成都市盐道街外语学校八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2
370a b -+-=，此三角形的周长是（ ） A ．13
B ．13或17
C ．17
D ．20
2．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点
B ，4AB =，10CD =，则B
C 的长度为（ ）
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
3．下列命题中，假命题是（ ）
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C ．相等的两个角是对顶角
D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形
4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则
CDE ∠的度数是（ ）
A ．84︒
B ．82︒
C ．81︒
D ．78︒
5．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 6．平面直角坐标系中，点A (3，2)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（ ） A ．(3，－2)
B ．(－3，－2)
C ．(－3，2)
D ．(－2，3)
7．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于
1
2
AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．75°
D ．45°
8．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）
A ．①②⑤
B ．②④⑤
C ．①②④
D ．①②③
10．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．6.5cm
C ．7cm
D ．8cm
11．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交
AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则
EBQ ∠=（ ）
A ．65︒
B ．60︒
C ．56︒
D ．50︒ 12．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．65°或80°
D ．50°或80°
二、填空题
13．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，
::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．
14．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________． 15．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若
130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．
16．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接
AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．
17．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、
C 重合），连接A
D ，作40AD
E ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________
18．如图，在ABC 中，AB=AC ，40A ∠=，CD //AB ，则BCD ∠的度数是______°．
19．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．
20．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边
OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．
三、解答题
21．如图，以△ABC的两边AB和AC为腰在△ABC外部作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．
（1）连接BE、CD交于点F，如图①，求证：BE＝CD，BE⊥CD；
（2）连接DE，AM⊥BC于点M，直线AM交DE于点N，如图②，求证：DN＝EN．
22．如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF 交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．
23．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：ABC
求作：ABC 的边BC 上的高AD
作法：（1）分别以点B 和C 为圆心，BA ，CA 为半径作弧，两弧相交于点E ； （2）作直线AE 交BC 边于点D ． 所以线段AD 就是所求作的高．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BE ，CE ．
BA =______
∴点B 在线段AE 的垂直平分线上（ ）（填推理依据） 同理可证，点C 也在线段AE 的垂直平分线上
BC ∴垂直平分AE （ ）（填推理依据）
AD ∴是ABC 的高．
24．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明
BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决． 按照上面的思路，请回答： （1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______； （2）AD 的取值范围是______； 方法运用：
（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点
E ，使AE E
F =，求证：BF AC =．
25．如图，（1）在网格中画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；
（2）写出ABC ∆关于x 轴对称的222A B C ∆的各顶点坐标；
（3）在y 轴上确定一点P ，使PAB ∆周长最短．只需作图，保留作图痕迹． 26．如图：已知ABC 中AB AC =：
（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据绝对值非负性的性质以及平方的非负性可知a 和b 的值，然后根据等腰三角形的性质分情况计算即可； 【详解】
∵ ()2
370a b -+-=，
∴ a=3，b=7，
若腰为3时，3+3＜7，三角形不成立； 若腰为7时，则周长为7+7+3=17， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了非负性的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；．
2．B
解析：B 【分析】
通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得
=BC MB MC -，即可得到答案． 【详解】
解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒
∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒ ∴AMB ∠=MDC ∠ ∵AM DM =
∴AMB MDC △≌△
