高二数学简易逻辑章节教案

高二数学简易逻辑章节教案
§1．1 命题、四种命题（1）
学习目标：1、理解命题的含义，能够正确判断一个句子是否是命题。

2、能正确判断一个命题的真假。

3、能写出一个命题另外三个命题。

学习重点：真假命题的判断，一个命题另外三个命题。

学习难点：判断语句是否是命题。

主要内容：本节学习命题的概念、四种命题。

主要内容有： 1、 命题的概念
（1）命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。

（2）真命题：判断为真的语句。

（3）假命题：判断为假的语句。

2、命题的一般形式
若p ，则q 。

其中p 为命题的条件，q 为命题的结论。

3、四种命题原命题：若 p ，则q 。

逆命题：若q ，则p 。

否命题：若p ⌝ ，则q ⌝ 。

（即同时否定原命题的条件和结论）。

逆否命题：若q ⌝ ，则p ⌝ 。

（即交换原命题的条件和结论，并同时否定） 典型例题：
例1、判断下列语句是否是命题
（1）三角函数是周期函数吗？（疑问句）
（2）但愿每一个三次方程都有三个实数根（祈使句）。

（3）指数函数真漂亮。

（感叹句） （4）2020年前，将有人登上火星。

(5）22=x 。

（6）3>x 。

（7）22+
是有理数。

（8）968能被11整除。

解： （1）、（2）、（3）不是命题，都不是陈述句。

(4)、（5）、（6） 不是命题，
虽然是陈述句，但不能判断真假。

（7）、（8）是命题，因为是陈述句，且能判断真假。

例2、 把下列命题改写成“
则 ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
（1）两条平行线不相交．
（2）正数的算术平方根是正数．
分析：重点找出原命题的条件 p 与结论 q ．
解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交；
逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行； 否命题：若两直线不平行，则两直线必相交；
逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行． （2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数；
逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数； 否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；
逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数．
例3、 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．（1）
若0=ab ，则0=a ；(2) 当
时，若
，则
解：（1）该命题为真． 逆命题“若 ，则 ”．逆命题是假命题．
否命题“若
，则
”．否命题是假命题．
逆否命题“若 ，则 ”．逆否命题是真命题．
（2）该命题为假．
逆命题“当 时，若 ，则 ”．
否命题“当
时，若
，则
”．否命题为真．
逆否命题“当
时，若
，则
”．逆否命题为真．
评注：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定
义来写．
课后练习：
1．下列语句不是命题的是（ ）
A ．2是奇数。

