2021_2022学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3第2课时充要
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0＜x＜1 [由题意，可得 x＞0，且 1－x＞0，∴0＜x＜1．]
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5．若“x＞a”是“x＞6”的必要条件，则实数 a 的取值范围是 ________．
(－∞，6] [由“x＞a”是“x＞6”的必要条件，知 a≤6，故实 数 a 的取值范围为(－∞，6]．]
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回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何从命题角度判断 p 是 q 的充分必要条件？
2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件？ [提示] 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B， 则 p 是 q 的充分不必要条件 若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A， 则 p 是 q 的必要不充分条件
若 A＝B，则 p，q 互为充要条件
若 A B 且 B A，则 p 既不是 q 的充分 条件，也不是 q 的必要条件 其中 p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
0≤a≤2 [A∩B＝∅⇔aa＋ －22≤ ≥－4， ⇔0≤a≤2.]
合作探究·释疑难
类型1 类型2
类型 1 充要条件的判断 【例 1】 (对接教材 P34 例 3)下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) (1)p：x>0，y>0，q：xy>0； (2)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (3)p：x>5，q：x>10； (4)p：a>b，q：a2>b2.
【例 2】 已知命题 p：－2≤x≤10，命题 q：1－m≤x≤1＋m(m ＞0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为________．
[思路点拨]
p是q的充分 不必要条件
→
p代表的集合 是q代表的集 合的真子集
→
列不等式组求解
[9，＋∞) [因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 p⇒q 且 q p， 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
谢谢观看！
谢谢观看 THANK YOU!
②证明 q⇒p，即证明充分性． 由 a＋b＋c＝0，得 c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0，即 a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1 是方程的一个根． 故方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1 的充要条件是 a＋b＋c＝0.
(1)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的 命题，这种说法对吗？
(2)“p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪 里？
[提示] (1)正确．若 p 是 q 的充要条件，则 p⇔q，即 p 等价于 q.
(2)①p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论． ②p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
C [对于结论①，∵x＞2⇒x＞1，但 x>1 x＞2，故①正确； 对于结论④，由 a2＋b2≠0⇒a，b 不全为 0，反之，由 a，b 不全为 0⇒a2＋b2≠0，故④正确．]
类型 2 充分条件、必要条件、充要条件的应用
1．记集合 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若 p 是 q 的充分不必要条 件，则集合 A，B 的关系是什么？若 p 是 q 的必要不充分条件呢？
[提示] (1)原理： 判断 p 是 q 的充分必要条件，主要是判断 p⇒q 及 q⇒p 这两个命 题是否成立．
(2)方法： ①若 p⇒q 成立，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件； ②若 q⇒p 成立，则 p 是 q 的必要条件，同时 q 是 p 的充分条件； ③若二者都成立，则 p 与 q 互为充要条件．
[跟进训练]
1．在下列四个结论中，正确的有( )
①设 x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；
②在△ABC 中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC 为直角三角形”的
充要条件；
③“a2>b2”是“a>b 的充分不必要条件”；
④若 a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b 不全为 0”的充要条件．
类型 3 有关充要条件的证明或求解 【例 3】 求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1 的 充要条件是 a＋b＋c＝0. [证明] 假设 p：方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1， q：a＋b＋c＝0. ①证明 p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0.
充要条件判断 2 种方法 (1)要判断一个条件 p 是否是 q 的充要条件，需要从充分性和必 要性两个方向进行，即判断两个命题“若 p，则 q”为真且“若 q， 则 p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断 p 与 q 的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪 些条件推证到哪些结论． 提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．
m>0，
所以1－m<－2， 1＋m≥10
1－m≤－2，
或m>0， 1＋m>10，
解得 m≥9.
所以实数 m 的取值范围为[9，＋∞)．]
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简 p，q 两命题． (2)根据 p 与 q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关 系． (3)利用集合间的关系建立不等式(组)． (4)求解参数范围．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件
第2课时 充要条件
学习任务
核心素养
1．理解充要条件的概念．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻
2．能够判定条件的充分、必要、 辑推理素养．
充要性．(重点、易混点) 2．通过充分、必要、充要性的应
3．会进行简单的充要条件的证 用，培养数学运算素养.
