九年级数学猜想性专题

中考系列复习——猜想性专题
一、中考要求
能够根据题目中的图形或者数字直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

二、知识网络图
如图1所示：
图1
三、基础知识整理
猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

四、考点分析
1、猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1（云南）观察按下列顺序排列的等式：
⨯+=；
9011
⨯+=；
91211
⨯+=；
92321
⨯+=；
93431
⨯+=；
94541
……
猜想：第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表示成________________.
分析：根据以上各等式所呈现出来的特征，可以猜想这个等式的基本结构形式为
9 × 一个数 + 另一个数 = 结果
其中，“另一个数”就是等式的序号n ；“一个数”比它小1，即为n-1；结果的个位为1，个位以前的数字等于“一个数”n-1，所以结果表示为10(n-1)+1. 因此，这个等式为
9(n-1) + n = 10(n-1) + 1.
这个猜想的结果是否正确，还可以用整式运算的知识加以验证。

等式的左边 = 9n - 9 + n = 10n – 9；等式的右边 = 10n – 10 + 1 = 10n – 9 . 所以，等式的左边 = 等式的右边。

说明所列等式成立。

2、猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。

其中，以图形为载体的数字规律最为常见。

猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2（河北课改实验区）观察图2所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
图2
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； （2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式. 分析：（1）本题图形中所反映出来的数字关系已经列出三个，下面就以它们为例，填写后两个。

易得④1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52.
（2）仿照例1的思路可以猜想：1+3+5+…+(2n-1)=n 2 . 3、猜想数值结果
当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值。

例3（辽宁大连）阅读材料，解答问题。

材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P 1(－3 ，9)开始，按点的横坐标
依次增加1的规律，在抛物线2
x y =上向右跳动，得到点P 2、P 3、P 4、P 5……(如图3所示)。

过P 1、P 2、P 3分别作P 1H 1、P 2H 2、P 3H 3垂直于x 轴，垂足为H 1、H 2、H 3，则
1 1)14(2
1
14)9(212)19(21 332222113311321=⨯+-⨯+-⨯+=
--=∆P H H P P H H P P H H P P P P S S S S 梯形梯形梯形 即△P 1P 2P 3的面积为1。

”
……
……
①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32；
④ ；
⑤ ；
图3
问题：
⑴求四边形P 1P 2P 3P 4和P 2P 3P 4P 5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；
⑵猜想四边形P n －1P n P n+1P n+2的面积，并说明理由(利用图4)
图4
⑶若将抛物线2x y =改为抛物线c bx x y ++=2
，其它条件不变，猜想四边形P n －
1P n P n+1P n+2的面积(直接写出答案)
分析：（1）阅读材料为我们提供了解题思路，可供借鉴。

S 四边形P 1P 2P 3P 4
= S △P 1
H 1P 4
– S 梯形P 1
H 1
H 2P 2
- S 梯形P 2
H 2
H 3P 3
- S △P 3
H 3P 4
= 12 ×9×3 – 12 (9+4)×1 – 12 (4+1)×1 – 1
2 ×1×1 = 27/2 – 13/2 – 5/2 - 1/2 = 8/2 = 4. 即四边形P 1P 2P 3P 4的面积为4.
同理，可得四边形P 2P 3P 4P 5的面积为4.
O
x
y
P P P P n-1
n n+1n+2
图13
（2）猜想四边形P n －1P n P n+1P n+2的面积为4. 理由如下：
设点P n －1、P n 、P n+1、P n+2的纵坐标分别为(x-1)2、x 2、(x+1)2、(x+2)2，则
S 四边形P n
－1
P n P n+1P n+2
= S 梯形P n
－1
H n-1H n+2P n+2 – S 梯形P n －1H n-1H n P n - S 梯形P n H n H n+1P n+1 - S 梯形P n+1H n+1H n+2P n+2
= 12×[(x-1)2+(x+2)2]×3 – 12[(x-1)2+ x 2]×1 – 12 [ x 2+(x+1)2]×1 – 1
2×[(x+1)2+(x+2)2]×1 = 32 (2x 2+2x+5) – 12 (2 x 2-2x+1) – 12 (2 x 2
+2x+1) – 1
2 (2 x 2+6x+5) = 1
2 [(6x 2+6x+15)- (2 x 2-2x+1) –(2 x 2+2x+1) –(2 x 2+6x+5)] = 8/2 = 4.
即四边形P n －1P n P n+1P n+2的面积为4.
（3）由于抛物线2x y =改为抛物线c bx x y ++=2
后，如果其它条件不变，只是抛物
线的位置发生了变化，它的形状以及四边形P n －1P n P n+1P n+2的形状都不变，所以猜想四边形P n －1P n P n+1P n+2的面积也不变，仍为4.
4、猜想数量关系
数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。