B ．他是学生。

C ．你学过高等数学吗？
D ．明天不会下雨。

2．下列语句中是命题的是（ ）
A ．语文和数学
B ．0
sin 451= C ．2
21x x +- D ．集合与元素 3．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）
A ．两直线平行，内错角相等
B ．两直线不平行，则内错角不相等
C ．内错角不相等，则两直线不平行
D ．内错角不相等，则两直线平行 4．命题“若a b >，则
1a
b
>”的逆否命题为（ ） A ．若
1a b
>，则a b > B ．若a ≤b ，则b a
≤1
C ．若a b >，则b a <
D ．若b
a
≤1，则a ≤b
5．命题“正数a 的平方不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方等于0”的( )
A ．逆命题
B ．否命题
C ．逆否命题
D ．否定命题
6．下列命题中正确的是（ ）
①“若x 2
＋y 2
≠0，则x ，y 不全为零”的否命题②“正多边形都相似”的逆命题
③“若m>0，则x 2
＋x －m 有实根”的逆否命题④“若x －12
3是有理数，则x 是无理数”的逆否命题 A 、①②③④ B 、①③④ C 、②③④ D 、①④
7．写出“若x 2
+y 2=0，则x =0且y =0”的逆否命题： ； 8．命题“不等式x 2
+x -6>0的解x <-3或x >2”的逆否命题是
9．把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断其真假.
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.
10．写出命题“若a 和b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题和逆否命题．
参考答案：
1． C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．D
7．逆否命题: 若x ≠0或y ≠0,则x 2
+y 2
≠0； 8．若x 23≤-≥x 且,则x 2
+x-60≤
9．(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题是真命题.
(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题. (3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题. (4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.这个命题是真命题.
10．否命题为：若a 和b 不都是偶数，则a+b 不是偶数；逆否命题为：若a+b 不是偶数，则a 和b 不都是偶数
§1．1 四种命题间的相互关系（2）
学习目标：1、理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；
2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；
3、初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤；
4、通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；
学习重点：四种命题之间的关系；
学习难点：反证法的运用．
主要内容：1、四种命题的形式和关系如下图：
由原命题构成道命题只要将和换位就可以．由原命题构成否命题只要和分别否定为和，但和不必换位．由原命题构成逆否命题时不但要将和换位，而且要将换位后的和否定·
原命题为真，它的逆命题不一定为真．
原命题为真，它的否命题不一定为真．
原命题为真，它的逆否命题一定为真．
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式—一加以讨论．
2、用反证法证明命题的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
典型例题：
例1、设原命题是“当时，若，则”，写出它的逆命题、否定命与逆否命题，并分别判断它们的真假．
解：逆命题“当时，若，则”．
否命题“当时，若，则”．否命题为真．
逆否命题“当时，若，则”．逆否命题为真．
【总结】“当时”是大前提，写其他命题时应该将“当时”写在前面．原命题的条件是，结论是，“”的否定是“”，而不是“”，同样“”的否定是“”，而不是“”．
例2、我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日．
这个问题若用直接证法来解决是有困难的，我们可以运用反证法．
解：运用反证法证明这个问题首先是根据“至少有两个学生在同一天过生日”的反面是“任何两个学生都不在同一天过生日”，也就是反设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”，从这个反设出发就会推出这367人就会有不同的367天过生日，这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾．产生这个矛盾的来源是由于开始的反设，因此反设不成立，这样得出了“至少有两个学生在同一天过生日”的结论．
例3、用反证法证明：若，则、、中至少有一个不等于0．
证明：假设、、都等于0，则
与
矛盾，所以 、 、
中至少有一个不等于0．
常见错误及分析：往往把 、 、 中至少有一个不等于零的否定错认为是 、 、 中最多有一
个不等于零，或错认为是 、 、 中最多有一个等于零
课后练习
1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（ ） A ．真命题， B ． 假命题，
C ．不一定是真命题，
D ．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）
A ．真命题的个数一定是奇数
B ．真命题的个数一定是偶数
C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D ．上述判断都不正确
3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )
A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真
B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假
C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真
D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：
①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题
③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2
2
20x bx b b -++=有实根”的逆否命题 ④“A
B B =，则A B ⊇”的逆否命题
其中，真命题的个数是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ．3
5．用反证法证明命题“a 、b ∈N *
，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）
A ．a 、b 都能被5整除
B ．a 、b 都不能被5整除
C ．a 不能被5整除
D ．a 、b 有一个不能被5整除
6．下列4个命题是真命题的是（ ）
①“若
022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题
④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
7．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。

8．用反证法证明命题“5个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数”时，反设成： ．反设若用式子表示，则为： ．
9． 判断下列命题“若在二次函数
中 ，则该二次函数图像与 轴有公共点”．的
真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．
10．（本小题满分12分）若a ，b ，c 均为实数，且a=x 2
-2y+
2π，b=y 2
-2z+3π，c=z-2x+6
π，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0．
参考答案：
1． C 2．B 3．D 4．C 5．B 6． C 7．在整数范围内，若b a +不是偶数则b a ,不都是偶数。

