2020届高三文科数学精准培优专练一：函数的图像与性质(解析版)

2020届高三文科数学精准培优专练一：函数的图像与性质（解析版）
1.单调性的判断例１：（1）函数2
12
log (4)f x x
的单调递增区间是（）
A ．(0,)
B ．(
0)
,C ．(2,)
D ．(
)
,2（2）2
23y
x
x
的单调递增区间为
________．
【答案】（1）D ；（2）(],1，0,1
【解析】（1）因为12
log y t ，0t
在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，
即求函数2
4t
x 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为
(
),2．（2）由题意知，当0x 时，2
2
2314()
y
x
x x ；当0x 时，2
2
2314()
y
x
x x ，二
次函数的图象如图．
由图象可知，函数
2
23y x
x 在(
],1，0,1上是增函数．
2．利用单调性求最值例2：函数1y x
x
的最小值为________．
【答案】1
【解析】易知函数1y
x
x
在[1,
)上为增函数，∴
1x 时，min
1y ．
3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当2
11x x 时，
21
2
1()
0f x f x x x 恒成立，设12a
f
，2b
f ，3c
f ，则a ，b ，c 的大小关系为
（）A ．c
a b B ．c b a C ．a c b D ．b a c
（2）定义在R 上的奇函数y f x 在(0,)上递增，且
102
f
，则满足19
log 0f x
的x 的集合为
________________．【答案】（1）D ；（2）
1|0
1
3
3x x
x
或【解析】（1）根据已知可得函数f x 的图象关于直线
=1x 对称，且在(1,
)上是减函数，
因为1522
a
f
f ，且5
2<<32
，所以b
a c ．
（2）由题意知
102
f ，102
f
，由19
log 0f x
得19
1log 2
x
或19
1log 0
2
x
解得10
3
x
或13x ．
４．奇偶性例４：已知偶函数f x 在区间[0,
)上单调递增，则满足
1(21)
3
f x f 的x 的取值范围是（
）
A ．12,
33B ．12,
33
C ．
12,23
D ．12,
23
【答案】A
【解析】因为f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f x 在[0,)上单调递增，
1(21)
3
f x f ，所以1|21|3
x ，所以
123
3
x
．故选A ．
５．轴对称
例５：已知定义域为R 的函数y f x 在0,7上只有1和3两个零点，且2y
f x
与7y
f x
都是
偶函数，则函数y
f x 在0,2013上的零点个数为（）
A ．404
B ．804
C ．806
D ．402
【答案】C 【解析】
2f x
，7f x
为偶函数
22f x f x
，7
7f x f
x
，
f x 关于
2x ，7x 轴对称，f x 为周期函数，且
2
7
210T
，
将0,2013划分为0,1010,20
2000,20102010,2013f x 关于2x
，7x 轴对称
4
f x
f x ，14
f x
f x
16
0f f ，8
14860f f f ，34310
f f f 在0,10中只含有四个零点，而0,10
10,20
2000,2010共201组所以2014
804N
；在2010,2013中，含有零点
2011
1
0f f ，2013
3
0f f 共两个，
所以一共有806个零点，故选
C ．
６．中心对称例６：函数
f x 的定义域为R ，若1f x
与1f x 都是奇函数，则（
）
A ．f x 是偶函数
B ．f x 是奇函数
C ．2
f x f x
D ．3f x
是奇函数
【答案】D
【解析】从已知条件入手可先看f x 的性质，由1f x ，1f x 为奇函数分别可得到：
11f x f
x ，11f x f
x ，所以f x 关于1,0，
1,0中心对称，双对称出周期可求得21
14T
，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合
A ，
B ．
对于D 选项，因为4T ，所以5
11f x f x f x ，进而可推出
f x 关于3,0中心对称，所以3f x
为f x 图像向左平移3个单位，即关于0,0对称，所以
3f x
为奇函数，D 正确．
７．周期性的应用例７：已知f x 是定义在R 上的偶函数，g x 是定义在R 上的奇函数，且()1g x
f x
，
则20172019f f 的值为（
）
A ．1
B ．1
C ．0
D ．无法计算
【答案】C
【解析】由题意，得(()1)
g x f x ，∵f x 是定义在R 上的偶函数，
g x 是定义在R 上的奇函数，
∴()g x g x ，()f x f x ，∴()()11f x
f x ，
∴(2)f x f x
，∴()4f x f x ，∴f x 的周期为4，∴2017
