辽宁省本溪市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷含解析

辽宁省本溪市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列事件中，必然事件是（）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上
B．打开电视，正在播放广告
C．体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟
D．袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球
2．下列运算正确的是（）
A．（﹣2a）3=﹣6a3B．﹣3a2•4a3=﹣12a5
C．﹣3a（2﹣a）=6a﹣3a2D．2a3﹣a2=2a
3．已知x+1
x
=3，则x2+
2
1
x
=（）
A．7 B．9 C．11 D．8
4．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为
A．60元B．70元C．80元D．90元
5．下列计算正确的是( )
A．(a－3)2＝a2－6a－9 B．(a＋3)(a－3)＝a2－9
C．(a－b)2＝a2－b2D．(a＋b)2＝a2＋a2
6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF与点H，那么CH 的长是（）
A．22
3
B．5C．
32
2
D．
35
5
7．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
8．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）
A．B．C．D．
9．若分式
1
1
a
有意义，则a的取值范围是（）
A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数
10．计算6m 6÷（-2m 2）3的结果为（ ）
A ．m -
B ．1-
C ．34
D ．34
- 11．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若∠A=50°10′，∠COD=100°，则∠C 等于（ ）
A ．30°10′
B ．29°10′
C ．29°50′
D ．50°10′
12．如图，小颖为测量学校旗杆AB 的高度，她在E 处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B ．已知小颖的眼睛D 离地面的高度CD ＝1.5m ，她离镜子的水平距离CE ＝0.5m ，镜
子E 离旗杆的底部A 处的距离AE ＝2m ，且A 、C 、E 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为（ ）
A ．4.5m
B ．4.8m
C ．5.5m
D ．6 m
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
14．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣
232
t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ．
15．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝50°，P 为△ABC 内一点，过点P 的直线MN 分別交AB 、BC 于点M 、N ．若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为_____
16．点 C 在射线 AB 上，若 AB=3，BC=2，则AC 为_____．
17．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，OB ＝2OA ，点A 在反比例函数y ＝
1x 的图象上．若点B 在反比例函数y ＝k x
的图象上，则k 的值为_____．
18．一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m 个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m 的值约为__________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年
级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段 频次 频率 A
60≤x ＜70 17 0.17 B
70≤x ＜80 30 a C
80≤x ＜90 b 0.45 D 90≤x ＜100 8 0.08
请根据所给信息，解答以下问题：表中a=______，b=______；请计算扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数；已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将
从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．
20．（6分）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249
y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CPQ 的面积为S ．
①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值；
②当S 最大时，在抛物线249
y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（6分）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD 于点C．
（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；
（2）若⊙O半径为2，TC ＝，求AD的长．
23．（8分）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（图11-1）和扇形统计图（图11-2），根据图表中的信息解答下列问题：
分组分数段（分）频数
A 36≤x＜41 22
B 41≤x＜46 5
C 46≤x ＜51 15 D
51≤x ＜56 m E 56≤x ＜61 10
（1）求全班学生人数和m 的值；
（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
24．（10分）已知抛物线y=x 2﹣6x+9与直线y=x+3交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为C ，直线y=x+3与x 轴交于点D ．
（1）求抛物线的顶点C 的坐标及A ，B 两点的坐标；
（2）将抛物线y=x 2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t （t ＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E 在△DAC 内，求t 的取值范围；
（3）点P （m ，n ）（﹣3＜m ＜1）是抛物线y=x 2﹣6x+9上一点，当△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍时，求m ，n 的值．
25．（10分）（2016山东省烟台市）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为4米，落在斜坡上的影长CD 为3米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
26．（12分）在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .求证.DF AB =若
30
∠=︒,且4
FDC
AB=,求AD.
27．（12分）如图，在Rt△ABC的顶点A、B在x轴上，点C在y轴上正半轴上，且
A(－1，0)，B(4，0)，∠ACB＝90°.
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式；
(2)设抛物线的对称轴l与BC边交于点D，若P是对称轴l上的点，且满足以P、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，求P点的坐标；
(3)在对称轴l和抛物线上是否分别存在点M、N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由.
图1 备用图
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
试题解析：A. 是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；
B. 是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；
C. 是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；
D. 袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球，是必然事件，符合题意.
故选D.
点睛：事件分为确定事件和不确定事件.
必然事件和不可能事件叫做确定事件.
2．B
【解析】
【分析】
先根据同底数幂的乘法法则进行运算即可。

【详解】
A.33-28a a =-（）;故本选项错误;
B. ﹣3a 2•4a 3=﹣12a 5; 故本选项正确;
C.23(2)63a a a a --=-+;故本选项错误;
D. 不是同类项不能合并; 故本选项错误;
故选B.
