2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业75 第10章 统计与概率4含解析

课时作业(七十五)
1．在（ax －1）7展开式中含x 4项的系数为－35，则a 为
A ．±1
B ．－1
C ．－12
D ．±错误!
答案 A
解析 由通项公式可得C 错误!（ax )4(－1)3＝－35x 4，
∴C 3，7a 4（－1）3＝－35，∴a 4＝1，∴a ＝±1.
2．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋（1＋x ）7的展开式中，x 4的系数是通项公式为a n ＝3n －5的数列的
A ．第20项
B ．第18项
C ．第11项
D ．第3项 答案 A
解析 ∵x 4的系数是
C 错误!＋C 错误!＋C 错误!＝C 错误!＋C 错误!＋C 错误!＝5＋15＋35＝55， 则由a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.
3．在（x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *）的展开式中一次项系数为
（ ) A ．C 错误! B ．C 错误!
C．C错误!D。

错误!C错误!
答案B
解析1＋2＋3＋…＋n＝错误!＝C错误!.
4．设（5x－错误!)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3项的系数为
A．500 B．－500
C．150 D．－150
答案C
解析N＝2n，令x＝1，则M＝（5－1)n＝4n＝(2n)2.
∴(2n）2－2n＝240,2n＝16，n＝4。

展开式中第r＋1项T r＋1＝C错误!·(5x)4－r·(－错误!)r
＝（－1)r·C错误!·54－r·x.
令4－错误!＝3，即r＝2，此时C错误!·52·(－1）2＝150。

5．（2012·天津)在(2x2－错误!）5的二项展开式中，x的系数为
A．10 B．－10
C．40 D．－40
答案D
解析因为二项式(2x2－错误!）5展开式的第r＋1项为T r＋1＝C错误!（2x2)5－r（－错误!）r＝C错误!·25－r×（－1)r x10－3r,当r＝3时，含有x，
其系数为C错误!×22×（－1）3＝－40.
6．（2011·陕西理)（4x－2－x)6，（x∈R）展开式中的常数项是
A．－20 B．－15
C．15 D．20
答案C
解析T r＋1＝C错误!（22x)6－r(－2－x）r＝（－1）r C错误!（2x)12－3r,r＝4时,12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝（－1）4C46＝15.
7．已知(1－错误!)10＝a＋错误!b（a，b为有理数），则a2－2b2＝
A．(1－错误!）20B．0
C．－1 D．1
答案D
解析在二项式（a＋b)n与（a－b)n的展开式中，奇数项是完全相同的，偶数项互为相反数，根据这个特点，当(1－错误!）10＝a＋错误! b时，必有（1＋错误!）10＝a－错误!b,故a2－2b2＝(a＋错误!b)（a－错误!b）＝(1－错误!)10（1＋错误!）10＝1.
8．(2013·南昌一模）若(x＋y）9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1,xy<0，则x的取值范围是A．(－∞，错误!) B．［错误!，＋∞)
C．(－∞，－错误!］D．（1,＋∞）
答案D
解析二项式(x＋y）9的展开式的通项是T r＋1＝C错误!·x9－r·y r.
依题意有错误!由此得
错误!由此解得x〉1,即x的取值范围是（1，＋∞)．
9．(2013·北京西城区)若（x2－错误!)n展开式中的所有二项式系数之和为512,则该展开式中的常数项为
A．－84 B．84
C．－36 D．36
答案B
解析二项展开式的二项式系数和为2n＝512，所以n＝9。

二项展开式的第k＋1项为T k＋1＝C错误!（x2）9－k（－x－1)k＝C错误!x18－2k(－1)k x－k＝C错误!x18－3k（－1）k，令18－3k＝0，得k＝6,所以常数项为T7＝C错误!(－1）6＝84，选B。

10．(2013·湖北黄冈）设(1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋…＋a2n x2n,则a2＋a4＋…＋a2n的值为（)
A．3n B．3n－2
C.错误!D。

错误!
答案C
解析令x＝0，得a0＝1；
令x＝－1,得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n＝1；
令x＝1,得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝3n；
②＋③，得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝3n＋1。

故a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝错误!。

再由①得a2＋a4＋…＋a2n＝错误!.
11．(x＋2)10（x2－1)的展开式中x10的系数为________．
答案179
解析（x＋2）10（x2－1)＝x2（x＋2）10－(x＋2）10.
本题求x10的系数,只要求（x＋2)10展开式中x8及x10的系数T r＋1＝C r，10x10－r· 2r。

取r＝2，r＝0，得x8的系数为C2，10×22＝180；
x10的系数为C错误!＝1，
∴所求系数为180－1＝179.
12．设a n(n＝2，3，4，…)是（3－x)n的展开式中x的一次项的系数，则错误!＋错误!＋…＋错误!的值为____________．
答案17
解析由通项C错误!3n－r(－1）r x知，展开式中x的一次项的系数为a n＝C错误!3n－2,所以错误!＋错误!＋…＋错误!＝32(错误!＋错误!＋错误!
＋…＋217×18
）＝17。

