河南省洛阳市宜阳县实验中学2018-2019学年高二数学文期末试题含解析

河南省洛阳市宜阳县实验中学2018-2019学年高二数学
文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( )
A.＝1.23x＋4
B.＝1.23x＋5
C.＝1.23x＋0.08
D.＝0.08x＋1.23
参考答案：
C
略
2. （多选题）已知曲线
，则下列曲线中与曲线T有公共点的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
BD
【分析】
首先根据曲线过点确定BD选项.化简曲线的方程，得到，结合图像判断AC选项中的曲线与没有公共点.
【详解】由于曲线过点，而曲线也过，所以B选项符合.
由于曲线过点，而曲线也过，所以D选项符合.
由于，所以
，所以，两边平方并化简得，两边平方并化简得
，所以.所以曲线的方程为.
对于A选项，画出、图像如下图所示，由图可知，两个曲线没有公共点.（圆圆心，半径为，圆心到直线的距离，所以直线和圆没有公共点.）
对于C选项，画出、图像如下图所示，由图可知，两个曲线没有公共点.（的一条渐近线方程为，而可化为与平行，故与没有公共点.）
故选：BD
【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
3. 设，则二项式的展开式的常数项是
A 160
B －160
C 240
D －240
参考答案：
B
略
4. 用秦九韶算法求n 次多项式，当时，求
需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）
A． B．n,2n,n C． 0,2n,n D．0,n,n
参考答案：
D
5. 数列满足:,则其前10项的和（）
A.100
B.101
C.110
D.111
参考答案：
C
6. 如图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的
A．x＞c B．c＞x C．c＞b D．b＞c
参考答案：
B
略
7. 在的展开式中的常数项是 ()
A. B． C．
D．
参考答案：
A
8. 现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，要弄清楚两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．用理科书的本数除以书的总本数5即为所求的概率．
【解答】解：5本书中一共有3本理科书：数学、物理、化学，
所以取出的是理科书的概率为：．
故选：C．
【点评】解答此题的关键是要弄清楚：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9. 设函数则（）
A．是减函数 B．是增函数 C．有最小
值 D．有最大值
参考答案：
D
略
10. 等比数列中，，，则的值是（）A．14 B．18 C．16 D．20
参考答案：
C
，在等比数列中构成等比数列，
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为．
参考答案：
，
，
，即，
圆心为，点的直角坐标为，
.
12. 设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．
参考答案：
[﹣3，3]
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=，过点A（3，0）时，
直线y=的截距最小，此时z最大为z=3﹣0=3，
由图象可知当直线y=，
过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，
由，解得，即B（1，2），
代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，
故﹣3≤z≤3，
故答案为：[﹣3，3]．
13. 已知S n为等差数列{a n}的前n项和，公差，且，，，成等比数列，则__________．
参考答案：
－9
【分析】
由，利用等差数列的前n项和公式，求得，又由，，成等比数列，利用等差数列的通项公式，求得，联立方程组，即可求解.
【详解】由题意知，则，即，
又由，，成等比数列，则，所以，即
，
联立方程组，解得.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
14. 已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为____________．
参考答案：
(－∞，1)．
依题意得关于x的方程x2－a＝－1没有实数解，因此a－1＜0，即a＜1
15. 复数（其中为虚数单位）的虚部为__________.
参考答案：
略
16. 高安二中高中年级早上7点早读，假设该校学生小x与小y在早上6：30﹣6：50之间到校且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小x比小y至少早5分钟到校的概率为．
参考答案：
【考点】几何概型．
【专题】应用题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】设小x到校的时间为x，小y到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|0≤x≤20，0≤y≤20}是一个矩形区域，则小x 比小y至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．
【解答】解：设小x到校的时间为x，小y到校的时间为y．
（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|0≤x≤20，
0≤y≤20}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，
则小x比小y至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，
则符合题意的区域为△ADE，联立得，即D（15，20），
联立得，即E（0，5），
则S△ADE=×15×15=
几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为==．
故答案为：
啊啊
【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．
17. 已知f(x)=,则f(f())=_______.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知集合，，若，求的取值
范围。

参考答案：
解析：
若则
若，则，不满足
若，则
无解
19. 已知函数，，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设是的导函数，函数，求在时的最小值．
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）求函数的导数，当时，利用点斜式可求曲线在点，（1）处的
切线方程；（Ⅱ）分别讨论，利用数形结合法，求函数的单调性可得函数的最值．
【详解】（Ⅰ）当时，，，
∴，又
∴曲线在点处的切线方程为：．
（Ⅱ），，
由得：
，，，
得当，．
时，，在单调递增，∴；
②当时，可得，，
∴单调递增，单调递减，单调递增，
；
③当时，可得，
∵，
∴，
∴在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，
∴
，
综上，．
【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，函数曲线的切线，函数的最值，属于难题．
20. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若二面角P﹣CD﹣A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；
（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．
参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．
【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，从而EF⊥AB，AB⊥CF，由此能证明CE⊥AB．
（2）推导出PA⊥CD，CD⊥PD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，由此能求出直线CE 与平面PAB所成角的正切值．
（3）过P作PG∥CD，推导出∠APD为所求锐二面角的平面角，由此能求出平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，
∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，
∵AB?平面ABCD，∴EF⊥AB，
∵AB⊥AD，∴AB⊥CF，
∵EF?平面EFC，CF?平面EFC，∴AB⊥平面EFC，
∵CE?平面EFC，∴CE⊥AB．
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，
∴∠PDA=60°，∴PA=，
∵AB=AD=2CD，∴PA==，
由（1）知，∠CEF为CE于平面PAB所成角，
∵tan∠CEF====，
∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．
（3）过P作PG∥CD，由PA⊥平面PAD，得PA⊥AB，PA⊥PG，
由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，PG⊥PD，
∴∠APD为所求锐二面角的平面角，
cos=．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21. （12分）设的内角所对的边长分别为，且，
．
（Ⅰ）求边长；
（Ⅱ）若的面积，求的周长．
参考答案：
（1）由与两式相除，有：
又通过知：，
则，，
则．
（2）由，得到．
由，
解得：，
最后．
22. 近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中．
（1）求a，b的值；
（2）若按照分层抽样从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60)的概率．
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
根据频率分布直方图的特点:可列的式子：，求得，根据图，可知a＝4b，继而求得a,b，先利用分层抽样得方法，确定[50，60)，[60，70)中分别抽取的人数，然后利用古典概型，求得概率
【详解】（1）依题意得，所以
，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006．
（2）依题意，知分数在[50，60）的市民抽取了2人，记为a，b，分数在[60，70）的市民抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，
所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28种，
其中满足条件的为（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6）共13种，
设“至少有1人的分数在[50，60）”的事件为A，则P（A）＝.。