∴
AB MC =,MB CD = ∵4AB =，10CD =
∴4MC =,10MB = ∴=1046BC MB MC -=-= 故选B ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3．C
解析：C 【分析】
利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A 、B ，根据对顶角的定义判断C ，根据等边三角形的判定判断D ． 【详解】
解：A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；
B ．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL 可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；
C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D 、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题； 故选C ． 【点睛】
本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．
4．A
解析：A
【分析】
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知
∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，
∴∠ODC=24°，
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，
∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC，在Rt△ABC中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB，再用线段的差求AD．【详解】
解：Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD是斜边AB上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【详解】
解：点A （3，2）关于y 轴对称点的坐标为B （−3，2）． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．A
解析：A 【分析】
根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解． 【详解】
又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线， ∴DA=DB ， ∴∠A=∠ABD ， 设∠A=x ，则∠ABD=x ， ∵15DBC ∠=︒， ∴∠ABC=x+15°， ∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC=x+15°， ∴2(x+15°)+x=180°， ∴x=50°， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．
8．D
解析：D 【分析】
由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论． 【详解】
解：∵222
()()()0,a b a c b c -+-+-=，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0， ∴a=b ，a=c ，b=c ， ∴a=b=c ，
∴这个三角形是等边三角形； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c 是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．
【详解】
90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，
AB AC ∴=，45CBA ACB ，
AF CD ⊥，
90AHC ∴∠=︒，
90ACD FAC ，
BAE ACD ∴∠=∠，①正确；
//BE AC ，
180ABE BAC ，
90ABE ∴∠=︒，
在ADC ∆和BEA ∆中，
90CAD
ABE AC
AB ACD BAE
()ADC
BEA ASA ，②正确； AC AB AF ，
∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，
点D 是AB 中点，
AD BD ∴=，
BE BD ∴=，
45BDE EDC ，④不正确；
90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒，
45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，
∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性
质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．
【详解】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴AN BC ⊥，BN CN =，
∴90ANB ANC ∠=∠=，
60EBC E ∠=∠=，
∴EBM △是等边三角形，
6BE cm =，
∴6EB EM BM cm ===，
//DF BC ，
∴60EFD EBM ∠=∠=，
∴EFD △是等边三角形，
2DE cm =，
∴2EF FD ED cm ===，
∴4DM cm =，
EBM △是等边三角形，
∴60EMB ∠=，
∴30NDM ∠=，
∴2NM cm =，
∴4BN BM NM cm =-=，
∴28BC BN cm ==．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=
1(180)312
ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案．
【详解】
在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，
∴AB=CB ，∠A=∠C=
1(180)312
ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ，
∴AE=BE ，
∴∠ABE=31A ∠=︒，
同理：31QBC C ∠=∠=︒，
∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒，
故选：C ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 12．D
解析：D
【分析】
由50︒的角是顶角或底角，依据三角形内角和计算得出顶角的度数．
【详解】
当50︒的角为顶角时，它的顶角为50︒，
当50︒的角为底角时，它的顶角为18050280︒-︒⨯=︒，
∴它的顶角为50︒或80︒，
故选：D ．
【点睛】
此题考查等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟记等边对等角的性质是解题的关键．
二、填空题
13．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得
∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据
三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80
【分析】
先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．
【详解】
解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，