13．(2012·浙江)若将函数f （x )＝x 5表示为f (x ）＝a 0＋a 1(1＋x ）＋a 2（1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1,a 2,…,a 5为实数，则a 3＝________.
答案 10
解析 不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有（t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5,则a 3＝C 错误!（－1）2＝10.
14．（2012·大纲全国)若(x ＋1x
)n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________． 答案 56
解析 由C 2，n ＝C 错误!可知n ＝8，所以(x ＋错误!)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r ，8x 8－r （错误!）r ＝C 错误!x 8－2r ,所以8－2r ＝－2⇒r ＝5,所以错误!的系数为C 错误!＝56.
15．设（2x －1）5＋(x ＋2）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则｜a 0｜＋|a 2|＋|a 4｜＝________.
答案 110
解析 令x ＝0，得a 0＝－1＋24＝15；C 35
(2x ）2（－1)3＋C 错误!x 222
＝－16x2，所以a2＝－16；C错误!（2x)4（－1）1＋C错误!x420＝－79x4，所以a4＝－79，故|a0｜＋｜a2|＋｜a4｜＝110.
16．（2012·衡水调研）若（2x－错误!)9的展开式的第7项为错误!，则x＝________.
答案－错误!
解析T7＝T6＋1＝C69（2x）3（－错误!)6＝错误!，
即错误!·23x·错误!＝错误!，
所以23x－1＝2－2,因此有3x－1＝－2，即x＝－错误!。

17．设f(x）＝（1＋x)m＋(1＋x）n的展开式中x的系数是19(m，n∈N＊）．
(1)求f（x）展开式中x2的系数的最小值；
（2)对f（x）展开式中x2的系数取最小值时m，n,求f（x）展开式中x7的系数．
解析（1)由题意知C错误!＋C错误!＝19，
∴m＋n＝19，∴m＝19－n.
x2的系数为C错误!＋C错误!＝C错误!＋C错误!
＝1
2
(19－n）（18－n）＋错误!n（n－1)
＝n2－19n＋171
＝(n－错误!）2＋错误!，
∵n∈N*，∴n＝9或n＝10时,x2的系数取最小值(错误!）2＋错误!＝81.
1．（2012·洛阳市高三统一考试)在二项式（错误!－错误!)6的展开式中，x的指数是整数的项共有________项．
答案3
解析T r＋1＝C错误!(错误!）6－r·（－错误!)r＝（－1）r C错误!x，要使指数为整数，r为3的倍数，则r可取0,3，6,故指数是整数的项共有3项．
2．已知(1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a3＋a5＋a7的值为________．
答案－1 094
解析令x＝1,则a0＋a1＋…＋a7＝－1，令x＝－1，则
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2 187,于是a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094.故填－1 094。

3．求(1＋x＋x2）8展开式中x5的系数．
解析方法一(通项公式法)（1＋x＋x2）8＝[1＋(x＋x2)]8展开后的通式公式是T r＋1＝C错误!（x＋x2）r，则x5的系数由(x＋x2）r决定，
而(x＋x2)r的展开通项公式是T′k＋1＝C k，r x r－k x2k＝C错误!x r＋k,所以(1＋x＋x2)8展开式的通项公式是C错误!C错误!x r＋k，其中0≤k≤r≤8，r＋k＝5，r、k∈N.
由此解得错误!或错误!或错误!
故含x5的系数为C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝504。

方法二(逐项研究法)（1＋x＋x2）8＝［(1＋x)＋x2]8＝
C0，8（1＋x）8＋C错误!(1＋x）7·x2＋C错误!（1＋x）6·（x2)2＋C错误! (1＋x）5·（x2)3＋…＋C88（1＋x）0·(x2）8，则展开式中含x5的系数为C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝504。

方法三（基本原理法）将（1＋x＋x2)8写成八个因式乘积的形式（1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·（1＋x＋x2）·…·(1＋x ＋x2）（共8个)．
这八个因式中乘积展开式中形式x5的来源有三：①有两个括号各出一个x2，其余六个括号中恰有一个括号出一个x，这种方式共有C错误!C错误!种;②有一个括号出一个x2，其余七个括号中恰有三个括号各出一个x，共有C18C错误!种;③没有一个括号出一个x2，恰有五个括号各出一个x，共有C错误!种．
故x5的系数是C2，8C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!＝504.
4．设（2－错误!x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100求下列各式的
值：
(1）a0；
（2）a1＋a2＋…＋a100；
(3）a1＋a3＋a5＋…＋a99;
（4)（a0＋a2＋…＋a100）2－(a1＋a3＋…＋a99）2.
解析（1）(2－错误!x)100展开式中的常数项为
C错误!·2100，即a0＝2100，或令x＝0，
则展开式可化为a0＝2100。

(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－错误!）100，
∴a1＋a2＋…＋a100＝（2－错误!)100－2100。

（3）令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝（2＋错误!）100，
与x＝1所得到的①联立相减可得
a1＋a3＋…＋a99＝错误!。

(4）原式＝［(a0＋a2＋…＋a100）＋(a1＋a3＋…a99)]·［(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99）]
＝(a0＋a1＋…＋a100）(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100）
＝（2－错误!)100（2＋错误!）100＝1。

学必求其心得，业必贵于专精。