小。
量角器的使用：量角器的结构和如何测量角的大小。
2.3 教学方法通过实际操作量角器，让学生学会正确测量角的大小。
提供练习题，让学生运用比较角大小的方法。
2.4 教学资源量角器演示文稿和实物量角器。
练习题和答案。
2.5 教学步骤2.5.1 导入：复习上一章的内容，引导学生回顾角的概念。
2.5.2 新课引入：讲解如何比较角的大小，通过PPT演示文稿和实物量角器进行辅助说明。
2.5.3 实例分析：提供一些角的大小比较实例，让学生实践和理解比较方法。
2.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的大小比较方法进行解答。
2.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的大小比较的理解程度。
角的概念的推广(1)
衡山县始边
A
锐角
直角
钝角
╭╮
平角
周角
B 终边 O 终边 C
正角：按逆时针方向旋转而成的角；
α 始边 β A
负角：按顺时针方向旋转而成的角; 零角：射线没有旋转时的角。 ∠AOB=1350 ∠AOC=
- 1350
B β γ α O C δ D
A P
αA β O
O B A
O
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
B
O
B
O
B
O
A
A
A
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
BB
O O
A
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
α2 = (-2) × 360 0 + 300 =- 690 0
α1 =1 ×3600 + 600 =4200
α2 = (-2) × 360 0 + 300 =- 690 0
从终边位置来看，任何一个角α 的终边总能与
00 ~ 3600 范围内的一个正角γ的终边重合，而且任 何角α总能表示为： α=k × 3600 + γ,k ∈Z, 00≤γ<3600
α=450
β=α+2 × 3600=450+7200=7650
B
O
P A
O βα
α= -450
P
A
β=α-2 × 3600= -450-7200= -7650
[练习1]说出下图中角α的大小
高考数学理科 复习 第四章三角函数 §4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
(2)(2014成都一模)已知sin(π-α)=log8
1 4
,且α∈
2
,
0
,则tan(2π-α)的值为
.
25
答案 (1)C (2) 5
解析 (1)∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
∵c=tan
35°=
、 R、
α α≠ 2 +kπ,k∈Z .
5.三角函数线 设角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,则有向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段 OM 叫做 角α的余弦线;过点A(1,0)作单位圆的切线交 角α的终边或其反向延长线于点T,则有向线 段AT叫做角α的 正切 线.
6.三角函数的符号规律 第一象限全“+”,第二象限正弦“+”,第三象限正切“+”,第四象限余 弦“+”.简称:一全、二正、三切、四余. 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1 ;
(2)商数关系: 8.诱导公式
sin α =tan α .
cos α
组数 角
正弦
一 2kπ+α (k∈Z)
sin α
余弦
cos α
二 π+α
-sin α -cosα
三 -α
-sin α cos α
正切
tan α
tan α -tan α
四 π-α
sin α -cos α -tan α
五
六
-α
+α
α的值为
(
三角函数相关知识点
三角函数相关知识点三角函数知识点学习资料一、基本概念1. 角的概念推广正角、负角和零角：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，不作任何旋转形成的角为零角。
象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。
终边在坐标轴上的角不属于任何象限。
终边相同的角：所有与角α终边相同的角（连同α在内），可构成一个集合S ={β|β=α + k·360^∘,k∈ Z}。
2. 弧度制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
弧度与角度的换算：180^∘=π rad，所以1^∘=(π)/(180) rad，1 rad = ((180)/(π))^∘。
弧长公式：l =|α|r（其中l为弧长，α为圆心角弧度数，r为半径）。
扇形面积公式：S=(1)/(2)lr=(1)/(2)|α|r^2。
二、三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么sinα=y，cosα = x，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
对于角α终边上任意一点P(x,y)（r=√(x^2)+y^{2}），则sinα=(y)/(r)，cosα=(x)/(r)，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
