弱大数定律和强大数定律

弱⼤数定律和强⼤数定律
设X1，X2，……X n是i.i.d.随机变量，Y n=(X1+...+X n)/n。

若将X1，X2……Xn看做是随机变量X的n次采样，那么Y n是X的采样平均。

E[Y n]=E[X]，Var(Y n)=Var(X n)/n。

从图形（图……）中可以直观看出，n越⼤，Y n分布曲线就越陡峭，E[Y n]在概率上就越能接近于m x。

然⽽，⽆论n如何⼤，总存在着这样的可能性，使得Y n落在设定的精度之外。

[……待续]
弱⼤数定律和强⼤数定律有相同的条件，区别在于结论。

弱⼤数说依概率收敛，强⼤数说以概率1收敛（或者说⼏乎处处收敛）。

依概率收敛的意思是，任意指定⼀个正数ε，⽆论n取多⼤，Xbar与µ的差⼤于ε的可能次数是⽆限的，但只要n⾜够⼤（⽐如满⾜切⽐雪夫不等式），差⼤于ε的次数占⽐趋于0。

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1. 看弱⼤数定律的定义式和证明；
2. 注意区分弱⼤数定律定义式中的ε（ε1）和极限定义中⽤的ε（ε2），这是两个不同的ε；
3. ⽤极限的定义去理解弱⼤数定律的定义式（对任意⼩的正数ε2，总能找到⼀个数N，使得当n>N时，弱⼤数定律定义式的P<ε2）。

4. 从3中可看出，P永不能取得0，⽽只能在极限的概念上趋近于0。

也就是上⾯说的，
a)⽆论n如何⼤，总存在着这样的可能性，使得Y n落在设定的精度之外；
b)Xbar与µ的差⼤于ε的可能次数是⽆限的，但占⽐趋于0。

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以概率1收敛的意思是说只要n⾜够⼤，任意指定⼀个正数ε，总能找到⼀个N，使n>N时，Xbar与µ的差⼤于ε的次数是有限的。

⼤数定律要求期望有限，否则⼤数定律不成⽴。

仍然以抛硬币作为例⼦。

你抛了N次硬币，总可以在数学上计算出各种可能情况的概率。

如果N较⼩，或许可以观察到全正⾯或全反⾯的情况；当N是⼀个⼤数，全正⾯或全反⾯的概率虽不能完全排除，但会迅速缩⼩。

以⼤数定律的⼝吻来说，给定⼀个数ε1>0，总存在⼀个抛硬币次数N，当实验次数⼤于N时，|出现正⾯频率-1/2|>ε1的概率⼩于⼀个指定的数ε2（弱），或|出现正⾯频率-1/2|>ε1只出现有限次（强）。

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