山东高二高中数学期中考试带答案解析

山东高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设是虚数单位），则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.“=1”是“函数f(x)=在区间
上为增函数”的 （ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
3.已知的单调递增区间是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.为了得到函数的图象，只需把函数
的图象（ ） A ．向左平移个长度单位 B ．向右平移个长度单位 C ．向左平移
个长度单位
D ．向右平移
个长度单位
5.复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )． A ．－1<a<1 B ．a>1 C ．a>0
D ．a<－1或a>1
6.函数f(x)＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a≤0 B ．a ＜1
C ．a ＜0
D ．a≤1
7.下列命题中，真命题是( )
A ．∃x ∈R ，e x
≤0
B ．∀x ∈R,2x ＞x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是
＝－1
D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件
8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：
根据上表可得回归方程＝x ＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元 9.下列说法中正确的有( )
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上．A．①②B．②③C．①③D．①②③
10.已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x）＜3
则不等式＜3x－15的解集为()
A．(﹣∞，4）
B．（﹣∞，﹣4）
C．（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）
D．（4，﹢∞）
11.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()
A．设数列﹛a n﹜的前n项和为s n，由a n=2n﹣1，求出s1 =12， s2=22，s3=32，…推断s n=n2 B．由cosx，满足对x∈R都成立，推断为奇函数。

C．由圆的面积推断：椭圆（a＞b＞0)的面积s=πab
D．由（1+1）2＞21，（2+1）2＞22，（3+1）2＞23，…，推断对一切正整数n，（n+1)2＞2n
二、填空题
1.已知则．
2.函数
若在区间上单调递减，则的取值范围．
3.若函数，且当且时，
猜想的表达式．
4.定义在R上的奇函数满足．
三、解答题
1.求函数的极值
2.证明不等式ｅx＞x+1＞㏑x,x＞0
3.某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，
统计数据如下表所示：
试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级的态度是否有关系？
2
说明理由。

附：K2=
P(K2≥k )0.100.050.0250.0100.0050.001
4.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸才能
使四周空白面积最小？
5.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份20042006200820102012
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．
6.已知：0＜a＜b＜c＜d 且a+d=b+c，求证：＜
山东高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.设是虚数单位），则（）
A．B．C．D．
【答案】
【解析】将代入,.
【考点】复数运算.
2.“=1”是“函数f(x)=在区间
上为增函数”的 （ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】
【解析】函数
,因为函数在
递增,所以
.
可判断是的充分不必要条件. 【考点】条件的判断. 3.已知的单调递增区间是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 【解析】函数
是复合函数,其定义域令
,即
,根据复合函数的单调性:同增异减.该函数是增函数,其外函数是为减函数,其内函数为
也必是减函数,所以取区间
.
【考点】复合函数的单调性判断.
4.为了得到函数的图象，只需把函数
的图象（ ） A ．向左平移个长度单位 B ．向右平移个长度单位 C ．向左平移
个长度单位
D ．向右平移
个长度单位
【答案】
【解析】平移前，平移后
,所以
,
向右平移
个长度单位.
【考点】三角函数平移.
5.复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )． A ．－1<a<1 B ．a>1 C ．a>0
D ．a<－1或a>1
【答案】
【解析】
,
,可得
【考点】复数的模.
6.函数f(x)＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a≤0 B ．a ＜1
C ．a ＜0
D ．a≤1
【答案】 【解析】当
时,
在
上为减函数,成立;
当时, 的导函数为,根据题意可知, 在
上恒成立,所以
且
,
可得. 综上可知.
【考点】导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.
7.下列命题中，真命题是( )
A ．∃x ∈R ，e x
≤0
B．∀x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【答案】
【解析】中,在上恒成立,错误;中,当时,两者相等,错误;中,时, ,错误;所以选择.
【考点】命题真假判断;条件判断.
8.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
【答案】
【解析】根据统计数表可知:,所以,所以,将代入回归方程可得.
【考点】回归方程.
9.下列说法中正确的有()
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】
【解析】
当时,两变量是正相关,随的增大而增大,当时,正相关最强,此时和完全对应,具有函数关系,其散点图上各点均在一条直线上;
当时,两变量是负相关,随的增大而减小,当时,负相关最强,此时和完全对应,具有函数关系,其散点图上各点均在一条直线上.
所以选择①③.
【考点】相关性强弱的判断.
10.已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x）＜3
则不等式＜3x－15的解集为()
A．(﹣∞，4）
B．（﹣∞，﹣4）
C．（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）
D．（4，﹢∞）
【答案】
【解析】设,则所求的不等式解集可理解为使的解集.的导函数为,根据题意可知对任意实数恒成立,所以在上单调递减.则
,令,则根据单调递减可知:.
【考点】导数法判断单调性;根据单调性解不等式.
11.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()
A．设数列﹛a n﹜的前n项和为s n，由a n=2n﹣1，求出s1 =12， s2=22，s3=32，…推断s n=n2
B．由cosx，满足对x∈R都成立，推断为奇函数。