2. 三角函数值在各象限的符号正弦函数y = sin x：一、二象限为正，三、四象限为负。
余弦函数y=cos x：一、四象限为正，二、三象限为负。
正切函数y = tan x：一、三象限为正，二、四象限为负。
三、同角三角函数的基本关系1. 平方关系sin^2α+cos^2α = 1。
2. 商数关系tanα=(sinα)/(cosα)(cosα≠0)。
四、诱导公式1. α + 2kπ(k∈ Z)与α的三角函数关系sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α + 2kπ)=tanα。
sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。
角的概念推广(1)说课
温故 知新
教学实施——提高拓展
已知角α与240°的终 边相同，判断角2α是 第几象限角？
发挥知识系统的整体优势，为后 续学习提供了广阔的思维空间。
教学实施——课后巩固
1. 与1840°终边相 同的最小正角 为 ， 与-1840°终边 相同的最小正角 为 。
“课内小组活动”评价表
评价内容 分值 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 总评价 备注 小组内学 生分工 明确 （20） 小组内学生 认真倾听互 参与程 助互学 度（20） （20） 合作交流中 自主、合作、 能解决 探究的 问题 氛围 （20） （20） 总分 （100）
江苏省职业学校文化课教材
角的概念推广
第1课时
连云港生物工程中等专业学校
陆 晔
江苏教育出版社
1 2 3 4 5
目 标 确 立 学 情 分 析 教 材 处 理
教 学 设 计
教 学 实 施 资 源 整 合 教 学 反 思
6
7
目标确立——教材分析
初中锐角三 角函数
承接 渗透
任意角的 三角函数
角的概念推广
2. 时钟走0.5小时， 时针所转过的角度 是多少度？分针所 转过的角度是多少 度？
强化学生对所学知识的理解和灵活运用，及时得到反馈信息。
归纳总结
有助于新知的巩固和应用，又 为今后的学习打下坚实基础。
教学实施
16 14 12 10 8 6 4 2 0 课前尝试 课堂探究 例题讲评 巩固拓展 归纳总结 5 8
例3 写出与下列各角
终边相同的角的集合。 （1）75° （2）200°
高一数学角的概念的推广1
所以
终边落在ｙ轴上的角的集合为
={β| β=900+1800 的偶数倍}
2700+k∙3600
S=S1∪S2
∪{β| β=900+1800 的奇数倍}
={β| β=900+1800 的整数倍}
={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
练习
写出终边落在ｘ轴上的角的集合
• 小结：
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
与ａ终边相同的角的一般形式为
ａ＋Kｘ3600，K ∈ Za S={ β| β= a+kx3600 , K∈ Z}
300+2x3600 ,
300+3x3600 ,
…,
300－2x3600
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300＋KX3600，K ∈ Z
例1 把下列各角写成ａ＋ｋ.3600（00≤ａ＜3600， ｋ∈ｚ）的形式，并判定它们分别是第几象限角：
1.任意角的概念
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
ａ＋Kｘ3600，K ∈
Z
x 例2 写出终边落在 y 轴上的角的集合。 • 解：终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为 y
1.在初中角是如何定义的？ 角的范围是多少？
定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边 边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 终边
角的概念的推广1
终边在y轴非正半轴的角的集合: { x | x k 360 270, k Z } 故终边落在坐标轴上角的集合为:
{ x | x k 90, k Z }
思考： 求终边为直线 y = -x的 角的集合.
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
{ x | x k 360, k Z}
终边在x轴非正半轴的角的集合：
{ x | x k 360 180, k Z}
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
{ x | x k 360, k Z}
(2) 轴线角的集合：
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
{ x | x k 360, k Z}
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
{ x | x k 360, k Z}
终边在x轴非正半轴的角的集合：
下列各角终边相同的角，并 判断它是哪个象限的角。
(1) 120(2)640(3) 95012'
例2： 写出与下列各角终边相同
的角的集合S，并把S中在
360 ~ 720 间的角写出来：
(1)60(2) 21(3)36314 '
思 考
怎样用集合表示各象限角与 轴线角?