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
知识点 充要条件 1．充要条件的概念 一般地，如果既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，就记作 p⇔q.此时，我 们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件．
2．充要条件的判断 概括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件． (1)如果 p⇒q 且 q p，则称 p 是 q 的充分不必要条件． (2)如果 p q 且 q⇒p，则称 p 是 q 的必要不充分条件． (3)如果 p q 且 q p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
[提示] 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B；若 p 是 q 的必要 不充分条件，则 B A．
2．记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若 M⊆N，则 p 是 q 的什 么条件？若 N⊆M，M＝N 呢？
[提示] 若 M⊆N，则 p 是 q 的充分条件；若 N⊆M，则 p 是 q 的必要条件；若 M＝N，则 p 是 q 的充要条件．
[跟进训练] 2 ． 已 知 P ＝ {x|a － 4<x<a ＋ 4} ， Q ＝ {x|1<x<3} ， “x∈P” 是 “x∈Q”的必要条件，求实数 a 的取值范围． [解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以 Q⊆P. 所以aa－ ＋44≤ ≥13， ， 解得－1≤a≤5， 即 a 的取值范围是[－1,5]．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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B [根据题意得，A B，B⇒A，B⇔C，D⇒C，C D， 所以 D⇒C⇔B⇒A，即 D⇒A， 可从集合的角度考虑得出 A D，所以 A 是 D 的必要不充分条 件．]
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4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是 ________．
[解] 命题(1)中，p⇒q，但 q p，故 p 是 q 的充分不必要条件； 命题(2)中，p⇒q，且 q⇒p，即 p⇔q，故 p 是 q 的充要条件； 命题(3)中，p q，但 q⇒p，故 p 是 q 的必要不充分条件； 命题(4)中，p q，且 q p，故 p 既不是 q 的充分条件也不是必 要条件．
明．(重点、难点)
情境导学·探新知
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、 李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听 了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声 不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四 听了大怒，拂袖而去．
将本例的条件“有一个根为 1”改为“有一个正根和一个负 根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac＜0”，如何证明？
[证明] 因为 ac＜0，所以 Δ＝b2－4ac＞0，方程 ax2＋bx＋c＝0 中有两个不等实根，由根与系数关
系可知这两个根的积为ac＜0， 所以方程 ax2＋bx＋c＝0(※)有一个正根和一个负根， 所以 ac＜0⇒方程(※)有一个正根和一个负根．
当堂达标·夯基础
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [当 x＝1 时，x2－2x＋1＝0.由 x2－2x＋1＝0, 解得 x＝1，所 以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要条件. ]
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2．设实数 a，b 满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是 “a＋b＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
充要条件的传递性 若 p 是 q 的充要条件，q 是 s 的充要条件，即 p⇔q，q⇔s，则有 p⇔s，即 p 是 s 的充要条件．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若 p 是 r 的充要条件，r 是 s 的充要条件，则 s 是 p 的充要条 件．
(2)设 x∈R，则 x＞1 是 x3＞1 的充要条件． (3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0 成立的充要条件是 x≥3.
() () ()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.设 x∈R，则 x>2 的一个必要不充分条件是( )
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
A [∵x>2⇒x>1，但 x>1 x>2，∴选 A．]
3.已知集合 A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2 或 x≥4}，则 A∩B＝∅的充要条件是________．
因为方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个正根和一个负根， 由根与系数关系可知这两个根的积为ac＜0， 所以 ac＜0.所以方程(※)有一个正根和一个负根⇒ac＜0，从而 ac＜0⇔方程(※)有一个正根和一个负根，因此 ac＜0 是方程(※)有一 个正根和一个负根的充要条件．
充要条件的证明要分充分性、必要性两个方面分别证明，注意证 明方向不要反了易错点.
