4 洛仑兹变换
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1 v c2
v c2
(x2 x1)
3 2103 m 5.77 106 s 2c
例4、一长为1m 的棒，相对于S ´系静止并与 x 轴夹 ´= 45º。问：在S 系的观察者来看，此棒的长度以
及它与 x 轴的夹角为多少？（已知 v 3c 2 ）
解：
lx lcos
1 v2 c2 1 0.99662
L vt 3108 26.9106 8103 m
例2： 有一静止的电子枪向相反方向发射甲、乙两个 电子。实验室测得甲电子的速率为 0.6c , 乙电子速率 为 0.7c ，求一个电子相对于另一个电子的速率。
解：
S系
设实验室为S 系， S系
S 系中两个事件： A ( x1 , 0 , 0 , t1 ) B ( x2 ,0 , 0 , t2 )
S系： A ( x1 , 0 , 0 , t1 ) B ( x2 ,0 , 0 , t2 )
t2
t1
t2
t1
1
v c2 v2
x2
/ c2
x1
不同地点但同时的两个事件在另一系中不同时。 同一地点、同时的两个事件在另一系中也同时。 同地点但不同时的两个事件在另一系中不同时。
x2 x1
1 v c2
2.0103 1.0103
1 v c2
v 3c 2
t1
t1
v c2
x1
1 v c2
t2
t2
v c2
x2
1 v c2
t2
t1
(t2
t1) 1
v c2
v
( x2
c2
x1 )
t2
t1
v c2
(x2 x1)
注意
例1、静系中 子的平均寿命为 = 2.210-6 s 。当它
的速度为 v = 0.9966c 时, 通过的平均距离可达 8 km。 试解释这一现象。
解： 经典计算
L v 3108 2.2106 660 (m)
相对论计算
t
2.2106 26.9106 (s)
甲乙
甲电子为 S系
o
x
在 S 系中，乙电子的速率为 ux 0.7c
S系相对于S 系运动 v 0.6c
ux
1
ux u
xv
v c
2
1
0.7c (0.6c) 0.7c(0.6c) c
2
1.3c 1.42
0.92c
c
例3、在惯性系 S 中，有两事件同时发生在 x 轴上相距
1.0103 m 处，从 S´观察到这两事件相距 2.0103 m 。
试问在 S 系测得此两事件的时间间隔为多少？
解： x1
x1 vt1
1 v c2
x2
x2 vt2
1 v c2
t2 t1
x2
x1
( x2
x1 ) 1
v(t2
v c2
t1 )
x x vt 1 v2 / c2
y y
z z
t
t
vx c2
1 v2 / c2
* 当速度远远小于c 时，过渡到伽利略变换。 * 两参考系的相对速度不可能等于或大于光速。 * 时间坐标与空间坐标相关连。 * 物理定律应在洛伦兹变换下保持不变。
洛伦兹变换反映了相对论的时空观
s s
ly ly lsin
lx lx 1 v2 c2 lcos 1 v2 c2
l
l
2 x
l
2 y
l
1 v2
c2
cos2 0.79(m)
tg ly
lsin
2
lx lcos 1 v2 c2
二、速度变换
x x vt 1 v2 / c2
y y ......
ux
ux v 1 v2 / c2
uy u y
......
