5.5.2 简单的三角恒等变换

5．5.2 简单的三角恒等变换
教材考点 学习目标 核心素养 半角公式的推
导 了解半角及其推导过程
逻辑推理
三角恒等变换
灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P225－P228，并思考以下问题： 1．如何用cos α表示sin 2α2，cos 2α2和tan 2α
2？ 2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？
1．半角公式
2．辅助角公式
a sin x ＋
b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(其中tan θ＝b
a )． ■微思考
(1)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？
提示：不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；
②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求α
2所在范围，然后根据α2所在范围选用符号．
(2)半角公式对α∈R 都成立吗？ 提示：cos α
2＝± 1＋cos α2
，sin α
2＝± 1－cos α
2
对α∈R 都成立． 但公式tan α
2＝±
1－cos α1＋cos α
要求α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)半角公式对任意角都适用．( ) (2)cos α
2＝
1＋cos α
2
.( ) (3)对于任意α∈R ，sin α2＝1
2sin α都不成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
2．若cos α＝1
3，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( ) A.6
3 B ．－6
3 C ．±6
3 D ．±3
3
答案：A
3．已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－10
10 B.1010 C.3310 D ．－35
答案：B
4．已知cos θ＝－3
5，且180°＜θ＜270°，则tan θ2＝________． 答案：－2
探究点1 应用半角公式求值
已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝12
13，求cos α－β2 的
值．
【解】 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝12
13， 所以cos α＝－35，cos β＝5
13.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＋45×1213＝33
65.
因为π2＜α＜π且0＜β＜π2， 所以0＜α－β＜π，即0＜α－β2＜π
2.
所以cos
α－β2＝
1＋cos （α－β）
2
＝
1＋33652
＝76565.
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α
2＝sin α1＋cos α＝1－cos α
sin α，
其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2
α2＝
1－cos α
2
，cos 2
α2＝
1＋cos α
2
计算．
1．已知sin α＝－4
5且π＜α＜3π2，则sin α2＝________． 解析：因为sin α＝－4
5，π＜α＜3π2， 所以cos α＝－35.又π2＜α2＜3π
4，
所以sin α
2＝ 1－cos α
2
＝ 1＋35
2＝255.
答案：25
5
2．已知cos 2θ＝－2325，π
2<θ<π，求tan θ2的值． 解：因为cos 2θ＝－2325，π
2<θ<π，依半角公式得
sin θ＝
1－cos 2θ
2＝ 1＋23252
＝265，
cos θ＝－
1＋cos 2θ
2
＝－1－23252
＝－15，
所以tan θ2＝
1－cos θ
sin θ
＝
1＋15
265
＝62. 探究点2 三角函数式的化简
化简（1－sin α－cos α）⎝ ⎛⎭⎪
⎫sin α
2
＋cos α22－2cos α
(－π＜α＜0)．
【解】 原式＝
⎝
⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin α2＋cos α22×2sin 2
α
2
＝2sin
α
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
sin
α
2
－cos
α
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
sin
α
2
＋cos
α
2
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
sin
α
2
＝
sin
α
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
sin2
α
2
－cos2
α
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
sin
α
2
＝
－sin
α
2cos
α
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
sin
α
2
.
因为－π＜α＜0，
所以－
π
2
＜
α
2
＜0，
所以sin
α
2
＜0，
所以原式＝
－sin
α
2cos
α
－sin
α
2
＝cos α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
sin
θ
2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
解：原式＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2sin
θ
2cos
θ
2
＋2cos2
θ
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
sin
θ
2
－cos
θ
2
4cos2
θ
2
＝
cos
θ
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
sin2
θ
2
－cos2
θ
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
cos
θ
2
＝－cos
θ
2cos
θ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
cos
θ
2
.
因为0＜θ＜π，
所以0＜
θ
2
＜
π
2
，
所以cos
θ
2
＞0，
所以原式＝－cos θ.
三角函数式化简的思路和方法
(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．
化简：
cos
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3π
2－α－tan
α
2·（1＋cos
α）
1－cos α
(0＜α＜π)．解：因为tan
α
2
＝
sin α
1＋cos α
，
所以(1＋cos α)tan
α
2
＝sin α，
又因为cos
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3π
2
－α＝－sin α，
且1－cos α＝2sin2
α
2
，
所以原式＝－sin α－sin α2sin 2 α2＝－2sin α
2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2
＝－22sin α2cos α
2
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪sin α2.
因为0＜α＜π，
所以0＜α2＜π2.所以sin α
2＞0. 所以原式＝－22cos α
2.
探究点3 与三角函数性质有关的问题
已知函数f (x )＝cos(π＋x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32π－x －3cos 2x ＋32.
