4叠加原理

(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数
的项称为自由项．
7、微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程 成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这 个连续函数就是该偏微分方程的古典解。 通解： 特解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意 常数的解。 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。
思考 判断下列方程的类型
u 2 u a x 2 2 t x
2 2
2 2u u 2 a u 2 2 x t
u 2 u a xu 2 x t
2
1 u 1 2u 0 2 2
二：一个定解问题的适定性(Well-posedness)包 含以下几个方面： 1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解； 2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的 解； 3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖 定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时， 引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的， 否则称解是不稳定的。
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和
2 u a uxx 0 ( x , t 0) tt (I ) u t 0 ( x ), ut t 0 ( x ) 2 u a uxx f ( x , t ) tt (II ) u t 0 0, ut t 0 0
( x , t 0)
叠加原理2（齐次边界的线性定解问题，叠加原理成立）
非齐次边界条件的齐次化
2 2u u 2 f ( x, t ), 0 x l, t 0 2 a 2 x t t0 u (0, t ) u1 (t ), u (l , t ) u 2 (t ), u ( x,0) u ( x , 0 ) ( x ), ( x), 0 x l t 解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令 u ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t ) 其中辅助函数满足 W (0, t ) u1 (t ) W (l , t ) u 2 (t ) 取 W ( x, t ) A(t ) x B(t )
第一章 数学建模和基本原理介绍
泛定方程的一些基本概念 解的适定性 叠加原理 叠加原理的应用 δ函数、基本解、格林函数 作业：
P30 :14(3,4);15
一、数理方程的一些基本概念
(1) 偏微分方程定义
含有未知多元函数及其偏导数的方程，如
u u u u u F ( x, y, , u , , , , 2 , 2 , , ) 0 x y x y xy
称形如
2 算 子
L a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 c x xy y x y
2 2 2
B x
x 0
的符号为微分算子。 波算子
2 2 Байду номын сангаас 2 t x 2
2 H a t x 2
热算子
拉普拉斯算子
2 u ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t ) 2u u 2 f ( x, t ), 0 x l, t 0 2 a W (0, t ) u1 (t ) 2 t x W (l , t ) u 2 (t ) u ( 0 , t ) u ( t ), u ( l , t ) u ( t ), t 0 1 2 此方法在使得非齐次边界 u ( x,0) 条件齐次化的同时将导致 u ( x,0) ( x), t ( x), 0 x l 方程的非齐次化。能否做 2 2 2 2 V W 2 V 2 W 到两者同时齐次化？ f ( x, t ) a 2 , 2 a 2 2 x x t u ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t ) t V (0, t ) u1 (t ) W (0, t ), u (l , t ) u2 (t ) W (l , t ), u ( x,0) W u ( x,0) ( x) W ( x,0), t ( x) t ( x,0), 2 2 若f(x,t)和非齐次边界条 W W 2 f ( x, t ) a 2 0, 2 件都与t无关，则此时W x t 仅是x的函数W(x) W (0, t ) u1 (t ),W (l , t ) u2 (t ) a 2W f ( x) 0, 若能从中求出W(x,t)，就 W (0) u1 , W (l ) u2 可以实现两者同时齐次化。 但一般很难求出!
2 2 2 t x 2
二阶偏微分方程
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a 22 2 b1 b2 cu f xy x y x y
可简写为 L[u ] f . 齐次形式为： Lu 定解条件 线性算子：
0
g 可简写为
B[u ] g .
u x
x 0
L(u1 u2 ) L(u1 ) L(u2 )
3、叠加原理
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同 原因单独产生的效果的累加。(物理上)（有限和）
例
非齐次波动方程的Cauchy问题
2 u a u xx f ( x , t ) ( x , t 0) tt u t 0 ( x ), ut t 0 ( x )
为方程的阶．
(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为
偏微分方程的次数．
(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所
有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程， 高于一次以上的方程称为非线性方程．
(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最
高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．
W (0, t ) B(t ) u1 (t )
W (l , t ) A(t )l B(t ) u 2 (t ) u 2 (t ) u1 (t ) A(t ) l

u 2 (t ) u1 (t ) W ( x, t ) x u1 (t ) l
2 2u u 2 a f ( x, t ), 0 x l, t 0 2 2 u ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t ) x t t0 u 2 (t ) u1 (t ) u (0, t ) u1 (t ), u (l , t ) u 2 (t ), W ( x, t ) x u1 (t ) u ( x,0) l u ( x , 0 ) ( x ), ( x ), 0 x l t 2 2 2 2 V V W W 2 2 a f ( x , t ) a , 2 2 2 2 x x t t V (0, t ) 0, V (l , t ) 0, V ( x,0) W ( x,0) ( x) , V ( x,0) ( x) W ( x,0), t t 2 2V u1 V 2 2 u2 , f a x u1 2 a 2 t x l V (0, t ) 0, V (l , t ) 0, u2 (0) u1 (0) V ( x , 0 ) ( x ) x u1 (0), l V ( x,0) (0) u1 (0) u2 (0) ( x) x u1 l t
2l
以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。
2 2 u u 例1 求下列定解问题 2 p, 0 x l, t 0 2 a 2 x t t0 u (0, t ) 0, u (l , t ) q, q u ( x,0) u ( x,0) l x, t 0, 0 x l q W ( x, t ) x 解：令 u ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t ) l 2 2 V 2 V p, 0 x l, t 0 2 a 2 x t t 0 V (0, t ) 0, V (l , t ) 0, u ( x,0) V ( x,0) 0, t 0, 0 x l 可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。
常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数 非 齐 次 边 界 条 件 齐次化所使用辅助函数
u (0, t ) u1 (t ), u (l , t ) u2 (t )
u 2 (t ) u1 (t ) W ( x, t ) x u1 (t ) l
u (0, t ) u1 (t ), u x (l , t ) u2 (t ) W ( x, t ) u (t ) x u (t ) 2 1
2 u1 到方程中即得结论成立. 类似可证 2 x
u2
也是方程的古典解.
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程； (4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。
8、求解方法
分离变量法、 特征线法、格林函数法
例2.1 设F x , G x 在直线R上具有二阶连续导 ) 验证 u1和u 2 数，u1 ( x, t ) F ( x at ), u 2 ( x, t ) G ( x at ， 2 xot u a u xx 0 的古典解. 在 平面上都是 tt
三、线性方程的叠加原理
1、线性偏微分方程的一般形式 一般二阶线性偏微分方程（n个自变量）
n 2u u Aik Bi cu f 0 xi xk i 1 xi i 1 k 1 n n
两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu f x x y y x y
2 2 2
其中
u ( x, y, )
是未知多元函数，而 为
是未知变量；
u u , , x y
x, y,
u 的偏导数.
有时为了书写方便，通常记
u u 2u ux , uy , , u xx 2 , x y x
(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称
u x (0, t ) u1 (t ), u (l , t ) u2 (t ) W ( x, t ) u1 (t )( x l ) u2 (t )
u x (0, t ) u1 (t ), u x (l , t ) u2 (t ) W ( x, t ) u2 (t ) u1 (t ) x 2 u1 (t ) x
解 直接计算可得
u1 F ' ( x at ), ， x
u1 F ' ( x at )a, t
2 u1 代 t 2
2 u1 '' F ( x at ). 2 x
2 u1 '' 2 2 '' F ( x at ) a a F ( x at ). 2 t