2022年最新精品解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似综合测评试题(含详细解析)

八年级数学下册第九章图形的相似综合测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =6cm ，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则EF 的长为（ ）cm ．
A ．154
B ．5
C ．152
D ．8
2、如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，则下列结论：
①AF ⊥DE ；②AE EG =；③AM =23
MF ；④14AEM ADM S S ∆∆=．其中正确的结论有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
3、如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A ．都相似
B ．都不相似
C ．只有甲中两个三角形相似
D ．只有乙中两个三角形相似
4、如果
13a b a -=，那么a b a +的值等于（ ） A ．5
3 B ．52 C ．43 D ．2
5、若32
b a =，则a b a +的值等于（ ） A ．12 B ．52 C ．5
3 D ．54
6、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（ ）cm ．
A ．4-
B ．4
C ．4
D ．4-7、如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠C 的度数是（ ）
A ．70°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
8、如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转α得到△DEC ，此时点D 落在边AB 上，且DE 垂直平分BC ，则AC DE
的值是（ ）
A ．1
3 B ．12 C ．35 D ．2
9、若△ABC ∽△A ′B 'C '，△ABC 与△A 'B 'C '的面积的比为1：4，则△ABC 与△A 'B 'C ′的相似比为（ ）
A ．1：2
B ．2：1
C ．1：4
D ．4：1
10、如图，树AB 在路灯O 的照射下形成影子AC ，已知路灯高5PO =m ，树影3AC =m ，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5AP =m ，点C 、A 、P 在同一水平线上，则树的高度AB 长是（ ）
A ．3m
B ．2m
C ．23m
D ．103
m 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，四边形ADEF 为菱形，且6AB =，4AC =，那么DE =______．
2、如图，△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，则ADE BEDC
S S ∆四边形=_____．
3、如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的一点，且3BD DC =，连接AD ，E 为AD 的中点，连接BE 并延长交AC 于点F ，若BDE ∆与AEF ∆的面积之和为29cm ，则ABC ∆的面积为 __2cm ．
4、如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P处，正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是 _____米．
5、如图：点G是△ABC的重心，GH∥AC，交边BC于点H，如果GH＝2，那么AC＝_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
(1)请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
(2)请以点P为中心，相似比为2，作出△OAB的同向位似图形△O2A2B2．
DE BC，交AC于点E，连2、如图，在ABC中，D是AB上一点（不与A，B两点重合），过点D作∥
∠=∠．
接CD，且ACD B
(1)求证：2CD DE BC =⋅；
(2)若4DE =，5BC =，求AE AD
的值． 3、（1）如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，ADB DCB ∠=∠，求证：
2BD BA BC =⋅；
（2）如图2，四边形ABCD 为平行四边形，F 在AD 边上，AB AF =，点E 在BA 延长线上，连结EF ，BF ，CF ，若EFB DFC ∠=∠，4BE =，5BF =，求AD 的长；
（3）如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在AD ，AC 上，连结BE ，CE ，EF ，若DE DC =，BEC AEF ∠=∠，12BE =，5EF =，23CE BC =，求AF FC
的值．
4、已知，DEF 是ABC 的位似三角形（点D 、E 、F 分别对应点A 、B 、C ），原点O 为位似中心，DEF 与ABC 的位似比为k ．
(1)若位似比
1
2
k=，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出DEF；
(2)若位似比k n
=，ABC的面积为S，则DEF的面积＝______．
5、如图，已知矩形ABCD中，BE AC
⊥于点E，BE．
(1)若3
AE=，求CE的长；