∴AD=CD ，AE=BE ，
∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，
∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，
∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，
∴,2C x B x ∠=∠=，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴322180x x x x x ++++=︒，
解得20x =︒，
∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
14．25【分析】依据含30°角的直角三角形的性质即可得到该等腰三角形腰上的高再根据三角形面积计算公式进行计算即可【详解】解：如图所示AB=AC=10∠A ＝30°过B 作BD ⊥AC 于D ∵∠A ＝30°AB ＝1
解析：25
【分析】
依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【详解】
解：如图所示，AB=AC=10，∠A ＝30°，过B 作BD ⊥AC 于D ，
∵∠A ＝30°，AB ＝10，
∴BD ＝12
AB ＝5， ∴S △ABC ＝
12AC ×BD ＝12×10×5＝25， 故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键．
15．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD 平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的 解析：25°
【分析】
由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠，则BEG 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数，即可得出结果．
【详解】
解：∵BD 平分ABC ∠，
∴EBG CBG ∠=∠，
∵//EF BC ，
∴CBG EGB ∠=∠，
∴EBG EGB ∠=∠，
∴BEG 是等腰三角形，
∵130BEG ∠=︒， ∴180130252
EGB ︒-︒∠=
=︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒． 故答案是：25︒．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 16．【分析】过点M 作MP ⊥ACMQ ⊥AB 首先证明MP ＝MQ 求出AC 的长度运用S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM 求出MP 即可解决问题【详解】如图设点B 的对应点为N 由题意得：∠BAM ＝∠CAMAB ＝AN ＝2
解析：4 3
【分析】
过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．
【详解】
如图，设点B的对应点为N，由题意得：
∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；
过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，
则MP＝MQ，
设MP＝MQ=x，
∵AN＝NC，
∴AC＝2AN＝4；
∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
∴1
2AB•AC＝
1
2
AB•MQ＋
1
2
AC•MP，
∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝4
3
，
故答案为4
3
．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．
17．110°或80°【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠BAC的度数然后分3种情况：①AD＝AE时②AD＝ED时③当AE＝DE时分别求解即可【详解】∵在△ABC中AB＝AC∠B＝40°∴∠B＝∠C=40
解析：110°或80°
【分析】
根据等腰三角形的性质，先求出∠BAC的度数，然后分3种情况：①AD＝AE时，②AD＝ED时，③当AE＝DE时，分别求解，即可．
【详解】
∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠B ＝∠C=40°
∴∠BAC ＝100°，
①AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝40°，
∴∠DAE ＝100°，此时，点D 与点B 重合，不符合题意舍去，
②AD ＝ED 时，∠DAE ＝∠DEA ，
∴∠DAE ＝12
（180°−40°）＝70°， ∴∠BAD ＝∠BAC−∠DAE ＝100°−70°＝30°，
∴∠BDA ＝180°−∠B−∠BAD ＝110°，
③当AE ＝DE 时，∠DAE ＝∠ADE ＝40°，
∴∠BAD ＝100°−40°＝60°，
∴∠BDA ＝180°−40°−60°＝80°，
综上所述：∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，
故答案是：110°或80°
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．
18．110【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=70º再根据平行线的性质求出的度数【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB==70º∵//∴+∠B=180º∴=110º故答案为：110【点睛】本题考查了
解析：110
【分析】
根据等腰三角形的性质，求出∠B=70º，再根据平行线的性质，求出BCD ∠的度数．
【详解】
解：∵AB=AC ，40A ∠=，
∴∠B=∠ACB=180402
︒-︒=70º， ∵CD //AB ，
∴BCD ∠+∠B=180º，
∴BCD ∠=110º，
故答案为：110．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练运用已知条件，准确推理计算，是解决这类题的关键．
19．100°【分析】作点A 关于BC 的对称点A′关于CD 的对称点A″根据轴对称确定最短路线问题连接A′A″与BCCD 的交点即为所求的点MN 利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″再根据轴对称的性质和三
解析：100°
【分析】
作点A 关于BC 的对称点A′，关于CD 的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【详解】
解：如图，
作点A 关于BC 的对称点A′，关于CD 的对称点A″，
连接A′A″与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：A′N= AN ，A″M=AM
∴∠A′=∠A′AN ，∠A″=∠A″AM ，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M 、N 的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
20．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点 解析：50
【分析】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时
OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN
