陕西省西安中学高三上学期第一次月考数学理试题含答案

西安中学高2020届高三第一次月考
理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，则正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，且满足，则=（）
A. B. C. 1 D. e
3.若，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B. C. D.
4.设则等于( )
A. B. C. D.
5.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了
黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。

在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数约为_________。

(素数即质数，，结果四舍五入保留整数)
A. 768
B. 144
C. 767
D. 145
6.下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
7.下列有关命题的说法正确的是（）
A. 命题“若,则”的否命题为：“若,则”
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“,使得”的否定是：“,均有
”
D. 命题“若,则”的逆否命题为真命题
8.函数y=（2x-1）e x的图象是（）
A. B.
C. D.
9.定义在上的奇函数满足，且在上，则=（）
A. B. C. D.
10.已知点满足，，，则的最大值为（）
A. B. C. 0 D. 不存在
11.若f( x), g( x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f( x) -g( x) =e x,则有( )
A. B. g
C. D. g
12.若函数有极值点，且，则关于的方程
的不同实根个数是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.不等式的解集为____________；
14.已知函数在上不单调，则k的取值范围是______；
15.对于函数，部分和的对应关系如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列满足：，且对于任意的，点都在函数的图像上，则___________；
16.狄利克雷是19世纪德国著名的数学家，他定义了一个“奇怪的函
数”，下列关于狄利克雷函数的叙述正确的有：___________。

①的定义域为值域是②具有奇偶性，且是偶函
数③是周期函数，但它没有最小正周期④对任意的，
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于两
点，已知点的横坐标分别为。

（1）求的值；
（2）求的值。

18.设函数.
(1)画出函数的图像；
(2)若不等式的解集非空，求实数得取值范围.
19.设函数，曲线过点P（1，0），且在P点处的切线的斜率为2，
（1）求的值；
（2）证明：.
20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，
点满足，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
21.设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线
与C交于两点．
求椭圆C的方程；
设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
22.已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围；
（2）记两个极值点为，且，当时，求证：不等式
恒成立.
答案和解析
1 2 3 4 5 6
D B C A D C
7 8 9 10 11 12
D A C A D A
13.【答案】
14.【答案】．
15.【答案】7569
16.【答案】①②③④
17.【答案】解：（1）由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝，cosβ＝, 因为α为锐角，故sin α>0，从而sinα＝＝，同理可得sinβ＝; （2）
.
18.【答案】解：（1）由于f（x）=
则函数y=f（x）的图象如图所示：
（2）由题不等式 ,
即有解.
所以 ,
又 ,
（当取等号）
所以 ,
所以 .
得：.
19.【答案】解：(1)f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得
即
解得a＝－1，b＝3.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当0<x<1时，g′(x)>0；
当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)单调递增，
在(1，＋∞)单调递减．
而g(1)＝0，
故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
20.【答案】解:(1)设,则由条件知. 由于M点在上,所以即
从而的参数方程为为参数) 所以曲线的方程为;
(2)曲线的极坐标方程为,
曲线的极坐标方程为.
射线与的交点A的极径为,
射线与的交点B的极径为.
所以.
21.【答案】解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为AFF1的中位线，所以，所以,
因为，所以,
所以，所以椭圆C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）,
联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2-25=0,
所以＞0，,
所以，
=,
因为,
所以,
所以,
整理得：3m2-m-10=0,
解得：m=2或（舍去）,
所以直线l过定点（0，2）．
22.【答案】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，
+∞），
方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；
即方程ln x-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；
（解法一）转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在（0，+∞）
上有两个不同交点，
如右图．
可见，若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，ln x0），
故，又，
故，
解得，x0=e，
故，
故a的取值范围为;
（2）证明：欲证等价于要证：1+λ＜ln x1+λln x2，
由（1）可知x1，x2分别是方程ln x-ax=0的两个根，
即ln x1=ax1，ln x2=ax2
所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，
所以原式等价于要证明．
又由ln x1=ax1，ln x2=ax2作差得，，即．
所以原式等价于，令，t∈（0，1），
则不等式在t∈（0，1）上恒成立．
令，
又=，
当λ≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，
所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，
又h（1）=0，h（t）＜0所以在t∈（0，1）恒成立，所以原不等式成立．。