(1) 象限角的集合：
第三象限角的集合：
{ x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{ x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
角的概念推广教案
角的概念推广教案【篇一：角的概念的推广教学设计】角的概念的推广－教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示。
设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
要点梳理1任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分
扇形的圆心角的弧度数是（ C ）
A.1 B.4
C.1或4
D.2或4
练习2 (1)在已知圆内，1 rad的圆心角所对的弦长
为2，求这个圆心角对的弧长．
(2)扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求它的中心角和弦AB的长．
• 思路分析：①确定一个扇形需要几个基本 条件？②1 rad是如何定义的？③扇形的 周长如何表示？
解：(1)如右图所示，由圆心 O 向弦 AB 作垂线，垂 足为 C，则 C 为 AB 的中点，
∵∠AOB＝1 rad，AB＝2，
∴R＝ ，∠AOC＝12 rad，AC＝1. 在△AOC 中，sin∠AOC＝OCAA，
∴OA＝ 11＝ ， sin2
即此圆心角对的弧长为
1 1.
sin2
(2)如右图，令 的长度为 l，OA＝r，则 l＝4－2r. ∵S 扇形＝12lr，∴12(4－2r)r＝1，解得 r＝1，l＝2. 令∠AOB 的弧度数为 α，则 α＝rl＝21＝2(rad)． 过 O 作 OH⊥AB 于 H，则 AB＝2AH＝2rsin1＝2sin1， ∴扇形 OAB 的中心角为 2 rad，弦 AB 的长为 2sin1 cm.
考点一、角的集合表示及象限角的判断
例1、（1）写出终边在直线 y 3x 上的角的集合；
（2）若角 的终边与 6 角的终边相同，求在 0,2
7
内终边与 角终边相同的角；
3
（3）已知角 为第三象限角，是确定 2的终边所在的象限；
变式：判断例（3）中 、 是第几象限角；
思考：X轴、y轴如何表示？
（3）弧度制
①1弧度的角：把__长__度__等__于__半__径__长__的__弧__所__对_的__圆__心__角__
角的概念的推广
五 、已知角二α的终边在x轴的上方那么α是
A C第一象限角
B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
六、若α是第四象限角则一八0º－α是 C
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
七、在直角坐标系中若α与β终边互相垂直那么
α与β之间的关系是
D
A. β=α+九0o
B β=α±九0o
一.一.一角的概念的推广
一、角的概念
初中是如何定义角的 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解但它是从图形形状来定义角因此角的范围 是[0º三六0º
这种定义称为静态定义其弊端在于“狭 隘”.
生活中很多实例会不在该范围 体操运动员转体七二0º跳水运动员向内、 向外转体一0八0º； 经过一小时时针、分针、秒针各转了多 少度 这些例子不仅不在范围[0º三六0º而且方 向不同有必要将角的概念推广到任意角 想想用什么办法才能推广到任意角 关键是用运动的观点来看待角的变化
思考八：如果α是第二象限的角那么二α、α/二 分别是第几象限的角
九0°＋k·三六0°<α<一八0°＋k·三六0° 一八0°＋k·七二0°<二α<三六0°＋k·七二0°
四五°＋k·一八0°<α/二<九0°＋k·一八0°
课堂练习
一．锐角是第几象限的角第一象限的角是否 都是锐角小于九0º的角是锐角吗区间0º九0º内 的角是锐角吗
2100
6600
-1500
特别地当一条射线没有作任何旋转时我 们也认为这时形成了一个角并把这个角叫做 零度角0º．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
一轮复习专题18 三角函数(知识梳理)
专题18三角函数（知识梳理）一、知识点(一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
其中顶点，始边，终边称为角的三要素。
角可以是任意大小的。
(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。
集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。
2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ；rad 01745.01801≈π= 。
3、特殊角的三角函数值30 45 60 90 120 135 150 18006π4π3π2π32π43π65ππsin 021222312322210cos 1232221021-22-23-1-tan3313⨯3-1-33-0210 225 240 270 300 315 330 36067π45π34π23π35π47π611ππ24、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅n πk 2第一象限角平分线36045⋅+n π+πk 24x 轴负半轴360180⋅+n π+πk 2第二象限角平分线 360135⋅+n π+πk 243x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线360225⋅+n π+πk 245y 轴正半轴36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+n π+πk 247y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223第一、三象限角平分线18045⋅+n π+πk 4y 轴18090⋅+n π+πk 2第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43坐标轴90⋅n 2πk 象限角平分线9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。
角的概念的推广(1)
逆时针
顺时针
规定:
