(完整word版)西安新城区2018-2019学度初二上年中数学试卷含解析解析

西安新城区2018-2019学度初二上年中数学试卷含解析解析
一、选择题
1．下列实数是无理数的是（）
A．﹣1 B．0 C．πD ．
2．下列各组数是勾股数的是（）
A．3，4，5 B．7，8，9 C．9，41，47 D．52，122，132
3．满足﹣＜x ＜的整数x的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列二次根式中的最简二次根式是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列计算正确的是（）
A．2×3=6B ．+=C．2﹣=2 D．2÷=
6．如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（）A．（﹣5，2）B．（﹣5，﹣2）C．（﹣2，5）D．（﹣2，﹣5）
7．点M（3，﹣4）关于y的轴的对称点是M1，则M1关于x轴的对称点M2的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
8．某商店售货时，在进价基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表所示，则售价y与数量x的函数关系式为（）
数量x（千
1234…
克）
售价y（元）8+0.416+0.824+1.232+1.6…
A．y=8+0.4x B．y=8x+0.4 C．y=8.4x D．y=8.4x+0.4
9．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）
A．2mB．2.5m C．2.25m D．3m
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB 上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）
A．B．C．D．
二、填空题
11．的立方根是．
12．比较大小：．
13．如图，说出数轴上点A所表示的数是．
14．已知a、b、c位置如图所示，试化简：|a+b﹣c|+=．
15．如图，Rt△ABO中，∠ABO=90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上．若BD⊥AO于点D，OB=，AB=2，则点A的坐标为，点B的坐标为．
16．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运运，若∠AOB=45°，OP=2，则△PMN的周长的最小值为．
17．如图：A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=2，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为．
三、解答题
18．计算
（1）×﹣3
（2）（+）（﹣）﹣
（3）+﹣
（4）（3﹣2+）÷2．
19．解方程
（1）4x2﹣1=0
（2）8（x+1）3=﹣27．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．
（1）如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．
A1：，B1：，C1：；
（3）求△ABC的面积．
21．如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
22．某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A 种T恤x件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元．
（1）求W关于x的函数关系式；
（2）如果购进两种T恤的总费用为9500元，求超市所获利润．（提示：利润=售价﹣进价）品牌进价（无/件）售价（元/件）
A5080
B4065
23．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a===2﹣
∴a﹣2=﹣
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a=求4a2﹣8a+1的值．
24．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）
（1）求△ABC的面积；
（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D 坐标；若不存，说明理由．
（3）有一个P（﹣4，a），使得S△PAB=S△ABC，请你求出a的值．
四、附加题
25．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰
直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：
①线段PB=，PC=；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）
2016-2017学年陕西省西安市新城区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列实数是无理数的是（）
A．﹣1 B．0 C．πD．
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是整数，是有理数，故A选项错误；
B、是整数，是有理数，故B选项错误；
C、是无理数，故C选项正确；
D、是分数，是有理数，故D选项错误．
故选：C．
2．下列各组数是勾股数的是（）
A．3，4，5 B．7，8，9 C．9，41，47 D．52，122，132
【考点】勾股数．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、是，因为32+42=52；
B、不是，因为72+82≠92；
C、不是，因为92+412≠472；
D、不是，因为（52）2+2．
故选：A．
3．满足﹣＜x＜的整数x的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先求出和的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵1，2＜3，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴满足﹣＜x＜的整数x有﹣1，0，1，2，共4个，
故选D．
4．下列二次根式中的最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A
5．下列计算正确的是（）
A．2×3=6B．+=C．2﹣=2 D．2÷=
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、D进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式=6，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式=，所以C选项错误；
D、原式=，所以D选项正确．
故选D．
6．如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（）A．（﹣5，2）B．（﹣5，﹣2）C．（﹣2，5）D．（﹣2，﹣5）
【考点】点的坐标．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P在第二象限内，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为﹣2，纵坐标为5，
∴点P的坐标为（﹣2，5）．
故选C．