【点睛】
先根据同底数幂的乘法法则, 幂的乘方, 积的乘方, 合并同类项分别求出每个式子的值, 再判断即可. 3．A
【解析】
【分析】
根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】
∵（x+
1x ）2=x 2+2+21x
∴9=2+x 2+21x
， ∴x 2+21x =7， 故选A ．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式.
4．C
【解析】
设销售该商品每月所获总利润为w ，
则w=（x –50）（–4x+440）=–4x 2+640x –22000=–4（x –80）2+3600，
∴当x=80时，w 取得最大值，最大值为3600，
即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C ．
5．B
【解析】
利用完全平方公式及平方差公式计算即可．
【详解】
解：A、原式=a2-6a+9，本选项错误；
B、原式=a2-9，本选项正确；
C、原式=a2-2ab+b2，本选项错误；
D、原式=a2+2ab+b2，本选项错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.
【详解】
如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴2，2
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，2222
(2)(32)25
AC CF
+=+=
∵CH⊥AF，
∴11
22
AC CF AF CH
⋅=⋅，
11
22225
22
CH
=⨯，
∴35
.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
7．B
【解析】
【详解】
解方程212350x x -+=得：x=5或x=1．
当x=1时，3+4=1，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，
故选B ．
8．B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
【详解】
A 、是轴对称图形，故本选项错误；
B 、不是轴对称图形，故本选项正确；
C 、是轴对称图形，故本选项错误；
D 、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.
9．A
【解析】
分析：根据分母不为零，可得答案
详解：由题意，得
10a -≠，解得 1.a ≠
故选A.
点睛：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
10．D
分析：根据幂的乘方计算法则求出除数，然后根据同底数幂的除法法则得出答案．
详解：原式=()663684
m m ÷-=-， 故选D ． 点睛：本题主要考查的是幂的计算法则，属于基础题型．明白幂的计算法则是解决这个问题的关键． 11．C
【解析】
【分析】
根据平行线性质求出∠D ，根据三角形的内角和定理得出∠C=180°
-∠D-∠COD ，代入求出即可． 【详解】
∵AB ∥CD ，
∴∠D=∠A=50°10′，
∵∠COD=100°，
∴∠C=180°-∠D-∠COD=29°50′.
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，关键是求出∠D 的度数和得出
∠C=180°-∠D-∠COD ．应该掌握的是三角形的内角和为180°.
12．D
【解析】
【分析】
根据题意得出△ABE ∽△CDE ，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】
解：由题意可得：AE ＝2m ，CE ＝0.5m ，DC ＝1.5m ，
∵△ABC ∽△EDC ，
∴，
即，
解得：AB ＝6，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE ∽△CDE 是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1； 【解析】 【分析】
根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数． 【详解】
∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°， ∴360°÷45°=1
即该正多边形的边数是1． 【点睛】
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）． 14．24 【解析】 【分析】
先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s 停止，此时滑行距离为600m ，然后再将t=20-4=16代入求得16s 时滑行的距离，即可求出最后4s 滑行的距离. 【详解】 y=60t ﹣
2
3t 2
=32 (t-20)2+600，即飞机着陆后滑行20s 时停止，滑行距离为600m ，
当t=20-4=16时，y=576， 600-576=24，
即最后4s 滑行的距离是24m ， 故答案为24. 【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题. 15．115° 【解析】 【分析】
根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM ，PN=CN ，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM ，∠CPN=∠PCN ，推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=1
2
×130°=65°，于是得到结论． 【详解】 ∵∠ABC=50°，
∴∠BAC+∠ACB=130°，
∵若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，
∴AM=PM，PN=CN，
∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，
∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP，
∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=1
2
×130°=65°，
∴∠APC=115°，
故答案为：115°
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
16．2或2．
【解析】
解：本题有两种情形：
（2）当点C在线段AB上时，如图，∵AB=3，BC=2，∴AC=AB﹣BC=3-2=2；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，∵AB=3，BC=2，∴AC=AB+BC=3+2=2．
故答案为2或2．
点睛：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
17．﹣2
【解析】
【分析】
要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根
据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BD OD OB
OC AC OA
===1，然后用待定系数法即可．
【详解】
过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A 的坐标是（m ，n ），则AC=n ，OC=m ． ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°． ∵∠DBO+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC ． ∵∠BDO=∠ACO=90°， ∴△BDO ∽△OCA ． ∴
BD OD OB
OC AC OA
==, ∵OB=1OA ， ∴BD=1m ，OD=1n ． 因为点A 在反比例函数y=2
x
的图象上， ