八年级数学上册 第2章 特殊三角形自我评价练习 (新版)浙教版

第2章自我评价
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在下列标志中，属于轴对称图形的是(B)
2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
3．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)
A．20° B．35°
C．40° D．70°
(第4题)
(第5题)
5．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB 于点E．如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)
A． 2 B． 2
C． 3 D． 2 3
(第6题)
6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，
分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于1
2
MN 长为半径画弧，两弧交于点
P ，连结AP 并延长，交BC 于点D ，则下列说法中，正确的个数是(D )
①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
7．如图，将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角尺的最大边长为(D )
A ． 3 cm
B ． 6 cm
C ． 18 cm
D ． 72 cm
(第7题)
(第7题解)
【解】 如解图，过点C 作CD⊥AD 于点D ， 则CD ＝3 cm ． 在Rt△ADC 中，
∵∠CAD ＝30°，∴AC ＝2CD ＝2×3＝6(cm)． ∵该三角尺是含45°角的三角尺， ∴∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝6 cm ， ∴BC ＝AB 2
＋AC 2
＝62
＋62
＝72(cm)．
(第8题)
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为(C)
A．22．5° B．30°
C．36° D．45°
【解】设∠B＝x．
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x．
∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x．
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x．
∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x．
在△ABD中，∵∠B＝x，∠ADB＝∠BAD＝2x，
∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠B＝36°．
9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E 是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C)
A．20° B．25° C．30° D．45°
(第9题)
(第9题解)
【解】如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，
则∠AM E＝∠B，∠AEM＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4．
∴∠AME＝∠AEM＝60°．∴AM＝AE＝2．
∴BM＝AB－AM＝2．
∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．
∵EM∥BC，∴AD⊥EM．
∴点E 和点M 关于AD 对称． 连结CM 交AD 于点F ，连结EF ， 则此时EF ＋CF 的值最小． ∵AC ＝BC ，AM ＝BM ， ∴∠ECF ＝1
2
∠ACB ＝30°．
10．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE ⊥AB 于点E ，∠ADC ＋∠AB C ＝180°，有下列结论：①CD＝CB ；②AD＋AB ＝2AE ；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD ＝2BE ．其中正确的是(C )
A ． ②
B ． ①②③
C ． ①②④ D． ①②③④ 导学号：91354016
(第10题)
(第10题解)
【解】 如解图，在EA 上取点F ，使EF ＝BE ，连结CF ． ∵CE ⊥AB ，EF ＝BE ， ∴CF ＝CB ，∴∠CFB ＝∠B．
∵∠AFC ＋∠CFB＝180°，∠ADC ＋∠ABC＝180°，∴∠D ＝∠AFC． ∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC ＝∠FAC． 在△ACD 和△ACF 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠D＝∠AFC，∠DAC ＝∠FAC，AC ＝AC ，
∴△ACD ≌△ACF(AAS)．
∴AD ＝AF ，CD ＝CF ．∴CD＝CB ，故①正确．
AD＋AB＝AF＋(BE＋AE)＝AF＋EF＋AE＝AE＋AE＝2AE，故②正确．
根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE，
故③错误．
AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．
综上所述，正确的是①②④．
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝__30°__．
,(第11题)) ,(第12题)) 12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高AD的长是__8__ cm．
13．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E．若∠1＝50°，则∠2的度数为__40°__．
,(第13题)) ,(第14题))
14．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且它们相交于点O，OE ∥AB，OF∥AC，BC＝10，则△OEF的周长为__10__．
【解】∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO．
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，
∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠COF，
∴BE＝OE，OF＝FC，
∴△OEF的周长＝OE＋EF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10．
(第15题)
15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__52°__．
【解】 ∵AC＝AD ＝DB ， ∴∠B ＝∠BAD，∠ADC ＝∠C． 设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝α
2．
∵∠BAC ＝102°，∴∠DAC ＝102°－α
2．
∵∠ADC ＋∠C＋∠DAC＝180°， ∴2α＋102°－α
2＝180°，
解得α＝52°，即∠ADC ＝52°．
16．如图，已知△ABC 的周长是21，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD ⊥BC ，垂足为
D ，且OD ＝3，则△ABC 的面积是__63
2
__．
, (第16题)) , (第16题解))
【解】 如解图，过点O 作OE⊥AB，OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，连结OA ． 由角平分线的性质知OD ＝OE ＝OF ，
∴S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12AB·OE＋12BC·OD＋12AC·OF＝12(AB ＋BC ＋AC)·OD＝
1
2
×21×3＝63
2
．
17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是__24
5
__．
,(第17题))
,(第17题解))
【解】 过点A 作AD⊥BC 于点D ，如解图． ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，
∴BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝AB 2－BD 2
＝4．
易得当BP⊥AC 时，BP 有最小值．
此时12AD·BC＝1
2BP·AC，
得4×6＝5BP ，∴BP ＝245
．
18．如图是两把完全一样的含30°角的三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两把三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C ′间的距离是__5__．
(第18题)
(第18题解)
【解】 如解图，连结C′C．
∵M 是AC ，A ′C ′的中点，AC ＝A′C′＝10， ∴CM ＝A′M＝C′M＝1
2
AC ＝5，
∴∠A ′CM ＝∠A′＝30°，∴∠CMC ′＝60°． ∴△MCC ′为等边三角形．∴C′C＝CM ＝5．
(第19题)
19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB ＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S 1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形
的面积和为S 2……则第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和S n ＝__5
2
__．
【解】 易得第一个正方形的面积为1，
第一个等腰直角三角形的面积为1
4，
第二个正方形的面积为1
2
，
第二个等腰直角三角形的面积为12×1
4，
……
∴第n 个正方形的面积为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1×1＝1
2
n －1，
第n 个等腰直角三角形的面积为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n －1×14＝1
2
n ＋1， ∴第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和S n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝5
2
n ＋1．
(第20题)
20．如图，正方形ABDE ，正方形CDFI ，正方形EFGH 的面积分别为25，9，16，△AEH ，△BDC ，△GFI 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝__18__．导学号：91354017
【解】 过点A 作AK⊥HE，交HE 的延长线于点K ． 易得DE 2
＝25，DE 2
＝9，EF 2
＝16， ∴DE 2
＝DF 2
＋EF 2
，
∴△DEF 是直角三角形，且∠DFE＝90°． 易得∠AEK＋∠DEK＝∠DEK＋∠DEF＝90°， ∴∠AEK ＝∠DEF ．
又∵AE ＝DE ，∠K ＝∠DFE ＝90°， ∴△AEK ≌△DEF (AAS )， ∴AK ＝DF ． 又∵EH ＝EF ，
∴S △AHE ＝12EH ·AK ＝1
2
EF ·DF ＝S △DEF ．
同理，S △BDC ＝S △GFI ＝S △DEF ， ∴S 1＋S 2＋S 3＝3S △DEF ． 易得DF ＝3，EF ＝4， ∴S △DEF ＝1
2×3×4＝6，
∴S 1＋S 2＋S 3＝3×6＝18． 三、解答题(共40分)
21．(6分)如图，AD ＝BC ，AC ＝BD ．求证：△EAB 是等腰三角形．
(第21题)
【解】 在△ADB 和△BCA 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝BC ，BD ＝AC ，AB ＝BA ，
∴△ADB ≌△BCA(SSS)， ∴∠DBA ＝∠CAB， ∴△EAB 是等腰三角形．
(第22题)
22．(6分)如图，△ABC 为等边三角形，D E⊥BC，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，D ，则△DEF 是等边三角形吗？请说明理由．
【解】 △DEF 是等边三角形．理由如下： ∵DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝60°，∠ADF ＝∠CFE＝90°， ∴∠AFD ＝30°，
∴∠DFE ＝180°－30°－90°＝60°．
同理，∠FDE＝∠DEF＝60°．
∴△DEF是等边三角形．
(第23题)
23．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
【解】EF⊥BC．理由如下：
过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAD．
又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，
∴∠BAC＝2∠E，
∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF．
又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即EF⊥BC．
24．(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF．
(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．
(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝8，求此时线段CF的长(直接写出结果)．
(第24题)
【解】 (1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F 为BE 的中点，
∴DF ＝BF ＝12BE ，CF ＝12
BE ，∴DF ＝CF ． ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．
∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF．
∵∠DFE ＝∠DBF＋∠BDF，
∴∠DFE ＝2∠DBF．
同理，∠CFE ＝2∠CBF，
∴∠DFE ＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC ＝90°，∴DF ⊥CF ．
(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：
如解图①，延长DF 交BC 于点G ．
∵∠ADE ＝∠ACB＝90°，∴DE ∥BC ，
∴∠DEF ＝∠GBF，∠EDF ＝∠BGF．
∵F 为BE 的中点，∴EF ＝BF ，
∴△DEF ≌△GBF(AAS)，
∴DE ＝GB ，DF ＝GF ．
∵AD ＝DE ，∴AD ＝GB ．
∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ，即DC ＝GC ．
∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形．
∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF ．
(第24题解)
(3)如解图②，延长DF 交BA 于点H ．
∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，
∴AC ＝BC ，AD ＝DE ，∠AED ＝∠ABC＝45°．
由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，
∴AE ∥BC ，
∴∠AEB ＝∠CBE，∴∠DEF ＝∠HBF．
∵F 是BE 的中点，∴EF ＝BF ．
又∵∠DFE＝∠HFB，
∴△DEF ≌△HBF(ASA)，∴ED ＝BH ．
∵BC ＝AC ＝8，∠ACB ＝90°，∴AB ＝4．
∵BH ＝ED ＝AD ＝1，∴AH ＝3．
∵∠BAD ＝90°，∴DH ＝10，
∴DF ＝102，∴CF ＝102
． 25．(10分)问题探究：
(1)如图①，在锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰三角形ABE 和等腰三角形ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD，连结BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．
深入探究：
(2)如图②，在四边形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝3，∠ABC ＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD 的长．
(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．
(第25题)
导学号：91354018
【解】 (1)BD ＝CE ．理由如下：
∵∠BAE ＝∠CAD，
∴∠BAE ＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD，AC ＝AD ，
∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴BD ＝CE ．
(2)如解图①，在△ABC 的外部作等腰直角三角形BAE ，使∠BAE＝90°，AE ＝AB ，连结EC ．
∵∠ACD ＝∠ADC＝45°，
∴AC ＝AD ，∠CAD ＝90°，
∴∠BAE ＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD，AC ＝AD ，
∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴EC ＝BD ．
∵AE ＝AB ＝7，∴BE ＝72＋72＝98．
易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°，
∴∠CBE ＝45°＋45°＝90°，
∴EC ＝BE 2＋BC 2＝（98）2＋32＝107，
∴BD ＝EC ＝107．
(第25题解)
(3)如解图②，在线段AC 的右侧过点A 作AE⊥AB，交BC 的延长线于点E ． ∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°．
又∵∠ABC＝45°，∴∠E ＝∠ABC＝45°，
∴AE ＝AB ＝7，∴BE ＝72＋72
＝98．
∵∠ACD ＝∠ADC＝45°，
∴∠DAC ＝90°＝∠BAE，
∴∠BAE －∠BAC＝∠DAC－∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD，AC ＝AD ，
∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴EC ＝BD ．
又∵BC＝3，∴BD ＝EC ＝BE －BC ＝98－3．。