7．点M（3，﹣4）关于y的轴的对称点是M1，则M1关于x轴的对称点M2的坐标为（）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出M1，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．
【解答】解：∵点M（3，﹣4）关于y的轴的对称点是M1，
∴M1的坐标为（﹣3，﹣4），
∴M1关于x轴的对称点M2的坐标为（﹣3，4）．
故选A．
8．某商店售货时，在进价基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表所示，则售价y与数量x的函数关系式为（）
1234…
数量x（千
克）
售价y（元）8+0.416+0.824+1.232+1.6…
A．y=8+0.4x B．y=8x+0.4 C．y=8.4x D．y=8.4x+0.4
【考点】函数关系式．
【分析】根据数量x与售价y如下表所示所提供的信息，列出售价y与数量x的函数关系式y=（8+0.4）x．
【解答】解：依题意得：y=（8+0.4）x=8.4x，
故选：C．
9．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）
A．2mB．2.5m C．2.25m D．3m
【考点】勾股定理的应用．
【分析】经分析知：可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的斜边是竹竿的长，设为x 米．一条直角边是1.5，另一条直角边是（x﹣0.5）米．根据勾股定理，得：x2=1.52+（x﹣0.5）2，x=2.5．那么河水的深度即可解答．
【解答】解：若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，
x2=1.52+（x﹣0.5）2解之得，x=2.5
所以水深2.5﹣0.5=2米．
故选A．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB 上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE，从而求得
B′D=1，DF=，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．
【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE=，
∴EF=，ED=AE==，
∴DF=EF﹣ED=，
∴B′F==．
故选：B．
二、填空题
11．的立方根是．
【考点】立方根．
【分析】直接根据立方根的定义求解．
【解答】解：的立方根为．
故答案为．
12．比较大小：＞．
【考点】实数大小比较．
【分析】先求出的取值范围为3＜＜4，可得1＜﹣2＜2，再比较分子的大小即可求解．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴1＜﹣2＜2，
∴＞．
故答案为：＞．
13．如图，说出数轴上点A所表示的数是﹣．
【考点】实数与数轴．
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据点A在数轴上的位置即可求解．
【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为：=，
则数轴上点A所表示的数是﹣．
故答案为﹣．
14．已知a、b、c位置如图所示，试化简：|a+b﹣c|+=﹣2a+c．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】直接利用数轴得出a+b﹣c＜0，b﹣a＞0，进而化简即可．
【解答】解：由数轴可得：a+b﹣c＜0，b﹣a＞0，
故：|a+b﹣c|+=﹣（a+b﹣c）+b﹣a
=﹣2a+c．
故答案为：﹣2a+c．
15．如图，Rt△ABO中，∠ABO=90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上．若BD⊥AO于点D，OB=，AB=2，则点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（﹣1，2）．
【考点】勾股定理；坐标与图形性质．
【分析】根据勾股定理求出AO，即可得出A的坐标，证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标．
【解答】解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OB=，AB=2，由勾股定理得：OA==5，
即A的坐标是（﹣5，0），
∵BD⊥OA，
∴∠BDO=∠BAO=90°，
∵∠BOD=∠BOD，
∴△BDO∽△ABO，
∴，
∴，
解得：OD=1，BD=2，
即B的坐标是（﹣1，2），
故答案为：（﹣5，0），（﹣1，2）．
16．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运运，若∠AOB=45°，OP=2，则△PMN的周长的最小值为4．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB 的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
则CD=OC=×2=4．
故答案是：4．
17．如图：A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=2，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为2．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】作点B于直线l的对称点B，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．
【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．
∴B′N=BN=2，
∵AM∥B′N，
∴=，
即=，
解得：PN=4，
PM=4+4=8，
∴PA==4，PB′==2，
∴|PA﹣PB|的最大值=2．
故答案为：2．
三、解答题
18．计算
（1）×﹣3
（2）（+）（﹣）﹣
（3）+﹣
（4）（3﹣2+）÷2．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）首先利用二次根式的乘法法则计算，然后进行减法计算；
（2）首先利用平方差公式计算，化简二次根式，然后进行加减即可；
（3）首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可；
（4）首先对二次根式进行化简，然后对括号内的根式合并同类二次根式，然后进行除法计算即可．
【解答】解：（1）原式=﹣3=4﹣3=1；
（2）原式=3﹣7﹣4=﹣8；
（3）原式=5+﹣6=﹣；
（4）原式=（6﹣+4）÷2
=÷2
=．
19．解方程
（1）4x2﹣1=0
（2）8（x+1）3=﹣27．
【考点】立方根；平方根．
【分析】根据平方根与立方根的性质即可求出x的值．
【解答】解：（1）x2=
x=±
（2）（x+1）3=﹣
x+1=﹣
x=﹣
20．如图，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．（1）如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．
A1：（﹣3，4），B1：（﹣5，1），C1：（﹣1，2）；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点，再连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出各点坐标即可；
（3）利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A1（﹣3，4），B1（﹣5，1），C1（﹣1，2）；