(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6
，2π3上的单调递增区间．
【解】 f (x )＝(－cos x )·(－sin x )－3·1＋cos 2x 2＋
3
2 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3.
(1)f (x )的最小正周期为π，最大值为1. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2
(k ∈Z )，
即k π－π12≤x ≤k π＋5
12π(k ∈Z )，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增，即f (x )在
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6，2π3上的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，5π12.
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简
↓
统一化成f （x ）＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式
↓
利用辅助角公式化为f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π12－1，则f (x )( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选
A.f (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝
⎛⎭⎪
⎫
2x ＋π62－1＝
12
⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1
2sin 2x ，是奇函数．故选A.
2．已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．
解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3－3，
所以f (x )的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x ≤2π
3， 所以π3≤x ＋π
3≤π. 当x ＋π
3＝π，
即x ＝2π
3时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＝－ 3.
1．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋α2等于( )
A ．－6
3 B ．－6
6 C.66
D.63
解析：选B.由题意知sin α＝－53，α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，
所以cos α＝－2
3.因为α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋α2＝cos α2＝－
1＋cos α
2
＝－6
6.故选B.
2．设α是第二象限角，tan α＝－4
3，且sin α2<cos α2，则cos α2＝( ) A ．－5
5 B.55 C.35
D ．－35
解析：选A.因为α是第二象限角，且sin α2<cos α
2， 所以α
2为第三象限角， 所以cos α
2<0. 因为tan α＝－4
3， 所以cos α＝－3
5，
所以cos α
2＝－
1＋cos α2
＝－5
5. 3．若cos α＝－4
5，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝( )
A ．－1
2 B.12 C ．2
D ．－2
解析：选A.因为α是第三象限角，cos α＝－4
5， 所以sin α＝－3
5.
所以
1＋tan α21－tan α2
＝
1＋
sin α2
cos α
2
1－
sin α2cos α
2
＝cos α
2＋sin α
2
cos α2－sin α2＝cos α
2＋sin α
2cos α2－sin α2·cos α
2＋sin α
2cos α2＋sin α2
＝1＋sin α
cos α＝1－35
－45
＝－1
2.故选A. 4．化简：
1＋cos （3π－θ）2⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2<θ<2π＝________． 解析：原式＝
1－cos θ2＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
sin θ2， 因为3π2<θ<2π，所以3π4<θ
2<π， 所以sin θ2>0，故原式＝sin θ
2. 答案：sin θ
2
5．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，cos β＝－13，sin(α＋β)＝79.
(1)求tan β
2的值； (2)求sin α的值．
解：(1)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－13，则sin β＝22
3，
tan β2＝sin β1＋cos β＝22
31－13
＝ 2.
(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，
从而cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝
－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫792
＝－429， 所以sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
429×223＝1
3.
[A 基础达标]
1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π4＝( )
A ．－1
3 B ．－2
3 C.13
D.23
解析：选D.cos 2
⎝
⎛⎭⎪⎫
α－π4
＝1＋cos ⎝
⎛⎭⎪
⎫2α－π22＝1＋sin 2α2
＝23.
2．若cos 2α＝－45，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π，则sin α＝( )
A.310
10 B.1010 C.35
D ．－10
10
解析：选 A.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝
1－cos 2α2
＝310
10. 3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于7
25，则它的底角的余弦值为( ) A.34 B.35 C.12
D.45
解析：选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝7
25.又β＝π2－α2，
所以cos β＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－α2＝sin α2＝
1－7252
＝3
5，故选B.
4．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π，则
1＋cos 2α
2－ 1－cos 2α
2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin α
D ．－cos α－sin α
解析：选D.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π，
所以sin α≥0，cos α≤0， 则
1＋cos 2α2
－ 1－cos 2α
2
＝cos 2α－
sin 2α
＝|cos α|－|sin α|＝－cos α－sin α.
5．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x
2(x ∈[0，π])的最小值为( ) A ．1 B ．－1 C.54
D ．－54
解析：选D.由题意，得f (x )＝cos 2x －2cos 2x
2＝cos 2x －(1＋cos x )＝cos 2x －cos x －1，设t ＝cos x (x ∈[0，π])，y ＝f (x )，则t ∈[－1，1]，y ＝t 2
－t －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122－54，
所以当t ＝12，即x ＝π3时，y 取得最小值，为－54，所以函数f (x )的最小值为－5
4，故选D.
6．已知sin θ2－cos θ2＝6
3，则cos 2θ＝________． 解析：因为sin θ2－cos θ
2＝6
3， 所以1－sin θ＝23，即sin θ＝1
3， 所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝7
9. 答案：7
9
7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－α2＝________．
解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝2
3，
所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－α2＝1＋2
32＝56.
