江苏省盐城市2013-2014学年高二下学期期终考试 数学(三星)

三星高中使用
江苏省盐城市2013-2014学年高二下学期期终考试
数学（三星）
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．命题“x R ∃∈，022
≤--x x ”的否定是 ▲ ．
2．设复数z 满足3iz i =-+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ ．
3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ． 4．“2>x ”是“042
>-x ”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.
5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概
率为 ▲ ．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知中心在坐标原点的双曲线C 经过点(1,0)，且它的右焦点F 与抛物线2
8y x =的焦点相同，则该双曲线的标准方程
为 ▲ ．
8．已知点(),P x y 在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域内，则y x z +=2 的最大
值为 ▲ ． 9．已知322322=+
，833833=+，15441544=+，…. 类比这些等式，
=（,a b 均为正实数），则a b += ▲ ．
第6题
10．（理科学生做）已知n
x
x )2(3-
展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 ▲ ．
（文科学生做）已知平面向量,a b 满足||2=a ，||2=b ，|2|5+=a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为 ▲ ． 11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则
共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）
（文科学生做）设函数2
()x x
e ae
f x x
-+=是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 12. 已知1,0,
()1,0
x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩，则不等式(2)()5x x f x ++≤的解集为 ▲ ．
13．若函数()(1)x
f x mx e =-在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
14. 若曲线3
x y =在点（1,1）处的切线和曲线2
109y ax x =+-也相切，则实数a 的值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） （理科学生做）设某地区O 型血的人数占总人口数的比为
1
2
，现从中随机抽取3人. （1）求3人中恰有2人为O 型血的概率；
（2）记O 型血的人数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望.
（文科学生做）设函数22()28(0)f x x ax a a =-->，记不等式()0f x ≤的解集为A .
（1）当1a =时，求集合A ；
（2）若(1,1)A -⊆，求实数a 的取值范围.
（理科学生做）设数列{}n a 满足13a =，2
122n n
n a a na +=-+. （1）求234,,a a a ； （2）先猜想出{}n a 的一个通项公式，再用数学归纳法证明.
（文科学生做）在Rt ABC ∆中，2
BAC π
∠=
，6AB AC ==，设(0)BD BC λλ=>uu u r uu u r
.
（1）当2λ=时，求AB AD ⋅uu u r uuu r
的值；
（2）若18AC AD ⋅=uuu r uuu r
，求λ的值. 17．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2
ACB π
∠=
，,D E 分别是1,AB BB 的中点，且
AC BC ==12AA =.
（1）求直线1BC 与1A D 所成角的大小； （2）求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.
（文科学生做）设函数2()(2)1
x a
f x a x +=
≠+. （1）用反证法证明：函数()f x 不可能为偶函数；
（2）求证：函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减的充要条件是2a >.
A
B
C A 1
B 1
C 1 E
D 第17题
如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆22
:143
x y E +=内一点P (1,1)的一条直线与椭圆交于点,A C ，且AP PC λ=，其中λ为常数. （1）求椭圆E 的离心率；
（2）当点C 恰为椭圆的右顶点时，试确定对应λ的值； （3）当1λ=时，求直线AC 的斜率.
19
20．（本小题满分16分）
设函数ax x x x f +-=233)(()a R ∈. （1）当9-=a 时，求函数)(x f 的极大值； （2）当3a <时，试求函数)(x f 的单调增区间；
（3）若函数)(x f 的图象与函数x x x ln )(-=ϕ的图象有三个不同的交点，求a 的取值范围.
第19题
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高二数学试题参考答案
一、填空题：每小题5分，计70分.
1.2
,20x R x x ∀∈-->； 2.1； 3.40； 4.充分不必要； 5.
