内乡县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

内乡县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
A．1﹣B．﹣C．D．
2．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（）
A．②④B．③④C．①②D．①③
3．已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（）
A．y=2B．y=log3（x+1）C．y=4﹣D．y=
4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（）
A ．
B ．
C ．﹣6
D ．6
5． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b 的等比中项，则+的最小值为（
）
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
6． 设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β
D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α7． 设=（1，2），=（1，1），=+k ，若，则实数k 的值等于（
）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
8． 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ）
A ． =1.23x+4
B ． =1.23x ﹣0.08
C ． =1.23x+0.8
D ． =1.23x+0.08
9． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（
）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
10．方程x= 所表示的曲线是（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
11．已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列
{}n a 22(2,log )M a 25(5,log )N a 1y x =-的前项和为（
）
{}n a n A ．
B ．
C ．
D ．22n
-1
2
2n +-21n
-1
2
1
n +-12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A ． 2
B ．4
C ．
D ．
3
4
3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
二、填空题
13．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，若使C 2
2
230x y y +--=()1,2P -C ,A B AB
最小则直线的方程是 ．
14．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等}{n a 20161-=a n n S 28
108
10=-S S 2016S 于
.
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.n 15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则
球表面积是_________.
16．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．17．已知，，则的值为
．
1
sin cos 3αα+=
(0,)απ∈sin cos 7sin 12
ααπ-18．函数y=lgx 的定义域为 ．　
三、解答题
19．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
20．（1）已知f （x ）的定义域为[﹣2，1]，求函数f （3x ﹣1）的定义域；（2）已知f （2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f （x ）的定义域．
21．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y 单位:元关于当天需求量n 单位:件,n ∈N 的函数解析式；Ⅱ商店记录了50天该商品的日需求量单位:件,整理得下表:
日需求量n 89101112频数
9
11
15
10
5
①假设该店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日利润单位:元的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间
内的概率.
[400,550]22．（本小题满分12分）若二次函数满足,
()()2
0f x ax bx c a =++≠()()+12f x f x x -=且.
()01f =（1）求的解析式；
()f x （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．
[]1,1-()2f x x m >+m
23．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点南偏西方向10海里的处有一艘海A 45
B 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东，正以每小时9海里的速度向
75
一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在处相遇，如图，在中，求角的正弦值.
C ABC B
24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知tanA=，c=．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为
，求角C ．
内乡县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，
连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴
影部分的面积为：﹣，
∴此点取自阴影部分的概率是．
故选A．
2．【答案】A
【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
3．【答案】C
【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，
函数y=2，y=log3（x+1），y=的值域均含4，
即y=4不是它们的渐近线，
函数y=4﹣的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），
故y=4为函数图象的渐近线，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．
4．【答案】B
【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
故选B．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
5．【答案】B
【解析】解：∵是5a与5b的等比中项，
∴5a•5b=（）2=5，
即5a+b=5，
则a+b=1，
则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．
6．【答案】D
【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选：D．
7．【答案】A
【解析】解：∵ =（1，2），=（1，1），
∴=+k =（1+k ，2+k ）∵
，∴ =0，
∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．　
8． 【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a ∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D ．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．　
9． 【答案】C
解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．
故选：C ．10．【答案】C 【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2=1（x ≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选C ．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．　
11．【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前项和公式．，，∴
n 22log 1a =25log 4a =,,∴,，数列的前项和为，选C ．
22a =516a =11a =2q ={}n a n 21n -12．【答案】B
二、填空题
13．【答案】30
x y -+=【解析】
试题分析：由圆的方程为，表示圆心在，半径为的圆，点到圆心的距C 22
230x y y +--=(0,1)C ()1,2P -
，小于圆的半径，所以点在圆内，所以当时，最小，此时
()1,2P -AB CP ⊥AB ，由点斜式方程可得，直线的方程为，即.
11,1CP k k =-=21y x -=+30x y -+=考点：直线与圆的位置关系的应用.
14．【答案】2016
-
15．【答案】
649
π【解析】111]
考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.
16．【答案】
【解析】解析：∵f （x ）是偶函数，∴f （－x ）＝f （x ）恒成立，
即（－x ）（e －x ＋a e x ）＝x （e x ＋a e －x ），
∴a （e x ＋e －x ）＝－（e x ＋e －x ），∴a ＝－1.
答案：－1
17．
【解析】, 7sin sin sin cos cos sin 12434343πππππππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
=,
sin cos 7sin 12
ααπ-∴==考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.
18．【答案】　{x|x ＞0}　．
【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．
故答案为：{x|x＞0}．
【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N+），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A，
由正弦定理得，则，
∴，得cosA=，
由余弦定理得，cosA==，
∴=，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A＜π，∴sinA==，
∴△ABC的面积S===．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[﹣2，1]，
由﹣2≤3x﹣1≤1得：x∈[﹣，]，
故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’
（2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，
∴x∈[﹣1，4]，
∴2x+5∈[3，13]，
故函数f（x）的定义域为：[3，13]．
21．【答案】
【解析】：Ⅰ当日需求量时,利润为；
10n ≥5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+当需求量时，利润.
10n <50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-所以利润与日需求量的函数关系式为：y n 30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N
+≥∈⎧=⎨-<∈⎩Ⅱ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.
①
38094401150015530105605477.250
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=② 若利润在区间内的概率为[400,550]111510185025
P ++==22．【答案】（1）；（2）．()2=+1f x x x -1m <-【解析】
试题分析：（1）根据二次函数满足，利用多项式相等，即()()2
0f x ax bx c a =++≠()()+12f x f x x -=可求解的值，得到函数的解析式；（2）由恒成立，转化为，设
,a b []()1,1,x f x m ∈->231m x x <-+，只需，即可而求解实数的取值范围．
()2g 31x x x =-+()min m g x <m 试题解析：（1） 满足()()2
0f x ax bx c a =++≠()01,1f c ==，解得,
()()()()2212,112f x f x x a x b x ax bx x +-=+++--=1,1a b ==-故.()2=+1f x x x -
考点：函数的解析式；函数的恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键.
23．【答案】（1）
小时；（223
【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在处相遇.
C 在中，，，，.ABC ∆4575120BAC ∠=+=
10AB =9AC t =21BC t =由余弦定理得：，2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠A A
所以，2221
(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-化简得，解得或（舍去）.2
369100t t --=23t =512
t =-所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.23
（2）由，.2963AC =⨯=221143
BC =⨯=在中，由正弦定理得
.ABC ∆sin 6sin120sin 14AC BAC B BC
∠=
=== A A 所以角B 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示，再根据正弦定理和余弦定理，即,AC BC 可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=
，则=，即有sinA ﹣sinAcosC=cosAsinC ，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB ，
由正弦定理，a=b ，则=1；…（Ⅱ）因为三角形△ABC 的面积为
，a=b 、c=，所以S=absinC=a 2sinC=，则，①
由余弦定理得，=，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，
又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，
解得C=…．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．。