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C [由 a－b＞0，得 a＞b.又|a|＞|b|，得 a＋b＞0；由 a＋b＞0， 得 a＞－b.又|a|＞|b|，得 a－b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充 要条件．]
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3．如果 A 是 B 的必要不充分条件，B 是 C 的充要条件，D 是 C 的充分不必要条件，那么 A 是 D 的( )
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5．若“x＞a”是“x＞6”的必要条件，则实数 a 的取值范围是 ________．
(－∞，6] [由“x＞a”是“x＞6”的必要条件，知 a≤6，故实 数 a 的取值范围为(－∞，6]．]
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回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何从命题角度判断 p 是 q 的充分必要条件？
2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件？ [提示] 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B， 则 p 是 q 的充分不必要条件 若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A， 则 p 是 q 的必要不充分条件
若 A＝B，则 p，q 互为充要条件
若 A B 且 B A，则 p 既不是 q 的充分 条件，也不是 q 的必要条件 其中 p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
0≤a≤2 [A∩B＝∅⇔aa＋ －22≤ ≥－4， ⇔0≤a≤2.]
合作探究·释疑难
类型1 类型2
类型 1 充要条件的判断 【例 1】 (对接教材 P34 例 3)下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) (1)p：x>0，y>0，q：xy>0； (2)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (3)p：x>5，q：x>10； (4)p：a>b，q：a2>b2.
【例 2】 已知命题 p：－2≤x≤10，命题 q：1－m≤x≤1＋m(m ＞0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为________．
[思路点拨]
p是q的充分 不必要条件
→
p代表的集合 是q代表的集 合的真子集
→
列不等式组求解
[9，＋∞) [因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 p⇒q 且 q p， 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
谢谢观看！
谢谢观看 THANK YOU!
②证明 q⇒p，即证明充分性． 由 a＋b＋c＝0，得 c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0，即 a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1 是方程的一个根． 故方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1 的充要条件是 a＋b＋c＝0.
(1)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的 命题，这种说法对吗？
(2)“p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪 里？
[提示] (1)正确．若 p 是 q 的充要条件，则 p⇔q，即 p 等价于 q.
(2)①p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论． ②p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
C [对于结论①，∵x＞2⇒x＞1，但 x>1 x＞2，故①正确； 对于结论④，由 a2＋b2≠0⇒a，b 不全为 0，反之，由 a，b 不全为 0⇒a2＋b2≠0，故④正确．]
类型 2 充分条件、必要条件、充要条件的应用
1．记集合 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若 p 是 q 的充分不必要条 件，则集合 A，B 的关系是什么？若 p 是 q 的必要不充分条件呢？
[提示] (1)原理： 判断 p 是 q 的充分必要条件，主要是判断 p⇒q 及 q⇒p 这两个命 题是否成立．
(2)方法： ①若 p⇒q 成立，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件； ②若 q⇒p 成立，则 p 是 q 的必要条件，同时 q 是 p 的充分条件； ③若二者都成立，则 p 与 q 互为充要条件．
[跟进训练]
1．在下列四个结论中，正确的有( )
①设 x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；
②在△ABC 中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC 为直角三角形”的
充要条件；
③“a2>b2”是“a>b 的充分不必要条件”；
④若 a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b 不全为 0”的充要条件．
类型 3 有关充要条件的证明或求解 【例 3】 求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1 的 充要条件是 a＋b＋c＝0. [证明] 假设 p：方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1， q：a＋b＋c＝0. ①证明 p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0.
充要条件判断 2 种方法 (1)要判断一个条件 p 是否是 q 的充要条件，需要从充分性和必 要性两个方向进行，即判断两个命题“若 p，则 q”为真且“若 q， 则 p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断 p 与 q 的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪 些条件推证到哪些结论． 提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．
m>0，
所以1－m<－2， 1＋m≥10
1－m≤－2，
或m>0， 1＋m>10，
解得 m≥9.
所以实数 m 的取值范围为[9，＋∞)．]
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简 p，q 两命题． (2)根据 p 与 q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关 系． (3)利用集合间的关系建立不等式(组)． (4)求解参数范围．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件
第2课时 充要条件
学习任务
核心素养
1．理解充要条件的概念．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻
2．能够判定条件的充分、必要、 辑推理素养．
充要性．(重点、易混点) 2．通过充分、必要、充要性的应
3．会进行简单的充要条件的证 用，培养数学运算素养.