答案：5
6
8．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________． 解析：因为3sin x －3cos x ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －1
2cos x
＝23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x －π6，
因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π
6. 答案：－π
6
9．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝4
5，求tan α2的值． 解：因为sin(270°＋α)＝4
5， 所以cos α＝－4
5.
又180°<α<270°，所以90°<α
2<135°.
所以tan α
2＝－
1－cos α1＋cos α
＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－451＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＝－3. 10．化简：cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－α－tan α2·（1＋cos α）1－cos α(0<α<π)．
解：因为tan α
2＝sin α
1＋cos α，
所以(1＋cos α)tan α
2＝sin α. 又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2－α＝－sin α，
且1－cos α＝2sin 2
α
2，
所以原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α
2⎪⎪⎪⎪⎪
⎪sin α2
＝－22sin α2cos α
2
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪sin α2.
因为0<α<π，所以0<α2<π
2.
所以sin α
2>0.
所以原式＝－22cos α
2.
[B 能力提升]
11．(多选)下列各式与tan α相等的是( )
A.1－cos 2α
1＋cos 2α
B.sin α
1＋cos α
C.
1＋cos （π＋2α）2·1
cos α
(α∈(0，π))
D.1－cos 2α
sin 2α
解析：选CD.A 不符合，
1－cos 2α1＋cos 2α
＝
2sin 2 α2cos 2
α
＝tan 2 α＝|tan α|；
B 不符合，
sin α1＋cos α
＝
2sin α2cos α
22cos 2
α
2
＝tan α
2；
C 符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝
1－cos 2α2·1cos α＝sin α
cos α
＝tan α； D 符合，
1－cos 2αsin 2α
＝
2sin 2 α
2sin αcos α
＝tan α.
12．(一题两空)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4，π
，则sin 2θ＝________，sin θ＋cos θ＝________．
解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－θ
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－θ
＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2－2θ
＝12cos 2θ＝34. 所以cos 2θ＝3
2.
因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4，π，
所以2θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，2π，
所以sin 2θ＝－1
2，且sin θ＋cos θ＜0. 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝1
2. 所以sin θ＋cos θ＝－2
2
. 答案：－12 －2
2
13．已知sin 2θ＝3
5，0＜2θ＜π2，则
2cos 2
θ
2－sin θ－1
2sin ⎝
⎛⎭⎪
⎫θ＋π4＝________．
解析：2cos 2
θ
2－sin θ－1
2sin ⎝
⎛⎭⎪
⎫θ＋π4
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2cos 2 θ2－1－sin θ
2⎝ ⎛⎭⎪
⎫sin θcos π4＋cos θsin π4
＝cos θ－sin θ
sin θ＋cos θ＝1－
sin θ
cos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1
. 因为sin 2θ＝3
5，0＜2θ＜π2， 所以cos 2θ＝4
5，
所以tan θ＝
sin 2θ1＋cos 2θ＝
35
1＋45
＝13，
所以
1－tan θtan θ＋1
＝1－131
3＋1
＝12，
即2cos 2
θ
2－sin θ－1
2sin ⎝
⎛⎭⎪
⎫θ＋π4＝1
2.
答案：1
2
14．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x .
(1)求函数f (x )图象的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π
2时，求函数f (x )的最大、最小值．
解：f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋
2
2cos 2x －2 ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π4－ 2.
(1)令2x ＋π4＝k π＋π
2(k ∈Z )， 得x ＝1
2k π＋π8(k ∈Z )，
所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝1
2k π＋π8(k ∈Z )． 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝1
2k π－π8(k ∈Z )．
所以函数f (x )图象的对称中心的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12k π－π
8，－2(k ∈Z )．
(2)当0≤x ≤π2时，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π4≤1，
所以当x ＝π2时，f (x )取最小值－32
2，当x ＝π8时，f (x )取最大值1－ 2.
[C 拓展探究]
15．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠P AB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？
解：如图所示．因为AB 为半圆的直径，
所以∠APB ＝π
2，又AB ＝1， 所以P A ＝cos α，PB ＝sin α. 又PT 切半圆于P 点， 所以∠TPB ＝∠P AB ＝α， 所以S 四边形
ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB
＝12P A ·PB ＋12PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋1
2
sin 2α
＝14sin 2α＋1
4(1－cos 2α) ＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14.
因为0＜α＜π
2， 所以－π4＜2α－π4＜3π
4， 所以当2α－π4＝π
2，
即α＝3π
8时，
S四边形ABTP取得最大值
2
4
＋1
4.。