任 意 角 正角: 正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角: 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线不 零角:射线不做旋转时形成的角
y 终边 终 边 x o 始边
2.在坐标系中的角 在坐标系中的角
终 边
条件:(1)角的顶点与坐标原点重合 角的顶点与坐标原点重合 条件 (2)始边于 轴的非负半轴重合 始边于X轴的非负半轴重合 始边于
写出与下列各角终边相同的角的集合S, 例2 .写出与下列各角终边相同的角的集合 , 写出与下列各角终边相同的角的集合 o o 并把S中适合不等式 并把 中适合不等式 360 ≤ β ≤ 720 的元素β 写出来 (1)60o (2)-21o (3)363o14/
写出终边在y轴上的角的集合 例3. 写出终边在 轴上的角的集合 (用0o到360o的角表示 ) 用
象限角:角的终边 除端点外 在第几象限就说这个角 角的终边(除端点外 角的终边 除端点外)在第几象限就说这个角 是第几象限角
终边在坐标轴上的角---不属于任何象限 终边在坐标轴上的角 不属于任何象限
提问:一个确定的角其终边确定吗 提问 一个确定的角其终边确定吗? 一个确定的角其终边确定吗 y 反之终边相同的角有多少个?如何表示 如何表示? 反之终边相同的角有多少个 如何表示
终边落在第几象限就是第几象限角 终边落在第几象限就是第几象限角 落在第几象限就是
3 . 终边与 角 α 相同的角
作业:P4习题4.1 T1(1)(2)(4),T2,T3(1)(3)
�
{
}
小结: 小结
正角:射线按逆时针方向旋转形成的角 正角:射线按逆时针方向旋转形成的角
1.任意角的概念 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角 任意角的概念 负角:射线按顺
《三角函数》专题1 角的概念的推广(Word版含答案)
《三角函数》专题1-1 角的概念的推广（5套，4页，含答案）知识点：图示典型例题：1.—225°是第象限角？（③）2.与30°终边相同的角是：( ④) A－30°B210°C390°D－360°3.在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为⑤．4.不相等的角的终边位置（⑥）A.一定不相同B.一定相同C.可能相同D.以上都不对5.已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（⑦）A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．A≠⊂C D．A＝B＝C随堂练习：1.－1120°角所在象限是（⑧）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.与－1050°终边相同的最小正角是⑨.3.写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合____________．（⑩）4.以下列四个命题：①大于90°的角是钝角；②第二象限的角一定是钝角；③第二象限的角必定大于第一象限的角；④负角也可能是第一象限角．其中不正确．．．命题的个数有（11）A．1个B．2个C．3个D．4个《三角函数》专题1-2 角的概念的推广1.与1991°终边相同的最小正角是__，绝对值最小的是，它们是第_ 12象限角．2.下列角中终边与330°相同的角是（13）A．30°B．－30°C．630°D．－630°3.若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝____14____.4.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B＝( 15)A. {锐角}B.{小于90°的角}C. {第一象限角}D.以上都不对5.若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____16____．1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．17(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.2.求θ，使θ与－900°角的终边相同，且θ∈[－180°，1260°]．（18）3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(19)A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D4.将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为____20____．《三角函数》专题1-4 角的概念的推广1.下列各组角中，终边相同的角是（21）A．280°与580° B．－125°与485° C．－360°与0°D．12°与364°2.已知角α终边上有一点P(0，b)（b＜0），则α是（22）A．第三象限角B．第四象限角C．第三或第四象限角D．以上都不对3.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的－360°到360°之间的角．234.下列四个命题中正确的是（24）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角5.钟表经过4小时，时针转了度，分针转了25度．1.与－1778°角的终边相同且绝对值最小的角是26．2.给出下列四个命题，其中正确的命题有(27)①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个3.在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是___28_____．4.设E＝｛小于900的角｝，F＝｛锐角｝，G＝｛第一象限的角｝，M＝｛小于900但不小于00的角｝，则有（29）A．F⊆G⊆E B.F⊆E⊆G C.M⊆(E∩G) D.(E∩G)∩M＝F5.时钟走过3小时20分，则分针所转过的角度为________，时针所转过的角度为____30___．