一次不定方程有整数解的充要条件

一次不定方程有整数解的充要条件
一次不定方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c均为整数，且a和b不全为0。

一个一次不定方程有整数解的充要条件为：c是a和b的最大公约数（gcd）的倍数。

也就是说，存在整数x和y使得ax + by = c成立，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数。

这可以通过贝祖定理（Bézout's identity）来证明。

贝祖定理指出，对于任意两个非零整数a和b，存在整数x和y，使得ax + by = gcd(a,b)。

因此，如果c是a和b的最大公约数gcd(a,b)的倍数，那么可以令x = x*(c/gcd(a,b))，y = y*(c/gcd(a,b))，此时ax + by = c成立。

反之，如果存在整数x和y使得ax + by = c成立，根据贝祖定理，可知c是a和b的最大公约数的倍数。

因此，这就是一次不定方程有整数解的充要条件。