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
知识点 充要条件 1．充要条件的概念 一般地，如果既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，就记作 p⇔q.此时，我 们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件．
2．充要条件的判断 概括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件． (1)如果 p⇒q 且 q p，则称 p 是 q 的充分不必要条件． (2)如果 p q 且 q⇒p，则称 p 是 q 的必要不充分条件． (3)如果 p q 且 q p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
[提示] 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B；若 p 是 q 的必要 不充分条件，则 B A．
2．记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若 M⊆N，则 p 是 q 的什 么条件？若 N⊆M，M＝N 呢？
[提示] 若 M⊆N，则 p 是 q 的充分条件；若 N⊆M，则 p 是 q 的必要条件；若 M＝N，则 p 是 q 的充要条件．
[跟进训练] 2 ． 已 知 P ＝ {x|a － 4<x<a ＋ 4} ， Q ＝ {x|1<x<3} ， “x∈P” 是 “x∈Q”的必要条件，求实数 a 的取值范围． [解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以 Q⊆P. 所以aa－ ＋44≤ ≥13， ， 解得－1≤a≤5， 即 a 的取值范围是[－1,5]．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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B [根据题意得，A B，B⇒A，B⇔C，D⇒C，C D， 所以 D⇒C⇔B⇒A，即 D⇒A， 可从集合的角度考虑得出 A D，所以 A 是 D 的必要不充分条 件．]
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4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是 ________．
[解] 命题(1)中，p⇒q，但 q p，故 p 是 q 的充分不必要条件； 命题(2)中，p⇒q，且 q⇒p，即 p⇔q，故 p 是 q 的充要条件； 命题(3)中，p q，但 q⇒p，故 p 是 q 的必要不充分条件； 命题(4)中，p q，且 q p，故 p 既不是 q 的充分条件也不是必 要条件．
明．(重点、难点)
情境导学·探新知
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、 李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听 了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声 不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四 听了大怒，拂袖而去．
将本例的条件“有一个根为 1”改为“有一个正根和一个负 根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac＜0”，如何证明？
[证明] 因为 ac＜0，所以 Δ＝b2－4ac＞0，方程 ax2＋bx＋c＝0 中有两个不等实根，由根与系数关
系可知这两个根的积为ac＜0， 所以方程 ax2＋bx＋c＝0(※)有一个正根和一个负根， 所以 ac＜0⇒方程(※)有一个正根和一个负根．
当堂达标·夯基础
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [当 x＝1 时，x2－2x＋1＝0.由 x2－2x＋1＝0, 解得 x＝1，所 以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要条件. ]
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2．设实数 a，b 满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是 “a＋b＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
充要条件的传递性 若 p 是 q 的充要条件，q 是 s 的充要条件，即 p⇔q，q⇔s，则有 p⇔s，即 p 是 s 的充要条件．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若 p 是 r 的充要条件，r 是 s 的充要条件，则 s 是 p 的充要条 件．
(2)设 x∈R，则 x＞1 是 x3＞1 的充要条件． (3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0 成立的充要条件是 x≥3.
() () ()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.设 x∈R，则 x>2 的一个必要不充分条件是( )
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
A [∵x>2⇒x>1，但 x>1 x>2，∴选 A．]
3.已知集合 A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2 或 x≥4}，则 A∩B＝∅的充要条件是________．
因为方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个正根和一个负根， 由根与系数关系可知这两个根的积为ac＜0， 所以 ac＜0.所以方程(※)有一个正根和一个负根⇒ac＜0，从而 ac＜0⇔方程(※)有一个正根和一个负根，因此 ac＜0 是方程(※)有一 个正根和一个负根的充要条件．
充要条件的证明要分充分性、必要性两个方面分别证明，注意证 明方向不要反了易错点.
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C [由 a－b＞0，得 a＞b.又|a|＞|b|，得 a＋b＞0；由 a＋b＞0， 得 a＞－b.又|a|＞|b|，得 a－b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充 要条件．]
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3．如果 A 是 B 的必要不充分条件，B 是 C 的充要条件，D 是 C 的充分不必要条件，那么 A 是 D 的( )