(2)设点C关于AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
EF是BD的垂直平分线，则OB=OD，进而可以判定△BOF≌△DOE，得OE=OF，在相似三角形△BOF和△BAD中，即可求FO的长，根据FO即可求EF的长．
【详解】
解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
∵∠OBF=∠ODE，∠BOF=∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴FO AD BO AB
=，
∵BD，∴BO=5，
∴FO=5×6
8
=
15
4
，
∴EF=2FO=15
2
（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BD的长是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
先由E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点得到AE=BE=BF、∠DAE=∠ABF=90°、AD=AB，从而得证△DAE≌△ABF，进而利用全等三角形的性质得到∠BAM+∠AEM=90°判定①；假设AE=EG，则AE=BE=EG，则∠EBG=∠EGB，∠EAG=∠EGA，从而推出∠EAG=45°判定②；由BF=AE=BE得到AF
BF
，然后证明△AEM∽△AFB，进而利用相似三角形的性质得到AM=
2
3
MF判定③；先证明
△AEM∽△DAM，然后利用AD=2AE得到
1
4
AEM
ADM
S
S
∆
∆
=判定④．
【详解】
解：∵E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，∴AE=BE=BF，∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAM+∠AEM=90°，
∴∠AME=90°，故①正确，符合题意；
假设AE=EG，则AE=BE=EG，
∴∠EBG=∠EGB，∠EAG=∠EGA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠EBG=∠EGB=45°，
∴∠BEG=∠EAG+∠EGA=90°，
∴∠EAG=45°，
又∵∠EAG≠45°，
∴AE≠EG，故②错误，不符合题意
∵BF =AE =BE ，AB =2AE ，
∴AF ==，
∵∠EAM +∠AEM =90°，∠BAF +∠AFB =90°，
∴∠AEM =∠AFB ，
∵∠AME =∠ABF =90°，
∴△AEM ∽△AFB ， ∴AM AE EM AB AF BF
==
，即2AM AE = ∴AM
AE ，
∴MF =AF -AM
-
AE ， ∴AM =23
MF ，故③正确，符合题意； ∵∠AEM +∠EAM =90°，∠EAM +∠DAM =90°，
∴∠AEM =∠DAM ，
∵∠EMA =∠AMD =90°，
∴△AEM ∽△DAM ， ∴2211()()24
AEM ADM S AE S AD ∆∆===，故④正确，符合题意； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知相关知识．
3、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形判定定理对甲、乙中两个三角形逐一判定即可得答案．【详解】
∵甲中两个三角形的两个内角分别为75°、35°和70°、75°，
∴两个三角形的另一个内角的度数分别为70°和35°，
∴两个三角形的三个内角分别对应相等，
∴甲中两个三角形相似，
∵83 64≠，
∴乙中两个三角形不相似，
∴只有甲中两个三角形相似，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，两角分别对应相等的两个三角形相似；两对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；熟练掌握判定定理是解题关键．
4、A
【解析】
【分析】
根据
1
3
a b
a
-
=可得
2
3
b
a
=，根据
a b
a
+
=1+
b
a
即可得答案．
【详解】
∵
1
3
a b
a
-
=，
∴1-b a =13
， ∴23
b a =， ∴
a b a +=1+b a =53， 故选：A ．
【点睛】
本题考查分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
5、B
【解析】
【分析】 根据32
b a =可设2,3(0)a k b k k ==≠，再代入计算即可得． 【详解】
解：由题意，可设2,3(0)a k b k k ==≠， 则23522
a b k k a k ++==， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
6、B
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得到AP AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长．
解：∵P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），
∴AP AB ， ∵AB 的长度为8cm ，
∴AP ×8=4（cm ）． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项
（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC AB ．
7、C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和即可求得∠C 的度数．
