勾股数

勾股数的探索
我们知道，如果三个整数a、b、c满足
a2+b2=c2,我们就说a、b、c是一组勾股数，那么究竟有多少组勾股数，我们能否
归纳出一个公式，从而可以找出无数组勾
股数。

本文就来探讨这个问题。

根据平方差公式。

我们知道（n2+1)2−（n2−1)2=（（n2+1)+（n2−1)）（（n2+1)-（n2−1)）=2n2×
2=4n2=(2n)2,所以，(n2+1)、（n2−1)、2n,就是一组勾股数的通项公式。

因为
(n2−1)大于0，所以n大于1，我们让n
分别取2、3、4、5、6、...就能找出无数组勾股数。

还有没有别的形式的勾股数呢，实际上有
无数种，根据平方差公式我们可以得出一
般的形式，（n2k1+k22)2−（n2k1−
k22)2=((n2k1+k22)−(n2k1−k22))=
2n2k1×2k22=（2n k1k2)2,所以(n2k1+k22)，(n2k1−k22)，2n k1k2正好就是一组勾股数。

上面的特例正是k1、k2
等于1时的特殊情形。

我们让k1、k2
取不同的数对就可以构造无数组勾股数对
的通项公式。