C．由圆的面积推断：椭圆（a＞b＞0)的面积s=πab
D．由（1+1）2＞21，（2+1）2＞22，（3+1）2＞23，…，推断对一切正整数n，（n+1)2＞2n
【答案】
【解析】根据归纳推理的特点: 由部分到整体,由个别到一般.初步判断选项错误;中当时,,显然错误.
【考点】归纳推理的判断.
二、填空题
1.已知则．
【答案】1
【解析】根据可知,代入上式可得上式,根据,将代入可得,所以上式等于1.
【考点】,,切化弦思想.
2.函数
若在区间上单调递减，则的取值范围．
【答案】
【解析】根据题意可知:二次函数开口向上,对称轴为,根据题意可知:区间在对称轴的左侧,所以.
【考点】二次函数的性质.
3.若函数，且当且时，
猜想的表达式．
【答案】
【解析】根据题意可知,
,,所以依次类推,可猜想
【考点】归纳推理.
4.定义在R上的奇函数满足．
【答案】-2
【解析】根据可知函数的周期是3,所以,所以根据函数是奇函
数可知.
【考点】函数的周期性和奇偶性.
三、解答题
1.求函数的极值
【答案】，当时，有极大值且极大值为；
当时，有极小值且极小值为
【解析】
求函数的极值，首先找到定义域使得函数有意义，其次求导函数，令其等于零，分析函数的单调性，从而找到极值点，求出极值.
试题解析：
根据题意可知函数定义域为，
因为，所以，令，可得，
当变化时，有下表
-
↗↗
由上表可知，当时，有极大值且极大值为；
当时，有极小值且极小值为
【考点】导数法求极值.
2.证明不等式ｅx＞x+1＞㏑x,x＞0
【答案】见解析
【解析】要证明该不等式得分两步,首先证明,设出,只需证明即可,所以求导,根据,判断单调性,从而得出的最小值,证明.同理证明.
试题解析:①令，
则，所以在上单调递增。

故对任意，有
而,所以
即
②令，,
则
令，得
当变化时，，的变化情况如下表：
-
↘
即对任意有
所以
综上当时,有
【考点】导数法求最值.比较大小.
3.某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，
统计数据如下表所示：
试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级的态度是否有关系？
2
说明理由。

附：K2=
【答案】99.9％的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系
【解析】
首先根据列联表可知,，从而根据随机变量的公式，可得其值.根据所得的的值,与表中的数据进行比较,从而确定临界值.最后根据:如果,就以的把握认为相关量有关,否则无关.判断结果即可.
试题解析：由题意知：,
所以
可得
因为
所以可以有99.9％的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系。

【考点】独立性检验的基本思想.
4.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸才能
使四周空白面积最小？
【答案】当版心高为16dm，宽为时,海报四周空白面积最小.
【解析】
首先设出高,根据面积可用高将宽表示出来,然后设出空白面积,用高和宽将其表示出来,同时注意高的范围.而后利用导数法判断单调性,可得最值.
试题解析:
设版心的高为，则版心的宽为.
此时四周空白面积为
求导数得：
令，解得(舍去)
于是宽为
当时，；当时，
因此，x＝16是函数的极小值点，也是最小值点。

所以当版心高为，宽为时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为，宽为时，海报四周空白面积最小。

【考点】导数法求最值;实际应用问题.
5.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．
【答案】(1) (2)万吨
【解析】
(1)根据题中的表格,可知年份从,所以可以简化表格,将年份都减去2008,然后可直接求出求出
线性回归方程.
(2)根据（1）直接将2014代入即可.
试题解析：
(1)由所给数据可以看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
对预处理后的数据，容易算得,
,
由上述计算结果，知所求回归直线方程为,即①
(2)利用直线方程①，可预测2014年的粮食需求量为
(万吨)．
考点线性回归方程.
6.已知：0＜a＜b＜c＜d 且a+d=b+c，求证：＜
【答案】见解析
【解析】
直接证明显然不容易入手,所以采用分析法证明,从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,
为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.
根据题意可知, 和都是正数,所以为了证明结论,给不等式两边同时平方,而后根据题意,只需证明,将其平方,可得.由于不等式中含有四个未知数,所以可利用其中三个将另
一个表示出来,不妨消掉,即,带入,化简可得,根据题意,,该不等式显然成立.所以该不等式得证.
试题解析：因为和都是正数，
所以为了证明＜
只需证
只需证
而
即证
即证
又所以
即证：
即证：
即证：
而
所以显然成立所以原不等式成立。

【考点】分析法证明不等式.。