故答案为：（﹣3，4）；（﹣5，1）；（﹣1，2）；
（3）△ABC的面积：3×4﹣2×2﹣2×3﹣1×4=12﹣2﹣2﹣2=6．
21．如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；
（2）根据S阴影=S Rt△ABC﹣S Rt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：S阴影=S Rt△ABC﹣S Rt△ACD
=×10×24﹣×8×6
=96．
22．某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A 种T恤x件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元．
（1）求W关于x的函数关系式；
（2）如果购进两种T恤的总费用为9500元，求超市所获利润．（提示：利润=售价﹣进价）品牌进价（无/件）售价（元/件）
A5080
B4065
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到W关于x的函数关系式；
（2）根据表格中的数据可以求得购进两种T恤的件数，然后根据（1）中函数关系式即可求得超市所获利润．
【解答】解：（1）由题意可得，
W=（80﹣50）x+（65﹣40）=5x+5000，
即W关于x的函数关系式W=5x+5000；
（2）由题意可得，
50x+×40=9500，
解得，x=150，
∴W=5×150+5000=5750（元），
即超市所获利润为5750元．
23．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a===2﹣
∴a﹣2=﹣
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a=求4a2﹣8a+1的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）首先化简a，然后把所求的式子化成4（a﹣1）2代入求解即可．
【解答】解：（1）原式=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1=10﹣1=9；
（2）a=+1，
则原式=4（a2﹣2a+1）﹣3=4（a﹣1）2，
当a=+1时，原式=4×（）2=8．
24．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）
（1）求△ABC的面积；
（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D 坐标；若不存，说明理由．
（3）有一个P（﹣4，a），使得S△PAB=S△ABC，请你求出a的值．
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】（1）根据AO=1，BC=6，求得△ABC的面积；
（2）设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，根据BD=AD=1+a，∠BOD=90°，可得Rt△BOD
中，OD2+OB2=BD2，即a2+22=（a+1）2，进而得出点D坐标；
（3）分两种情况进行讨论，点P在第二象限或第三象限内，根据S△PAB=S△ABC，求出a的值．【解答】解：（1）∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），
∴AO=1，BC=6，
∴△ABC的面积=×6×1=3；
（2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．
如图所示，设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，
∵BD=AD=1+a，∠BOD=90°，
∴Rt△BOD中，OD2+OB2=BD2，
∴a2+22=（a+1）2，
解得a=，
∴D（0，）；
（3）在x轴负半轴上取点D（﹣4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上，
过C作CP∥AB，交l于点P，则S△PAB=S△ABC，
∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0），
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，
设直线CP解析式为y=﹣x+b，
把C（4，0）代入，可得
0=﹣2+b，
解得b=2，
∴直线CP解析式为y=﹣x+2，
∴F（0，2），
当x=﹣4时，y=2+2=4，
∴P（﹣4，4）；
当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE=AF=3，
∴OE=4，即E（0，﹣4），
∴直线P'E解析式为y=﹣x﹣4，
当x=﹣4时，y=2﹣4=﹣2，
∴P'（﹣4，﹣2），
∴a的值为4或﹣2．
四、附加题
25．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：
①线段PB=，PC=2；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2+PB2=PQ2；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）
【考点】勾股定理的应用；相似形综合题．
【分析】（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；②△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC﹣PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ 中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）=（PD﹣DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【解答】解：（1）如图①：
①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+
∴AB===+，
∵PA=，
∴PB=，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=．
∴PC=PQ=2．
故答案为：，2；
②如图1．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DC•PD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC•PD+PD2
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2
（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC•PD+PD2，PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DC•PD+PD2，∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2．
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①当点P位于点P1处时．
∵，
∴．
∴．
在Rt△CP1D中，由勾股定理得：==DC，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，
∴．
②当点P位于点P2处时．
∵=，
∴．
在Rt△CP2D中，由勾股定理得：==，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，
∴．
综上所述，的比值为或．
2017年5月5日。