8.“假设5个连续自然数的平方和是一个完全平方数”．用式子表示，则为“假设
是一个完全平方数（
）
9.该命题为假． 逆命题：若二次函数 的图像与 轴有公共点，则
．为假．
否命题：若二次函数 中，
，则该二次函数图象与 轴没有公共点．为假．
逆否命题：若二次函数
的图像与 轴没有公共点，则
．为假．
10、假设a 、b 、c 都不大于0，
即：a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a+b+c ≤0 但a+b+c=（x 2
-2y+
2π）+（y 2-2z+3π）+（z 2
-2x+6
π） =（x-1）2
+（y-1）2
+（z-1）2
+（π-3） ∵π＞3，且 （x-1）2
+（y-1）2
+（z-1）2
≥0．
对一切x ，y ，z ∈R 恒成立．
∴必有a+b+c ＞0，这与假设a+b+c ≤0矛盾． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0．
§1．2 充分条件与必要条件（1）
学习目标：1、正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
2、能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
3、培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
学习重点及难点：关于充要条件的判断
主要内容：1、在讨论条件
和条件 的关系时，要注意：
①若
，但
，则
是 的充分但不必要条件；
②若
，但
，则
是 的必要但不充分条件；
③若 ，且 ，则 是 的充要条件；
④若
，且
，则
是 的充要条件；
⑤若
，且
，则
是 的既不充分也不必要条件．
2、若条件
以集合 的形式出现，结论 以集合 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件
的理解和判断．
①若 ，则 是 的充分条件；
显然，要使元素
，只需 就够了．类似地还有：
②若
，则
是 的必要条件；
③若
，则
是 的充要条件；
④若
，且
，则 是 的既不必要也不充分条件．
3、要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条
件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题
逆否命题，逆命题
否命题，当我们证明
某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．
典型例题：
例1、 指出下列各组命题中，
是 的什么条件（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条
件”“既不充分也不必要条件”中选出一种）。

（1）
：四边形对角线互相平分； ：四边形是矩形。

（2）
：
； ：抛物线
过原点。

（3）
：
； ：。

（4）
：方程 有一根为1； ： 。

（5）
： ； ：方程 有实根。

解：（1）四边形对角线互相平分四边形是矩形。

四边形是矩形四边形对角线互相平分。

所以是的必要而不充分条件。

（2）抛物线过原点，
抛物线过原点。

所以是的充要条件。

（3）。

所以是的充分而不必要条件。

（4）方程有一根为。

方程有一根为1。

所以是的充要条件。

（5）方程有实根，方程有实根。

所以是的充分而不必要条件。

（6）利用集合的图示法（图1—13），知
所以是的充要条件。

注意，第（5）小题也可从集合观点入手研究其充分必要性。

实际上，
：，
：。

因为，所以是的充分而不必要条件。

请用集合观点解答第（3）小题。

例2、若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？
解：由题意，分析如下图所示。

根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件．
课后练习
1．在如图的电路图中，“开关A的闭合”是“灯泡B亮”的________条件（）
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2．设a ∈R ，则a>1是a
1
<1 的 （ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．一次函数n
x n m y 1
+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）
A ．m>1,n<－1
B ．mn<0
C ．m>0,n<0
D ．m<0,n<0
4、使四边形为菱形的必要条件是（ ）
A ．对角线相等，
B ．对角线互相垂直，
C ．对角线相等且垂直，
D ．对角线互相垂直且平分。

5．设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6、如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程2
0ax bx c ++=有一正根和一负根的（ ） A ．充分不必要条件， B ．必要不充分条件， C ．充要条件， D ．既不充分又不必要条件。

7．用充分、必要条件填空：
①x ≠1且y ≠2是x+y ≠3的 ②x ≠1或y ≠2是x+y ≠3的 8．已知真命题“a ≥b
c ＞
d ”和“a ＜b
e ≤
f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．
9．已知p ∶x 2
-8x-20＞0，q ∶x 2
-2x+1-a 2
＞0。