【详解】
解：在ABC 中，70,60A B ∠=︒∠=︒
50C ∴∠=︒
故选C
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8、B
【解析】
根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明DCF DEC ∆∆∽，对应边成比例即可解决问题．
【详解】
解：如图，设DE 与BC 交于点F ，
由旋转可知：CA CD =，AB DE =，BC EC =，B E ∠=∠， DE 垂直平分BC ，
DF BC ∴⊥，DC DB =，1
122CF BF BC EC ===，
DCB B E ∴∠=∠=∠，
90DCB FDC ∠+∠=︒，
90E FDC ∴∠+∠=︒，
90DCE ∴∠=︒，
DCF DEC ∴∆∆∽， ∴12
CD CF DE CE ==， ∴
12AC DE =． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是得到
DCF DEC
∆∆
∽．
9、A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可．
【详解】
解：∵△ABC∽△A′B'C'，△ABC与△A'B'C'的面积的比为1：4，
∴△ABC与△A'B'C′的相似比为1：2，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键．10、B
【解析】
【分析】
结合题意，根据相似三角形的性质，通过证明ACB PCO
△∽△，得AB AC
PO CP
=，根据相似比计算，即可
得到答案．
【详解】
根据题意，得：//
AB OP ∴CAB CPO
∠=∠
∵ACB PCO
∠=∠
∴ACB PCO
△∽△
∴AB AC PO CP
=
∵3AC =m ， 4.5AP =m
∴7.5m CP AC AP =+= ∴352m 7.5
AC PO AB CP ⨯⨯=== 故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
二、填空题
1、2.4##125
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得,AD DE DE AC =∥，进而得出BDE BAC ∽
△△，列出比例式，代入数值进行计算即可．
【详解】
四边形ADEF 是菱形
,AD DE DE AC ∴=∥
BDE BAC ∴∽△△
DE BD AC AB
∴= 4DE AB AD AB
-∴= 646DE DE -∴
= 解得 2.4DE =
故答案为：2.4
【点睛】
本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质得出相似比是解题的关键．
2、13
##1：3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵△ABC ∽△ADE ，且BC =2DE ， ∴214ADE ABC ED S S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴11413ADE
BEDC
S S ==-△四边形， 故答案为：13．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 3、21 【解析】
【分析】
作//DK BF 交AC 于K ．首先得到34AF CF =，推出ΔΔ37ABF ABC S S =，再利用三角形的中线，可得S △BDE ＋S △AEF ＝S △ABE ＋S △AEF ＝S △ABF ，即可解决问题．
【详解】
解：作//DK BF 交AC 于K ．
//DK BF ，3BD DC =，E 为AD 的中点， ∴13CK CD KF BD ==，1AF AE KF DE
==，ΔΔABE BDE S S =， ∴
34AF CF =， ∴ΔΔ34
ABF BCF S S =， ΔΔ37
ABF ABC S S ∴=， 2ΔΔ9BDE AEF S S cm +=，
2ΔΔ9ABE AEF S S cm ∴+=，
即2Δ9ABF S cm =， ∴2Δ397
ABC S cm =， 解得：2Δ21ABC S cm =．
故答案为：21．
【点睛】
本题考查三角形的面积、平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
4、36
【解析】
根据题意，利用相似三角形的判定定理可得~ABP DCP ，再由其性质：相似三角形高的比等于相似比进行求解即可得．
【详解】
解：如图，
∵北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，
∴16AB m =，80DC m =，
∵AB CD ∥，
∴~ABP DCP ，
AB PE DC PF
=， ∵16AB m =，P 到AB 的距离即9PE m =， ∴169809=+EF
， 解得：36=EF m ，
∴河宽为36米，
故答案为：36．
【点睛】
题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 5、6
【分析】
根据重心可得边长之间的比例关系，进而证明三角形相似，由相似比可得CE的长度，进而可算出AC 的长度．
【详解】
解：∵点G是△ABC的重心，
∴BG＝2GE，
∴BG：BE＝2：3，
∵GH∥CE，
∴△BHG∽△BCE，
∴
2
3 GH BG
CE BE
==，
∴CE＝3
2
GH＝
3
2
×2＝3，
∵点G是△ABC的重心，
∴BE为AC边上的中线，
∴AC＝2CE＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查相似三角形的证明，重心的性质，熟练掌握相似三角形的证明是解决本题的关键．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1在CD的右侧，对应点到CD的距离相等，所此描点、连线即可得；
