2014届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ .三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i解析：选C 5＋3i 4－i ＝(5＋3i )(4＋i )(4－i )(4＋i )＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i17＝1＋i.4．若复数z 满足z1＋i ＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(4＋b )i5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1. x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝(－1)＋(－i )＋11－i ＝－i1－i＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z ＋z 2的值为( )A ．－3iB ．－2iC ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i 1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )224＝i 4＝1.答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB，其中O 为坐标原点，则|AB|＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB|＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i ＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)12.(－1＋i )(2＋i )i 3＝________.解析：(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25.答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. 答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－ba ＋1i. ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B a ＋2i i ＝i (a ＋2i )i 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x (x 2＋y 2＋1)＋y (1－x 2－y 2)i(x 2－y 2＋1)2＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i 3－2i ＝(1－3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知， a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725.由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，故c 2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP|，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP . AB ＝(2,2)，AP＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，①b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴0<cos θ<22. ①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin Asin (A ＋C )＝________.解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝23.答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________． 解析：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2α－π3. ∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝(k ＋1)π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值． 解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝2⎝⎛⎭⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]． 所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1＝2⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC的值域．解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC＝(－1，3)．所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3. 所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc 2sinA ≤a 22·32＝334.。