若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.
参考答案：
1． B 2．A 3．B 4．B 5．A 6． C
7．①既不充分也不必要条件，②必要但不充分条件（提示：画出集合图或考虑逆否命题）. 9．解：p ∶A=｛x ｜x ＜-2，或x ＞10｝，q ∶B=｛x ｜x ＜1-a ，或x ＞1+a ，a ＞0}
如图，依题意，p ⇒q ，但q 不能推出p ，说明A ⊆B ，则有
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≥->.101,21,0a a a 解得0＜a ≤3.
§1. 2 充分条件和必要条件（2）
学习目标：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；
2、在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
主要内容：1、要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题
逆否命题，逆命题
否命题，
当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．
典型例题：
例1、已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？
分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性
从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性 “若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的 “若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的 故p 是q 的充分不必要条件
注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．
例2、 设关于 的一元二次不等式， 对一切实数均成立，求 的取值范围．
解：一元二次不等式
，对一切 恒成立 二次函数 的图像全
在 轴上方
．
注：这里“的取值范围：”就是“二次不等式对一切实数都成立”的充要条件．
有些问题（如求字母的取值范围），我们必须通过等价变换，才能获得正确结果，这里的“等价变换”与“充要条件”是紧密相连的．我们所熟悉的解方程（或不等式）的过程，实质上是等价变换的过程．
例3、已知：；：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
点拨可以有两个思路：
（1）先求出和，然后根据，，求得的取值范围；
（2）若原命题为“若，则”，其逆否命题是“若则”，由于它们是等价的，可以把求
是的必要而不充分条件等价转换为求是的充分而不必要条件．
解法一求出：或，
：或．由是的必要而不充分条件，知B A，它等价于
同样解得的取值范围是．
解法二根据思路二，是的必要而不充分条件，等价于是的充分而不必要条件．设
：；
：；
所以，A B，它等价于
同样解得的取值范围是．
课后练习
1、a b
>是33
a b
>的（）
A.充分不必要条件，
B.必要不充分条件，
C.充要条件，
D.既不充分又不必要条件。

2．“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件3．“A∩B=A”是A=B的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、x y
=，a b
=是
x y
a b
=的（）
A.充分不必要条件，
B.必要不充分条件，
C.充要条件，
D.既不充分又不必要条件。

5、2
3
log2
x=是
3
log1
x=成立的（）
A.充分不必要条件，
B.必要不充分条件，
C.充要条件，
D.既不充分又不必要条件。

6、已知p ：231x ->，q ：
21
06
x x >+-，则p 是q 的（ ）
A.充分不必要条件，
B.必要不充分条件，
C.充要条件，
D.既不充分又不必要条件。

7．在下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件； 如图(2)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件； 如图(3)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件； 如图(4)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的
条件；
8．抛物线y=ax 2
+bx+c (a ≠0)的对称轴为x=2的充要条件是
______________;
9．判断下列各题中条件是结论的什么条件：
(1)条件A ∶ax 2
+ax+1＞0的解集为R ，结论B ∶0＜a ＜4； (2)条件p ∶A
B ，结论q ∶A ∪B=B.
10．试寻求关于x 的方程x 2
+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.
参考答案：
1． C 2．A 3．B 4．D 5．B 6． B
7．图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；
图(3)：充要条件； 图(4)：既不充分也不必要条件. 8．4a+b=0
9．解：(1)∵△=a 2
-4a ＜0，即0＜a ＜4
∴当0＜a ＜4时，ax 2
+ax+1＞0恒成立.故B ⇒A.
而当a=0时，ax 2
+ax+1＞0恒成立，∴A B.
故A 为B 的必要不充分条件. (2)∵A
B ⇒A ∪B=B ，而当A=B 时，A ∪B=B ，即q
p ，
∴p 为q 的充分不必要条件.
10．解法1：关于x 的方程x 2
+mx+n=0有两个小于1的正根⇔方程在(0，1)内有实根
⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0
)1(0)0(12
00f f m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-01100
2042
n m n m n m . 解法2：
在(0，1)内有实根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+≥∆0)1)(1(0)1()1(00
21
2
12121x x x x x x x x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>++<<<<-≥-011
00
2042n m n m n m .
§1.3 简单的逻辑联结词（1） 教学目标：
1．通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义； 2．能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容； 3．知道命题的否定与否命题的区别． 教学重点及难点： 1．掌握真值表的方法； 2．理解逻辑联结词的含义
主要内容：
1、一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，
记作p q ∧，读作“p 且q ”．
2、一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，
记作：p q ∨，读作：p 或q ．
注：逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”，它与日常用语中的“或”的含义不同．日常用语中的“或”
是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”，可以是两个都选，但又不是两个都选，而是两
个中至少选一个，因此，有三种可能的情况．
逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“并集”即两个必须都选．
3、一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作：⌝p ，读作“非p ”或“p 的否定”． “非”命题最常见的几个正面词语的否定：
典型例题：
例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题： （1）24既是8的倍数，也是6的倍数； （2）李强是篮球运动员或跳高运动员；
（3）平行线不相交
解：（1）中的命题是p 且q 的形式，其中p ：24是8的倍数；q ：24是6的倍数.
（2）的命题是p 或q 的形式，其中p ：李强是篮球运动员；q ：李强是跳高运动员. （3）命题是非p 的形式，其中p ：平行线相交。