++
最小，即MP PQ QN M N '
'++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，
∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22
QPN OQP αβ∠=
︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴
11(180)25(180)22
αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
三、解答题
21．（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）只要证明△ABE ≌△ADC 即可解决问题；
（2）延长AN 到G ，使AG=BC ，连接GE ，先证AEG CAB △≌△，再证
GE ADN N △≌△即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，
∴AB=AD ，AE=AC ，
又∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ，
即∠BAE=∠DAC ，
∴△ABE ≌△ADC ，
∴BE=DC ，∠ABE=∠ADC ，
又∵∠DOF=∠AOB ，∠BOA+∠ABE=90°，
∴∠ABE+∠DOF=90°
∴∠ADC+∠DOF=90，
即BE ⊥DC ．
（2）延长AN 到G 使AG=BC ，连接GE ，
AM BC ⊥，
AC 90MAC M ∴∠+∠=︒，
90NAE MAC ∠+∠=︒，
ACM=NAE ∴∠∠，
同理可证：ABC DAN ∠=∠ AC=AE ，
∴()AEG CAB SAS △≌△，
GE AB AD ∴==，ABC G ∠=∠，
DAN G ∴∠=∠，
又NA=GNE D ∠∠，
∴GE ADN N △≌△，
DN=EN ∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，辅助线是解此题的关键．
22．（1）见解析；（2）PE＝2
【分析】
（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可得到∠ACE＝∠CBF；
（2）利用由（1）知∠ACE＝∠CBF，求出∠BPE＝60°，又EG⊥BF，即∠PGE＝90°，得到∠GEP＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°，AB＝AC，
在△ACE与△BCF中，
AC＝BC，∠A＝∠BCF，AE＝CF，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBF；
（2）解：∵由（1）知，∠ACE＝∠CBF，
又∠ACE＋∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°，
∴∠BPE＝60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，
∴∠GEP＝30°，
∴在Rt△PGE中，PE＝2PG，
∵PG＝1，
∴PE＝2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△CBF．
23．（1）见解析；（2）BE，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线
【分析】
（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BA=BE，CA=CE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．
【详解】
（1）如图，AD为所作；
（2）证明：连接BE ，CE ．
BA =__BE____
∴点B 在线段AE 的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ）（填推理依据）
同理可证，点C 也在线段AE 的垂直平分线上
BC ∴垂直平分AE （两点确定一条直线 ）（填推理依据）
AD ∴是ABC 的高．
故答案为：BE ；与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握基本作图，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．
24．（1）角角边或者角边角（AAS 或ASA ）；（2）210AD <<；（3）见解析
【分析】
（1）由“ASA”或“AAS”可证△BED ≌△CAD ；
（2）由全等三角形的性质可得AC=BE=8，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长AD 至H ，使AD=DH ，连接BH ，由“SAS”可证△BHD ≌△CAD ，可得AC=BH ，∠CAD=∠H ，由等腰三角形的性质可得∠H=∠BFH ，可得BF=BH=AC ；
【详解】
解：（1）∵AD 是中线，
∴BD=CD ，
又∵∠ADC=∠BDE ，
∵//BE AC ，
∴EBD C ∠=∠，E CAD ∠=∠，
∴△BED ≌△CAD （ASA ），或△BED ≌△CAD （AAS ），
故答案为：SAS 或AAS ；
（2）∵△BED ≌△CAD ，
∴AC=BE=8，
在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，
∴4＜2AD ＜20，
∴2＜AD ＜10，
故答案为：2＜AD ＜10；
（3）过点B 作//BG AC 交AD 的延长线于点G ，则CAD BGD ∠=∠
∵AD 是中线，
∴BD CD =
在ADC 和GDB △中
∵CAD BGD ∠=∠，ADC GDB ∠=∠，BD CD =，
∴ADC GDB ≌△△
∴BG CA =
∵AE EF =
∴EAF AFE ∠=∠
又∵CAD BGD ∠=∠，AFE BFG ∠=∠
∴BGD BFG ∠=∠
∴BG BF =，
又∵BG CA =，
∴BF AC =；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（1）如图所示，见解析；（2）222(3,2)(4,3)(1,1)A B C -----、、；（3）如图所示，见解析．
【分析】
（1）直接利用关于y 轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用关于x 轴对称点的性质得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出P 点位置即可．
【详解】
解：(1)如图所示：
（2）∵A （-3，2），B （4-，3-），C （1-，1），
∴关于x 轴对称的点分别为：222(3,2)(4,3)(1,1)A B C -----、、；
（3）如图所示：
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称求短路线以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 26．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）作∠CAE=∠C 即可；
（2）延长BA ，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B ，由（1）可知∠CAE=∠C ，再根据AB=AC ，可得∠B=∠C ，等量替换之后即可得证．
【详解】
（1）射线AE 为所求；
（2）证明：如图所示，延长BA，
AE BC，
∵//
∴∠EAF=∠B，∠CAE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EAF=∠CAE，
∴AE是ABC的一个外角角平分线．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．。