1f f （），2019
3
(1)f f f ，
又∵1100()f f g （），∴201720190f f ．
对点增分集训
一、选择题1．若函数2||f x x
a 的单调递增区间是[3,)，则a 的值为（
）A ．
2
B ．2
C ．
6
D ．6
【答案】C
【解析】由图象易知函数2||f x
x
a 的单调增区间是
,
2a ，令
=32
a
，∴6a ．
2．已知函数2(og 1)l y ax 在1,2上是增函数，则实数
a 的取值范围是（
）A ．0,1B ．1,2
C ．[1,
)
D ．[2,
)
【答案】C 【解析】要使2(og 1)l y ax 在1,2上是增函数，则
0a 且1
0a ，即1a ．
3．设函数()
()ln 1
ln 1
f x x x ，则f x 是（
）
A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数
B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数
C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数
D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数
【答案】A
【解析】易知f x 的定义域为()1,1，且()()
ln 1l (n 1)f x x x f x -，则y f x 为奇函数，
又ln 1ln 1()()y
x y x 与在(0,1)上是增函数，所以
()
()ln 1
ln 1f x
x x 在(0,1)上是增函数．4．已知函数y f x 的图象关于1x
对称，且在(1,
)上单调递增，设
12a
f
，2b
f ，
3c
f ，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A ．c b a
B ．b a c
C ．b c a
D ．a b c
【答案】B
【解析】∵函数图象关于
1x 对称，∴152
2
a
f
f
，又y f x 在(1,)上单调递增，
∴5
(2)(3)
2
f f f，即b a c，故选B．
5．已知f x是奇函数，g x是偶函数，且2
(11
)
f g，)
114
(
f g，则1
g等于（）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由已知得()11
f f，()11
g g，则有
112
114
f g
f g
解得13
g．
6．函数
1
()cos(0)
f x x x x x
x
且的图象可能为（）
【答案】D
【解析】因为11
()cos()cos()
f x x x x x f x
x x ，x且0
x，所以函数f x为奇函
数，排除A，B．当x时，
1
()cos0
f x，排除C，故选D．
7．奇函数f x的定义域为R，若()1
f x为偶函数，且12
f，则45
f f的值为（）
A．2 B．1 C．1D．2
【答案】A
【解析】∵()1
f x为偶函数，∴1
()()1
f x f x，则(()2
)
f x f x，
又y f x为奇函数，则2
()()
f x f x f x，且00
f．
从而2
(()
4)
f x f x f x，y f x的周期为4．
∴4501022
f f f f．
8．函数f x的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x
y关于y轴对称，则f x的解析式为（）A．1
e x
f x B．1
e x
f x C．1
e x
f x D．1
e x
f x
【答案】D
【解析】与e x
y 的图象关于y 轴对称的函数为
e x
y
．依题意，
f x 的图象向右平移一个单位，
得e x
y
的图象．∴
f x 的图象由e x
y
的图象向左平移一个单位得到．∴
1)
1
(e
e
x x f x
．
9．使2)og (l 1x x 成立的x 的取值范围是（
）A ．()1,0B ．[)
1,0C ．()
2,0D ．[)
2,0【答案】A
【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x ，1y
x 的图象，知满足条件的,0()1x ，故选A ．
10．已知偶函数
f x 对于任意R x 都有()
1f x f x ，且f x 在区间0,1上是单调递增的，
则()65f ．，1()f ，0f 的大小关系是（）
A ．0 6.5()()1f f f
B ． 6.5()()01f f f
C ．()(60
)
1.5f f f D ．10
()
( 6.5)
f f f 【答案】A 【解析】由()
1f x f x ，得1(()2)f x
f x f x ，∴函数f x 的周期是2．
∵函数f x 为偶函数，∴ 6.50.5()
()
(0.)5f f f ，()11f f ．
∵f x 在区间0,1上是单调递增的，∴0
0.5(1)
f f f ，即0 6.5()
()1f f f ．
11．对任意的实数x 都有()221f x
f x f ，若(1)y f x
的图象关于1x 对称，且0