例2: 分别指出下列复合命题的形式 （1）8≥7
（2）2是偶数且2是质数； （3）π不是整数；
解： （1）是“p q ∨”形式，p ：87>，q ：8=7；
（2）是“p q ∧”形式，p ：2是偶数，q ：2是质数； （3）是“p ⌝”形式，p ：π是整数； 例3：写出下列命题的非命题：
（1）p:对任意实数x ，均有x 2
－2x+1≥0； （2）q ：存在一个实数x ，使得x 2－9=0 （3）“AB ∥CD ”且“AB=CD ”；
（4）“△ABC 是直角三角形或等腰三角形”． 解：（1）存在一个实数x ，使得x 2
－2x+1＜0； （2）不存在一个实数x ，使得x 2－9=0； （3）AB 不平行于CD 或AB ≠CD ；
（4）原命题是“p 或q ”形式的复合命题，它的否定形式是：△ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形．
课后练习
1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ） A ．简单命题 B ．非p 形式的命题 C ．p 或q 形式的命题 D ．p 且q 的命题 2．命题“方程x 2
＝2的解是x ＝±2是( )
A ．简单命题
B ．含“或”的复合命题
C ．含“且”的复合命题
D ．含“非”的复合命题
3．若命题,32:==y x p 且，则┐p （ ）
A ．32=≠y x 或
B ．32≠≠y x 且
C ．32≠=y x 或
D ．32≠≠y x 或
4．命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为( )
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．非p
D ．简单命题
5．x ≤0是指 ( )
A ．x<0且x ＝0
B ．x>0或x ＝0
C ．x>0且x ＝0
D ．x<0或x ＝0
6. 对命题p ：A ∩∅＝∅，命题q ：A ∪∅＝A ，下列说法正确的是（ ）
A ．p 且q 为假
B ．p 或q 为假
C ．非p 为真
D ．非p 为假 7．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题： （1）x ∈A ∪B ，则x ∈A__________x ∈B ； （2）x ∈A ∩B ，则x ∈A__________x ∈B ； （3）a 、b ∈R ，a ＞0__________b ＞0，则ab ＞0．
8．分别用“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”填空
（1）命题“3的值不超过2”是_________形式．
（2）命题“方程（x-2）（x-3）=0的解是x=2或x=3”是_________形式．
（3）命题“方程（x-2）2+（y-3）2
=0的解是⎩
⎨⎧==32y x ”是_________形式．
9．把下列写法改写成复合命题“p 或q ”“p 且q ”或“非p ”的形式：
（1）（a －2）（a+2）=0； （2）⎩
⎨
⎧==21
y x ； （3）a ＞b ≥0． 10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p １是“第一次射击中飞机”，命题p ２是“第二次射击中飞机”试用p １、p ２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐
)表示下列命题：
命题S ：两次都击中飞机； 命题r ：两次都没击中飞机； 命题t ：恰有一次击中了飞机； 命题u ：至少有一次击中了飞机.
参考答案：
1． D 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7． （1）或 （2）且 （3）且 8． （1）非p （2）p 或q （3）p 且q 9．（1）p ：a －2=0或q ：a+2=0； （2）p ：x=1且q: y=2 （3）p ：a ＞b 且q ：b ≥0
10．（1）p q ∧ （2）p q ⌝∧⌝（3）()()p q p q ∧⌝∨⌝∧（4）()p q ⌝⌝∧⌝
§1.3 简单的逻辑联结词（2）
学习目标：1、加深对“或”“且”“非”的含义的理解，
2、能利用真值表判断含有复合命题的真假；
学习重点及难点：判断复合命题真假的方法；
主要内容：1、简单命题：不含有逻辑联结词的命题是简单命题
2、复合命题：由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题 3．复合命题的构成形式是：
p 或q(记作“p ∨q ” )； p 且q(记作“p ∨q ” )；非p(记作“┑q ” )
4．“非p ”形式的复合命题真假：
当p 为真时，非p 为假； 当p 为假时，非p 为真．
（真假相反）
5．“p 且q ”形式的复合命题真假：
当p 、q 为真时，p 且q 为真； 当p 、q 中至少
有一个为假时，p 且q 为假。