① 答案：(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转② 答案：第几象限角③ 答案：2；④ 答案：C ；⑤ 答案：120°与300°；⑥ 答案：C ；⑦ 答案：B ；⑧ 答案：D ；⑨ 答案：30°；⑩ 答案：{}0000708,348,12,372--；11答案：C ；12 答案：191°，－169°，三；13 答案：B ；14 答案：－110°或250°；解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°＜θ＜360°， ∴k ＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.15 答案：D ；16 答案 －960°； 解析 ∵2小时40分＝223小时， ∴－360°×223＝－960°.17 答案：解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．18 答案：{}o o o o o 1260,900,540,180,180-；19 答案：D ；[锐角θ满足0°＜θ＜90°；而B 中θ＜90°，可以为负角；C 中θ满足k ·360°＜θ＜k ·360°＋90°，k ∈Z ；D 中满足0°＜θ＜90°，故A ＝D .]20 [答案] －60°；21答案：C ；22 答案：D ；23 答案：240°，60°，－120°，－300°；24 答案：B ；25 答案：－120°，－1440°；26 答案：22°；27 [答案] D ；[解析]由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.28答案{－620°，－260°，100°，460°}；解析与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}令k＝－2，－1，0，1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.29答案：D；--；30答案：1200,100。
第一章 1.1.1角的概念的推广
上的角的集合： S＝{β|β＝45° 360° ＋k· ，k∈Z}∪{β|β＝225° 360° ＋k· ，k∈Z} ＝{β|β＝45° ＋2k· ， 180° k∈Z}∪{β|β＝45° ＋(2k＋1)· ， 180° k∈Z} ＝{β|β＝45° 180° ＋k· ，k∈Z}． ∴S 中适合－360° ≤β<720° 的元素是：
填一填·知识要点、记下疑难点
2．象限角
1.1.1
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重 合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是
本 课 时 栏 目 开 关
第几象限角 ．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角
不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角， 连同角 α 在内， 可构成一个集合
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题]
1.1.1
例 1 在 0° ～360° 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判 定它们是第几象限角．
本 课 时 栏 目 开 关
(1)－150° ；(2)650° ；(3)－950° 15′.
解 (1)因为－150° ＝－360° ＋210° ，所以在 0° ～360° 范围内，与 －150° 角终边相同的角是 210° 角，它是第三象限角．
(2)因为 650° ＝360° ＋290° ，所以在 0° ～360° 范围内，与 650° 角 终边相同的角是 290° 角，它是第四象限角．
(3)因为－950° 15′＝－3×360° ＋129° 45′，所以在 0° ～360° 范 围内， 与－950° 15′角终边相同的角是 129° 45′角， 它是第二象 限角．
形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它 形成了一个零角．
三角函数 角的概念推广
(填度).
7.在直角坐标系中，作出下列各角
(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°
8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到 90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小
于 90°的角｝．
求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.
9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，
⑶∵-950º12’=-3 360º+129º48’，
∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，它是第三象限角．
例 2 写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S 中在 360 ~ 720间
的角写出来：⑴60 ⑵ 21
⑶36314 新疆 王新敞 奎屯
四、课堂练习： 1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于 90°的角是
3 还有零角 一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角
和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、
负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 x 轴的正半轴，这样一来，角的终
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，
并把这个角叫做零角．记法：角 或
可以简记成 新疆 王新敞
奎屯
⑶意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 新疆 王新敞 奎屯
1 角有正负之分 2 角660
实例：体操动作：旋转 2 周（360×2=720） 3 周（360×3=1080）
6.1角的概念的推广及其度量
1rad 180 57.30 57 18
1 0.01745 rad 180
通常“rad”或“弧度”可以省略不写.
6.1.2弧度制
应用
例1 把67°30′化成弧度.
解
6730
'
135 2
135 (rad) 2 180
3 (rad). 8
例2 把 8 化成角度. 5
解
8 5
8 5
记作1 rad 或1弧度．
若 AB r ,则 AOB 1(rad). 若 AC 1.5r,则 AOC 1.5(rad).