（2）根据位似图形的性质求作即可．
(1)
如图所示. △O1A1B1即为所求
(2)
如图所示，△O2A2B2即为所求．
【点睛】
本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．
2、 (1)见解析
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠EDC=∠DCB，证明△DEC∽△CDB，由相似三角形的性质得出DE CD CD BC
，
则可得出答案；
（2）由相似三角形的性质可求出DC 的长，由平行线分线段成比例定理可得出答案．
(1)
证明：∵DE //BC ，
∴∠EDC =∠DCB ，
又∵∠ACD =∠B ，
∴△DEC ∽△CDB ， ∴DE CD CD BC
=， ∴CD 2=DE •BC ；
(2)
解：∵CD 2=DE •BC ，DE =4，BC =5，
∴CD 2=20，
∴CD ，
∵△DEC ∽△CDB ， ∴DE EC CD DB
=，
∴
CE DB ∵DE //BC ，
∴AE CE AD BD == 【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角
形的判定与性质是解题的关键．
3、（1）见解析；（2）
254
；（3）53； 【解析】
【分析】 （1）由BD 平分ABC ∠可推出ABD CBD ∠=∠，进而可知ADB DCB △∽
△，由相似三角形对应边之比相等可知2BD BA BC =⋅；
（2）由平行四边形的性质可证EFB FCB △∽△，由相似三角形对应边之比相等可知2BF BE BC =⋅，进而可计算出BC 的长度；
（3）过点C 作AD 的平行线交EF 延长线于点G ，通过证明对应角相等可知BCE ECG △∽△，进而可证23EG CE BE BC ==，从而可计算出8EG =，通过平行和相似三角形可知53
AF EF FC FG ==． 【详解】
（1）∵BD 平分ABC ∠，
∴ABD CBD ∠=∠，
∵ADB DCB ∠=∠，
∴ADB DCB △∽
△， ∴AB BD BD BC
=， ∴2BD BA BC =⋅．
（2）在ABCD 中，AD BC ∥，
∴AFB FBC ∠=∠，
∵AB AF =，
∴AFB ABF ∠=∠，
∴FBC ABF ∠=∠ ，
∵DFC FCB EFB ∠=∠=∠，
∴EFB FCB △∽△，
∴2BF BE BC =⋅， ∴254
BC AD ==．
（3）过点C 作AD 的平行线交EF 延长线于点G ，
∴AEF CGE CEB ∠=∠=∠，DEC ECG ∠=∠，
∵DE DC =，
∴DEC DCE ∠=∠，
∴ECG BCE ∠=∠，
∴BCE ECG △∽△ ， ∴23
EG CE BE BC ==， ∵12BE =，
∴8EG =，
∵AE CG ∥， ∴53
AF EF FC FG ==．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，以及平行线的性质，能够在复杂的条件中找到适合的条件证明相似，是解决本题的关键．
4、 (1)见解析
(2)2n S
【解析】
【分析】
（1）根据平面直角坐标系可得()()()6,6,82,4,0A B C ---，，横纵坐标都乘以12
-，得()()()3,3,4,1,2,0D E F --，顺次连接,,D E F 即可得到DEF ；
（2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
(1)
如图所示，
(2)
k n =，ABC 的面积为S ，
2
1=ABC DEF S S n ∴ 21DEF S S n ∴=
△ 则DEF 的面积2n S
故答案为：2n S
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键．
5、 (1)6CE =
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质以及等角的余角相等可得ABE BCE ∠=∠，进而可得ABE BCE
△∽△，列出比例式代入数值，即可求得CE ；
（2）根据题意点C 关于AD 的对称点为F ，由（1）可得2CE AE =，根据对称可得C ，D ，F 三点共
线，进而根据矩形的性质可得//AB CD ，AB CD =，证明ABE CFE ∽
△△，得到90CEF AEB ∠=∠=︒，即可证明180CEF BEC ∠+∠=︒，即B ，E ，F 三点共线.
(1)
∵四边形ABCD 是矩形，
90ABC ∴∠=︒.
90ABE CBE ∴∠+∠=︒
BE AC ⊥，
90AEB BEC ∴∠=∠=︒.
90BCE CBE ∴∠+∠=︒，
ABE BCE ∴∠=∠，
ABE BCE ∴△∽△，
AE BE BE CE
∴=.
3AE =，BE =，
BE ∴=
=. 6CE ∴=.
(2)
由（1）得AE BE BE CE
=. 2BE =， 2CE =.
2CE AE ∴=.
∵点C 与点F 关于AD 对称， 90FDA CDA ∴∠=∠=︒，CD FD =. 180FDA CDA ∠+∠=︒， ∴C ，D ，F 三点共线． 2CF CD ∴=．
∵四边形ABCD 是矩形， //AB CD ∴，AB CD =. BAE FCE ∴∠=∠，2CF AB =. BAE FCE ∠=∠，
2CE CF AE AB
==. ABE CFE ∴△∽△ 90CEF AEB ∴∠=∠=︒. 90BEC =︒∠，
180CEF BEC ∴∠+∠=︒ ∴B ，E ，F 三点共线.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．。