（一假必假）
6．“p 或q ”形式的复合命题真假：
当p 、q 中至少有一个为真时，p 或q 为真；
当p 、q 都为假时，p 或q 为假。

（一真必真）
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；
2°由真值表得：
“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相
反；
“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同为真时
为真，其他情况为假；
“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的
p 非p 真 假 假
真
p q p 且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p q P 或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假
假
假
复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。

如：p 表示“圆周率π是无理数”，q 表示“△ABC 是直角三角形”，尽管p 与q 的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p 或q 的真假。

4°介绍“或门电路”“与门电路”。

或门电路（或） 与门电路（且）
典型例题：
例1、判断下列命题的真假：
（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数01,2
≥++x x x
分析：（4）为例：
第一步：把命题写成“对一切实数01,2>++x x x 或012=++x x ”是p 或q 形式
第二步：其中p 是“对一切实数01,2
>++x x x ”为真命题；q 是“对一切实数,x 012
=++x x ”是假命题。

第三步：因为p 真q 假，
由真值表得：“对一切实数01,2≥++x x x ”是真命题。

例2、分别指出由下列各组命题构成的p 或q 、p 且q 、非p 形式的复合命题的真假： （1）p ：2+2=5； q ：3>2
（2）p ：9是质数； q ：8是12的约数； （3）p ：1∈{1，2}； q ：{1}⊂{1，2} （4）p ：⊂Φ{0}；
q ：=Φ{0}
解：①p 或q ：2+2=5或3>2 ；p 且q ：2+2=5且3>2 ；非p ：2+2≠5.
∵p 假q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真.
②p 或q ：9是质数或8是12的约数；p 且q ：9是质数且8是12的约数；非p ：9不是质数. ∵p 假q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“非p ”为真.
③p 或q ：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p 且q ：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}； 非p ：1∉{1，2}.
∵p 真q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真，“非p ”为假.
④p 或q ：φ⊂{0}或φ={0}；p 且q ：φ⊂{0}且φ={0} ；非p ：φ⊄{0}. ∵p 真q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假.
课后练习
1．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题 C ．“非p ”是真命题
D ．“非q ”是真命题
2．下列命题是真命题的有( )
A ．5>2且7<3
B ．3>4或3<4
C ．7≥8
D ．方程x 2
－3x+4=0的判别式Δ≥0
3．若命题p ：2n －1是奇数，q ：2n ＋1是偶数，则下列说法中正确的是 （ ）
A ．p 或q 为真
B ．p 且q 为真
C ． 非p 为真
D ． 非p 为假
4．如果命题“非p”与命题“p 或q”都是真命题，那么（ B ）
A ．命题p 与命题q 的真值相同
B ．命题q 一定是真命题
C ．命题q 不一定是真命题
D ．命题p 不一定是真命题 5．由下列各组命题构成的复合命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， “非p ”为真的一组为( )
A ．p ：3为偶数，q ：4为奇数
B ．p ：π<3，q ：5>3
C ．p ：a ∈{a ，b}，q ：{a}{a ，b}
D ．p ：Q R ，q ：N=Z 6. 在下列结论中，正确的是（ ）
①""p q ∧为真是""p q ∨为真的充分不必要条件； ②""p q ∧为假是""p q ∨为真的充分不必要条件； ③""p q ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件； ④""p ⌝为真是""p q ∧为假的必要不充分条件；
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
7．（1）如果命题“p 或q ”和“非p ”都是真命题，则命题q 的真假是_________。