2f ，
则20152016f f （）
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】(1)y
f x
的图象关于1x
对称，则函数y
f x 的图象关于0x 对称，
即函数f x 是偶函数，令1x ，则121(12)
()
f f f ，
∴11210f f f ，即10f ＝，则2(210)f x
f x f ，
即2()
f x
f x ，则函数的周期是2，又02f ，
则2015201610022f f f f ．12．已知函数e
1x
f x
，2
43g x
x
x
，若存在f a g b ，则实数b 的取值范围为（
）
A ．[0,3]
B ．(1,3)
C ．2
2,22
D ．2
2,22
【答案】D
【解析】由题可知e
1
1x
f x ，2
2
43211()g x
x x x
，若f a g b ，则,1(]1g b
，即
2
431b
b
，即2
42
0b
b
，
解得2
22
2b ．所以实数b 的取值范围为(2
2,22)．
二、填空题
13．设函数
1
0001
x x x
f x
，2
1()g x x f x ，则函数g x 的递减区间是_______．
【答案】[0,1)
【解析】由题意知2
21011
g x
x
x x x
x
，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g x 的减区间是[0,1)．
14．若函数R ()f x x 是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为101sin 1
2
x x x x
x
f x
，
则29414
6
f
f
________．
【答案】
516
【解析】由于函数f x 是周期为4的奇函数，所以29413737372424
4
64
6
4
35si 6
4
n
16
16
6
6
f f f f f
f
f f ．
15．设函数||f x
x
a ，1g x x ，对于任意的
R x ，不等式f x
g x 恒成立，则实数a 的取
值范围是________．【答案】[)
1,
【解析】如图作出函数||f x
x
a 与1g x
x 的图象，观察图象可知：当且仅当
1a ，即1a 时，
不等式f x
g x 恒成立，因此a 的取值范围是[)1,
．
16．设定义在R 上的函数f x 同时满足以下条件：①0()f x f x ；②()2f x f x ；
③当01x 时，2
1x
f x ，则1351(2)
2
2
2
f
f f
f f ________．
【答案】
2
【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为
2，
∴1351
(2)
222f
f f f f 1111(0)
222
f f f f f 1111(0)
22
2
f f f f f
1
1
2
1102
1212
1
22
f f f ．
三、解答题17．已知函数
()ln(2)a f x x
x
，其中a 是大于0的常数．
（1）求函数f x 的定义域；（2）当4()1,a
时，求函数
f x 在[2,
)上的最小值；
（3）若对任意,
[)2x 恒有0f x
，试确定a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）ln 2
a ；（3）(2,
)．
【解析】（1）由20a x x
，得
2
20x
x a
x
，当1a 时，2
20x x a
恒成立，定义域为
(0,
)，
当1a 时，定义域为0{|}1x x x
且，
当0
1a 时，定义域为{|0
1
11
1}x x
a x
a 或．
（2）设()
2a g x x
x
，当4()1,a ，,
[)2x 时，∴2
2
2
()
1
0a x
a
g x x
x
．
因此g x 在[2,)上是增函数，∴f x 在[2,)上是增函数．则
min
()(2)ln
2
a f x f ．（3）对任意,[)2x ，恒有0f x ．即21a x x
对,
[)2x 恒成立．
∴2
3a
x
x ．令2
3h x
x x ，,
[)2x
．
由于2
39()2
4
h x x
在[2,)上是减函数，∴
max
22h x
h ．
故2a
时，恒有0f x
．因此实数a 的取值范围为(2,
)．
18．设f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x ，当10x 时，f x x ．
（1）判定f x 的奇偶性；（2）试求出函数
f x 在区间[]1,2上的表达式．
【答案】（1）f x 是偶函数；（2）1,00,121,2
x
x
x x x
x
f x
．【解析】（1）∵()
1()1
f x f x ，∴(()2
)
f x f x ．
又2()
f x
f x ，∴()
f x f x ．又f x 的定义域为R ，∴f x 是偶函数．
（2）当1[]0,x 时，1,[]0x ，则()f x
f x x ；进而当1
2x 时，
1
2
0x ，2()
2()
2f x
f x
x
x
．
故1,0
0,12
1,2
x
x x x
x
x
f x
．。