ux
ux 1
v
uxv c2
uy
uy
1 v2 / c2
1
uxv c2
uz
uz
1 v2 / c2
1
uxv c2
将带撇的量和不带 撇的量互换，同时 把 v 换成 –v 可得 逆变换。
x2 x1
t2 t1 0
t 0
1 v2 / c2
x2
x1
x2
x1 vt2
1v2 / c2
t1
在 S 系中测量 S 系中的棒长，应： t2 t1
x2 x1 x2 x1 1 v2 / c2
l l0 1 v2 / c2
6327'
4. 洛仑兹变换
一、时空坐标变换
y y
s s
v
o o z z
P x x
t t 0 ,
坐标原点重合。
P(x, y,z,) P ( x , y , z , t )
x x vt 1 v2 / c2
y y
z z
t
t
vx c2
1 v2 / c2
v c2
(x2 x1)
3 2103 m 5.77 106 s 2c
例4、一长为1m 的棒，相对于S ´系静止并与 x 轴夹 ´= 45º。问：在S 系的观察者来看，此棒的长度以
及它与 x 轴的夹角为多少？（已知 v 3c 2 ）
解：
lx lcos
1 v2 c2 1 0.99662
L vt 3108 26.9106 8103 m
例2： 有一静止的电子枪向相反方向发射甲、乙两个 电子。实验室测得甲电子的速率为 0.6c , 乙电子速率 为 0.7c ，求一个电子相对于另一个电子的速率。
解：
S系
设实验室为S 系， S系
S 系中两个事件： A ( x1 , 0 , 0 , t1 ) B ( x2 ,0 , 0 , t2 )
S系： A ( x1 , 0 , 0 , t1 ) B ( x2 ,0 , 0 , t2 )
t2
t1
t2
t1
1
v c2 v2
x2
/ c2
x1
不同地点但同时的两个事件在另一系中不同时。 同一地点、同时的两个事件在另一系中也同时。 同地点但不同时的两个事件在另一系中不同时。
x2 x1
1 v c2
2.0103 1.0103
1 v c2
v 3c 2
t1
t1
v c2
x1
1 v c2
t2
t2
v c2
x2
1 v c2
t2
t1
(t2
t1) 1
v c2
v
( x2
c2
x1 )
t2
t1
v c2
(x2 x1)
注意
例1、静系中 子的平均寿命为 = 2.210-6 s 。当它
的速度为 v = 0.9966c 时, 通过的平均距离可达 8 km。 试解释这一现象。
解： 经典计算
L v 3108 2.2106 660 (m)
相对论计算
t
2.2106 26.9106 (s)
甲乙
甲电子为 S系
o
x
在 S 系中，乙电子的速率为 ux 0.7c
S系相对于S 系运动 v 0.6c
ux
1
ux u
xv
v c
2
1
0.7c (0.6c) 0.7c(0.6c) c
2
1.3c 1.42
0.92c
c
例3、在惯性系 S 中，有两事件同时发生在 x 轴上相距
1.0103 m 处，从 S´观察到这两事件相距 2.0103 m 。
试问在 S 系测得此两事件的时间间隔为多少？
解： x1
x1 vt1
1 v c2
x2
x2 vt2
1 v c2
t2 t1
x2
x1
( x2
x1 ) 1
v(t2
v c2
t1 )
x x vt 1 v2 / c2
y y
z z
t
t
vx c2
1 v2 / c2
* 当速度远远小于c 时，过渡到伽利略变换。 * 两参考系的相对速度不可能等于或大于光速。 * 时间坐标与空间坐标相关连。 * 物理定律应在洛伦兹变换下保持不变。
洛伦兹变换反映了相对论的时空观
s s
ly ly lsin
lx lx 1 v2 c2 lcos 1 v2 c2
l
l
2 x
l
2 y
l
1 v2
c2
cos2 0.79(m)
tg ly
lsin
2
lx lcos 1 v2 c2
二、速度变换
x x vt 1 v2 / c2
y y ......
ux
ux v 1 v2 / c2
uy u y
......
ux
ux 1
v
uxv c2
uy
uy
1 v2 / c2
1
uxv c2
uz
uz
1 v2 / c2
1
uxv c2
将带撇的量和不带 撇的量互换，同时 把 v 换成 –v 可得 逆变换。
x2 x1
t2 t1 0
t 0
1 v2 / c2
x2
x1
x2
x1 vt2
1v2 / c2
t1
在 S 系中测量 S 系中的棒长，应： t2 t1
x2 x1 x2 x1 1 v2 / c2
l l0 1 v2 / c2
6327'
4. 洛仑兹变换
一、时空坐标变换
y y
s s
v
o o z z
P x x
t t 0 ,
坐标原点重合。
P(x, y,z,) P ( x , y , z , t )
x x vt 1 v2 / c2
y y
z z
t
t
vx c2
1 v2 / c2