（2）如果命题“p 且q ”和“非p ”都是假命题，则命题q 的真假是_________。

8．由命题p ：“矩形有外接圆”，q ：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的命题中真命题是__________．
9．已知p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围。

10．已知命题2:6,:,p x x q x Z -≥∈∧若“p q?”⌝与“q?”同时为假命题，求x 的值。

参考答案：
1． D 2．A 3．B 4．B 5．B 6．B 7．（1）真；（2）假 8．p ∨q
9．由p 命题可解得m ＞2，由q 命题可解得1＜m ＜3；
由命题p 或q 为真，p 且q 为假，所以命题p 或q 中有一个是真，另一个是假 （1）若命题p 真而q 为假则有2
1,3
m m m >≤≥⎧⎨
⎩或3m ⇒≥
（2）若命题p 真而q 为假，则有2
13m m ≤<<⎧⎨⎩
12m ⇒<≤
所以m ≥3或1＜m ≤2
10.26x x -≥等价于2
6x x -≥或2
6x x -≤-，解得3x ≥或2x ≤-
∵p q ∧与q ⌝同时为假命题 ∴q 为真命题，p 为假命题。

于是有23
x x Z
-<<⎧⎨∈⎩，解得1,0,1,2x =-
§1.4全称量词与存在量词（1）
学习目标：1、了解量词在日常生活中和数学命题中的作用
2、正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。

学习重点及难点：理解全称量词、存在量词的概念区别；正确使用全称命题、存在性命题；
主要内容：1、 全称量词 ：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，
“都”等词可统称为全称量词，记作x ∀、y ∀等，表示个体域里的所有个体。

2、 存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x ∃，y ∃等，表示个体域里有的个体。

3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。

全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p(x)”的命题，记为:,()x M p x ∀∈ 存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x ，q(x)”的命题，记为:,()x M q x ∃∈
注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A ，实际上就是英语"any"中的首字母。

存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E ，实际上就是英语"exist"中的首字母。

存在量词的“否”就是全称量词。

典型例题：
例1判断以下命题的真假：
（1）2
,x R x x ∃∈> （2）2
,x R x x ∀∈> （3）2
,80x Q x ∃∈-= （4）2
,20x R x ∀∈+> 分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真； 例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：
第一步：设a =b ，则有a 2
=ab
第二步：等式两边都减去b 2
，得a 2
-b 2
=ab -b 2
第三步：因式分解得 (a+b )(a-b )=b (a-b ) 第四步：等式两边都除以a-b 得，a+b=b 第五步：由a =b 代人得，2b=b 第六步：两边都除以b 得，2=1
分析：第四步错：因a-b ＝0，等式两边不能除以a-b
第六步错：因b 可能为0，两边不能立即除以b ，需讨论。

心得：(a+b )(a-b )=b (a-b )⇒ a+b=b 是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。