初二 暑假勾股定理

戴氏教育精品堂培训学校名校冲刺
勾股定理 勾股定理（一）
课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×
2
1
ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

戴氏教育温馨提醒：
致亲爱的学子：学如逆水行舟，不进则退。

把目光放长远点，同你一起竞争的对手会在不知不觉中超越你。

记住父母期待的目光！
c b a D C A B
求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×2
1
ab ＋c 2
右边S=（a+b ）2
左边和右边面积相等，即 4×
2
1
ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证。

五、课堂练习
1．勾股定理的具体内容是： 。

2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。

3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； 若
满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

课后练习 1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。

（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。

（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。

（已知a 、c ，求b ）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。

3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、41 92+402=412 …… …… 19，b 、c
192+b 2=c 2
3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。

b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b b
a a
c
c
a
a
A C
B
D
b
c
c
a a
b D C A E
B
4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上。

求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD
⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论。

勾股定理（二）
例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c 。

⑵已知a=1,c=2, 求b 。

⑶已知c=17,b=8, 求a 。

⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

⑴求等边△ABC 的高。

⑵求S △ABC 。

A
D
C
B
D
C
B
A
课堂练习 1．填空题
⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。

2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，
AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

课后练习 1．填空题
在Rt △ABC ，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。

⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。

⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= 。

⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= 。

2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，
AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。

A C B
D B C
D
A
勾股定理（三）
例2：⑴在△AOB 中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB 。

⑵ 在△COD 中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD 。

则BD=OD －OB ，通过计算可知BD ≠AC 。

课堂练习
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。

2题图 3题图 4题图
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

4．如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
O A B
C
D 30A B
C
C A
B A
C B
课后练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，
∠B=60°，则江面的宽度为 。

2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。

3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q
两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米。

4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。

（精确到1米）
勾股定理（四）
例习题分析
例1已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，
求线段AB 的长。

例2已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？
例3已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

R P Q
A C
B
D E F C
A
B
D
B
A
C
D A
B
C
D
E
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

课堂练习
1．△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC = 。

2．△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S △ABC = 。

3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = 。

4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S △ABC 。

课后练习
1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB= 。

2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a= ，b= 。

3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，
AC=22，
求（1）AB 的长；（2）S △ABC 。

4．在数轴上画出表示－52,5 的点。

勾股定理的逆定理（一）
例习题分析
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。

A
B C
A
B
C
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

例2证明：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

例3已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，a=n 2－1，b=2n ，c=n 2
＋1（n ＞1）
求证：∠C=90°。

课堂练习
1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC 的三边之比是1：1：2，则△ABC 是直角三角形。

2．△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ）
A ．如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形。

B ．如果c 2= b 2—a 2，则△AB
C 是直角三角形，且∠C=90°。

C ．如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形。

D ．如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形。

3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A ．a=8，b=15，c=17
B ．a=9，b=12，c=15
C ．a=5，b=3，c=2
D ．a ：b ：c=2：3：4
4．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断
a
b c a
b
B
C
A
A1
C1
B1
该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。

课后练习，
1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a 3＞0，那么a 2＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2．填空题。

⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是 。

⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角； 若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是 。

⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2，则△ABC 是 三角形。

3．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵5
1
,41,
31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A ．2个 B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
4．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；
⑶a=2，b=32，c=4； ⑷a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）。

勾股定理的逆定理（二）
1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。

小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 。

2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？为什么？
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海
域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海
里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ E
N A
B C
课后练习
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，
此三角形的形状为 。

2．一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

勾股定理的逆定理（三）
例习题分析 例1已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c 。

试判断△ABC 的形状
例2（补充）已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，
CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

A B C
D
D C A B
A
B
C
D E
课堂练习
1．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形；
B ．直角三角形；
C ．等腰三角形或直角三角形；
D ．等腰直角三角形。

2．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状。

3．已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=4
13，AD=3，且AB ⊥BC 。

求：四边形ABCD 的面积。

4．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，且CD 2=AD ·BD 。

求证：△ABC 中是直角三角形。

课后练习，
1．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。

2．在△ABC 中，AB=13cm ，AC=24cm ，中线BD=5cm 。

求证：△ABC 是等腰三角形。

A B C
D
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE ，D 为BC 上一点，且BD=DC ，AC 2=AE 2+CE 2。

求证：AB 2=AE 2+CE 2。

4．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC 的形状。

B C A E D。