最新版精编高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题测试题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )5
13 (B )
5
17 (C )
292
1
(D )
1295
1
2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 是棱A 1A 的中点，O 是BD 1的中点，则MO 的长为( ) (A )3
3 (B )
2
2 (C )2
(D )
3
6
3．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( ) (A )3
5 (B )3
5-
(C )
3
7 (D )3
7-
4．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )
(A ))32
,32,31(-和)32,32,31(-- (B ))32
,32,
31(- (C ))32,32,31(和)3
2,32,31(---
(D ))3
2,32,31(--
5．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向
量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1
(C )7
(D )－7
6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1中点，平面A 1EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为( )
(A )2
2 (B )
2
3 (C )
3
6 (D )
3
3
7．若直线l 与平面α 成角为
3
π
，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3
π,0( (B )]3
π
2,
3π[ (C )]2
π,3π[
(D )]2
π,0(
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
8．已知平行六面体1111D C B A ABCD - 中，4=AB ，3=AD ，51=AA ，
90=∠BAD ， 6011=∠=∠DAA BAA ，则1AC
9．已知向量),2,3(z a -= ，)1,,1(-=y b ，若b a //，则yz 的值等于 . 10． 空间直角坐标系中，已知)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点P 在Z 轴上，且PB PA =,则点P 的坐标为 ▲ .
11． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。

12．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足
11B Q D P ⊥,
且PQ =
(1)试确定P 、Q 两点的位置.
(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.
13．已知空间向量(1,,1)a λλλ=---，(,1,1)b λλλ=---的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是_____________
14．如图，正方体的棱长为1，C ，D 分别是两条棱的中点，A ，B ，M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是______．
15．已知α ∥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ，n ，且m ＝(1，－2，5)，n ＝(－3，6，z )，则z ＝______．
D
A B 11
第22题
16．若直线l 1∥l 2，且它们的方向向量分别为a ＝(2，y ，－6)，b ＝(－3，6，z )，则实数y ＋z ＝______
三、解答题
17．(本小题满分10分)如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.
(Ⅰ)求二面角B AC M --的的余弦值； （Ⅱ）求点C 到面MAB 的距离.
18．（本小题满分14分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为11A D 和11A B 的中点． （1）求异面直线AE 和BF 所成角的余弦值； （2）求平面11B BDD 与平面1BFC 所成的锐二面角的余
弦值；
（3）若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且
//EP 平面1BFC ，求EP 的最大值和最小值．
19． (本小题满分10分)
如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．
（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦 值的大小；
（2）若二面角A －PB －C
，求
PA ．
y
x
（第17题）
A
B
C
D
O
P
（第22题）
20．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为
BC 的中点
(Ⅰ）证明：直线MN OCD
平面‖；
(Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； (Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

21．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，
M 为线段AB 的中点.求：
（1）三棱锥1C MBC -的体积；
（2）异面直线CD 与1MC 所成角的大小（结果用反三角函数值
表示）(本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 22．
1．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
N
B
∥ = ∥ = ∠BAD =∠90FAB =，BC 1
2AD ，BE 12
AF . (1）求证：C 、D 、F 、E 四点共面；
(2）设AB BE =，求证：平面ADE ⊥平面DCE ； (3）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的余弦值. (本题满分16分）
23．正四棱锥S －ABCD 的所有棱长均为2，E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，SB 的中点．
(1)求证：BD ∥平面EFG ，并求出直线BD 到平面EFG 的距离； (2)求点C 到平面EFG 的距离． 24．
2．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。

如图，建立空间直角坐标系．
(1)求的坐标及BN 的长； (2)求><11,cos CB BA 的值；
A
B C
D
F
E
(3)求证：A 1B ⊥C 1M ．
25．正方体ABCD －A 1B 1 C 1D 1中，P ，M ，N 分别是DC ，CC 1，BC 中点． 求证：平面P A 1A ⊥平面MN D ．
26．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求PA 的长；
⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．
27．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为1，M 为棱11A B 上的点，N 为棱1BB 的中
点，异面直线AM 与CN 所成角的大小为2
arccos 5，求11
A M M
B 的值.
A
B
D C
1A
1B
1C 1D
28．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱BC 的中点，Q 在棱CD 上. 且DQ DC λ=，若二面角1P C Q C --
的余弦值为7
，求实数λ的值.
29． 如图，在直三棱柱1
11A B C A B C -
中，
90o BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1
BB ，
1
CC 上，且
113BE BB =，1113C F CC =．设b
a
λ=．
（1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．
30．如图所示，已知四面体O ABC -中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，Q 为OB 的中点，P 为OA 的中点，若AB OC =，试用向量方法证明：PM QN ⊥
B
D
1
B 1
F
E
C 1
B 1
A 1 C
B
A
（第22题图）
A
B C。