2
1； 6.21； 7. 22
13y x -=； 8.6； 9.41； 10.（理）80-，（文）16
5； 11.（理）55，（文）1-； 12. 3(,]2
-∞； 13. [)1,+∞； 14.47
-
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15．（本小题满分14分）
（理）解：（1）由题意，随机抽取一人，是O 型血的概率为
1
2
， …………2分 ∴3人中有2人为O 型血的概率为23313
()28
P C ==. …………6分
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3， …………8分
∴03311(0)()28P C ξ===， 13
313(1)()28P C ξ===， 23313(2)()28P C ξ===，
33
311(3)()28P C ξ===， …………12分
∴3
()2
E ξ=. …………14分
（文）（1）当1=a 时，82)(2--=x x x f ，解不等式0822
≤--x x ，得42≤≤-x ， ……5分
{}42|≤≤-=∴x x A 集合. …………6 分
（2） 0822
2
≤--a ax x ，∴0)2)(4(≤+-a x a x ，
又0>a ，a x a 42≤≤-∴，∴[]2,4A a a =-. …………9分
又()1,1A -⊆，⎩⎨⎧≤-≥-∴a
a 4121，解得21≥a ，∴实数a 的取值范围是1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭. ……14分
16．（本小题满分14分）
（理）解：（1）由条件2
122n n
n a a na +=-+，依次得2211225a a a =-+=， 2322427a a a =-+=，2
433629a a a =-+=， …………6分 （2）由（1），猜想21n a n =+. …………7分 下用数学归纳法证明之：
①当1n =时，13211a ==⨯+，猜想成立； …………8分 ②假设当n k =时，猜想成立，即有21k a k =+， …………9分 则当1n k =+时，有2
122(2)2(21)122(1)1k k
k k k a a ka a a k k k +=-+=-+=+⋅+=++， 即当1n k =+时猜想也成立， …………13分 综合①②知，数列{}n a 通项公式为21n a n =+. …………14分
（文）解：（1）当2=λ时，BC BD 2=，
所以AB AC AB AC AB BC AB BD AB AD -=-+=+=+=2)(22， …………3分
∴363602)2(2
-=-=-⋅=-⋅=⋅. …………7分
（2）因为()
()()[]AC AD AC AB BD AC AB BC AC AB AC AB λλ⋅=⋅+=⋅+=⋅+- ()λλλλλ36)1()1(2
=⋅-+=-+⋅
=， …………12分
∴1836=λ，解得2
1
=
λ. …………14分 （说明：利用其它方法解决的，类似给分） 17．（本小题满分14分）
（理）解：分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得：(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C ,
又 ,D E 分别是1,AB BB 的中点，∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . …………3分 （1）因为1(0,2,2)BC =-， 1(1,1,2)A D =--，
所以111111cos ,2BC A D BC A D BC A D
⋅=
=
=⋅， …………7分
∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为
6
π
. …………8分 （2）设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由100
CA e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得220
0x z x y +=⎧⎨+=⎩,
∴可取(1,1,1)e =--，
…………10分
又 1(2,2,1)A E =--，所以111cos ,||.||3A E e A
E e A E e ⋅===， …………13分
∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为
3
3
. …………14分 （文）解：(1)假设函数()f x 是偶函数， …………2分 则(2)(2)f f -=，即
4413
a a
-++=-，解得2a =， …………4分 这与2a ≠矛盾，所以函数()f x 不可能是偶函数. …………6分
(2)因为2()1
x a
f x x +=+，所以22()(1)a f x x -'=+. …………8分
①充分性：当2a >时，2
2()0(1)
a
f x x -'=<+， 所以函数()f x 在(,1)-∞-单调递减； …………10分 ②必要性：当函数()f x 在(,1)-∞-单调递减时，
有2
2()0(1)
a
f x x -'=≤+，即2a ≥，又2a ≠，所以2a >. …………13分
综合①②知，原命题成立. …………14分 （说明：用函数单调性的定义证明的，类似给分；用反比例函数图象说理的，适当扣分） 18．（本小题满分16分）
解：（1）因为2
2
4,3a b ==，所以2
1c =，即2,1a c ==，所以离心率1
2
c e a =
=. …4分 （2）因为(2,0)C ，所以直线PC 的方程为2y x =-+， ………6分
由222
14
3y x x y =-+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，解得212(,)77A ， ………8分
代入AP PC λ=中，得5
7
λ=. ………10分
（3）因为1λ=，所以AP PC =，设1122(,),(,)A x y C x y ，
则12122,2x x y y +=+=， ………12分
又222211221,14343x y x y +=+=，两式相减，得12121212()()()()043
x x x x y y y y +-+-+=， 即1212043x x y y --+=，从而121234y y x x -=--，即3
4
AC k =-. ………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）因PO 与地面垂直，且，则,,AOH BOH COH ∆∆∆是全等的直角三角形， 又圆O 的半径为3，所以3tan OH θ=，3
cos AH BH CH θ
===， …………3分
又3tan PH θ=
，所以9
3tan cos L θθ
=+， …………6分 若点,P H
重合，则tan θ=3
π
θ=，所以(0,
)3
π
θ∈，
从而93tan cos L θθ=+
，(0,)3
π
θ∈. …………8分 （2）由（1
）知93sin 3tan 3cos cos L θθθθ
-=+=⋅， 所以23sin 13cos L θθ-'=⋅，当0
L '=时，1
sin 3θ=， …………12分 令01sin 3θ=，0(0,)3πθ∈，当0(,)3
π
θθ∈时，0L '>；当0(0,)θθ∈时，0L '<；
所以函数L 在0(0,)θ上单调递减，在0(,)3
π
θ上单调递增， …………15分
所以当0θθ=，即1
sin 3
θ=时，L 有最小值，此时用料最省. …………16分 20．（本小题满分16分）
解：（1）当9a =-时，由2()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+=0，得3,1x x ==-， ………2分 列表如下：
所以当1x =-时，函数()f x 取得极大值为5. ………4分
（2）因为2()36f x x x a '=-+，当3a <时，方程()0f x '=有相异两实根为1±
令()0f x '>，得1x >+1x < ………7分
所以函数()f x 的递增区间为(,1-∞，(1)+∞. ………10分
（3）由()ln f x x x =-，得323ln x x ax x x -+=-，即23ln a x x x =-+-， ………12分
令2()3ln h x x x x =-+-，则12(1)(21)
()23x x h x x x x
---'=-+-=，
列表，得
x
1(0,)2 12 1(,1)2 1 (1,)+∞
()f x ' －
0 ＋
0 － ()f x
递减
极小值5
ln 24
+ 递增
极大值2
递减
………14分 由题意知，方程()a h x =有三个不同的根，故a 的取值范围是5(ln 2,2)4
+. ………16分。