在
猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例4（江苏连云港）（1）如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，b AB =，a CD =，E 为AD 边上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
图5
①当
1=AE DE 时，有2
b
a EF +=； ②当2=AE
DE
时，有32b a EF +=；
③当3=AE DE 时，有43b
a EF +=． 当k AE DE
=时，参照上述研究结论，请你猜想用k 表示DE 的一般结论，并给出证明； （2）现有一块直角梯形田地ABCD （如图6所示），其中AB ∥CD ，AB AD ⊥，=AB 310米，=DC 170米，=AD 70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块
D
C
H
G
F E D
C
B
A
地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．
分析：猜想的东西未必完全正确，鉴于此，本题按照“猜想——证明——应用”的思路设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值。

（1）仿照例1、例2的解题思路，不难猜想出关系式：EF =
k
kb
a ++1． 证明：过点E 作BC 的平行线交AB 于G ，交CD 的延长线于H ．
∵AB ∥CD ，∴AGE ∆∽DHE ∆，∴
AE
DE
AG DH =， 又EF //AB //CD ，∴GB EF CH ==， ∵a EF DH -=，EF b AG -=， ∴k EF b a EF =--，可得k
kb
a EF ++=1．
（2）在AD 上取一点E ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，设k AE
DE
=， 则EF=
k k ++1310170，k
k
DE +=170，
若ABFE DCFE S S 梯形梯形=，则DCFE ABCD S S 梯形梯形2=， ∵梯形ABCD 、DCFE 为直角梯形，
∴
)1310170170(212702310170x x +++⨯=⨯+k
k +⨯170， 化简得0127122=--k k 解得：341=k ，4
3
2-=k （舍去），
∴40170=+=
k
k
DP ， 所以只需在AD 上取点E ，使40=DE 米，作EF ∥AB （或DA EF ⊥）， 即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等． 5、猜想变化情况
随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。

比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。

这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例5（山东青岛）四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.
(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图7)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.
已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图7）； 求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAB ·S △OCD .
D
B
O C
A
E F
图7
(2)在三角形中（如图8），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.
C
O
A
B
D
E
F
图8
分析：（1）分别过点A 、C ，做AE ⊥DB ，交DB 的延长线于E ，CF ⊥BD 于F ， 则有：S △AOB 1
2
=BO ·AE S △COD 1
2=
DO ·CF S △AOD 1
2=DO ·AE
S △BOC 1
2
=BO ·CF
∴S △AOB ·S △COD 1
4=BO ·DO ·AE ·CF
S △AOD ·S △BOC 1
4
=BO ·DO ·CF ·AE
∴S △AOB ·S △COD ＝S △AOD ·S △BOC .
（2）根据“乘除乘方不改变”能猜想到：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等. 或S △AOD ·S △BOC ＝S △AOB ·S △DOC
已知：在△ABC 中，D 为AC 上一点，O 为BD 上一点 求证：S △AOD ·S △BOC ＝S △AOB ·S △DOC
证明：分别过点A 、C ，作AE ⊥BD ，交BD 的延长线于E ，作CF ⊥BD 于F ，
则有：S △AOD 12=
DO ·AE ，S △BO C 1
2=BO ·CF S △OAB 12=OB ·AE ，S △DOC 1
2
=OD ·CF
∴S △AOD ·S △BOC 1
4=OB ·OD ·AE ·CF
S △OAB ·S △DOC 1
4
=BO ·OD ·AE ·CF
∴S △AOD ·S △BOC ＝S △OAB ·S △DOC 五、创新题一隅
1、某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形。

如图9，△
ABC V 是正三角形，⌒A D = ⌒B
E = ⌒C
F ,可以证明六边形ADBECF 的各角相等，但它未必是正六边形； 丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形。

我想，边数是7时，它可能是正多边
形。

……
（1）请你说明乙同学构造的六边形各角相等；
（2）请你证明，各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG （如图10）是正七边形（不必写已知、求证）；
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）；
图9 图10
2、如图11是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
（1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图12所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象；
图一
E
D
C
B
A
图二
G
F
E
D
C
B
A
（2
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用表示的二次函数的表达式：_______. （3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
参考答案： 1、（1）略； （2）略；
（3）猜想：各内角都相等的圆内接多边形的变数为奇数时，它是正多边形；边数为偶数时，它不一定是正多边形。

2、（1）图象如图13所示.
（2）①
② 2
1.200
y x =
（3）当水面宽度为36米时，相应的x 为18，此时水面中心的21
18 1.62.200
y =
⨯= 因为货船吃水深度为1.8m ，显然，1.62<1.8,所以当水面宽度为36米时，该货船不能通过这个河段.
图13。