当圆心角为周角时，它所对的弧(即圆周)长 l 2r ，
所以周角的弧度数是
l r
2rr
l r
2(ra(rda)d).
6.1.2弧度制
单位换算 360 2π 180
实数
角
6.1.1角的概念的推广
结论
所有与角α终边相同的角（包括角α在内），都可以表 示为 α +k·360°(k∈Z)的形式．
与角α终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
S { k 360 , k Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角 整数倍的和.
6.1.1角的概念的推广
⑴ －120°；
⑵ 30°；
⑶ 390°；
⑷ －330°.
6.1.1角的概念的推广
探究
在直角坐标系中作出30°、390°和－330°角， 这三个角的终边有何关系？
390°=30°+1×360° -330°=30°+（-1）×360°
390°、－330°与30°角之差都是 360°角的整数倍数， 它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的 终边位置后，分别继续按逆时针或顺时 针方向再旋转一周所形成的角． 与30°角终边相同的角还有哪些？
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课 题：4.1角的概念推广（一）教学目的： 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.教学过程：一、复习引入：1．复习：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是]360,0[00，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘” 2．生活中很多实例会不在改范围]360,0[00体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴角的定义：“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵角的分类：“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫∠可以简记成α角叫做零角．记法：角α或α说明：零角的始边和终边重合。
⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒） 3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转高中数学教案 第四章 三角函数（第1课时）第 3页（共7页）角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．2．象限角为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角(1)象限角:角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(2)非象限角（也称象限间角、轴线角）：角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限例如：30︒、390︒、-330︒是第Ⅰ象限角，300︒、-60︒是第Ⅳ象限角，585︒、1180︒是第Ⅲ象限角，-2000︒是第Ⅱ象限角等3．终边相同的角⑴观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k30︒=30︒+0×360︒ )0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k⑶结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和⑷注意以下四点：(1)Z k ∈(2) α是任意角；(3)0360⋅k 与α之间是“+”号，如0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．三、讲解范例：例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)950-︒︒-︒解：⑴∵-120º=-360º+240º，∴240º的角与-140º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．⑶∵-950º12’=-3⨯360º+129º48’，∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，它是第三象限角．例2写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：︒60⑴ ︒-21⑵ ︒14363⑶解：(1) {}Z k k S ∈︒⋅+︒==，36060|ββS 中在-360°～720间的角是-1×360°+60°=-280°；0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．(2) {}Z k k S ∈︒⋅+︒-==，36021|ββS 中在-360°～720间的角是0×360°-21°=-21°；1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．高中数学教案 第四章 三角函数（第1课时）第 5页（共7页）(3) {}Z k k S ∈︒⋅+'︒==，36014363|ββS 中在-360°～720°间的角是-2×360°+363º14’=-356º46’；-1×360°+363º14’=3º14’；0×360°+363º14’=363º14’．四、课堂练习：1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)总结有关角的集合表示．锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°． (答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)4200-750 8550 -5100五、小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.六、课后作业：1.下列命题中正确的是( )A.终边在y 轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是( )A.－600°＋k ·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k ·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z4.与1840°终边相同的最小正角为，与－1840°终边相同的最小正角是.5.今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期.6.钟表经过4小时，时针与分针各转了(填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360°(2)720°(3)1080°(4)1440°8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′（2）－560°24′（3）2903°15′(4)－2903°15′（5）3900°（6）－3900°A∪D＝D9.(1)∵560°24′＝200°24′＋360°∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限(2)∵－560°24′＝159°36′＋(－2)·360°∴－560°24′与159°36′终边相同在第二象限(3)∵2903°15′＝23°15′＋8·360°∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限(4)∵－2903°15′＝336°45′＋(－9)·360°∴－2903°15′与336°45′终边相同在第四象限(5)∵3900°＝300°＋10·360°∴3900°与300°终边相同在第四象限(6)∵－3900°＝60°＋(－11)·360°∴－3900°与60°终边相同在第一象限七、板书设计（略）高中数学教案第四章三角函数（第1课时）八、课后记：第7页（共7页）。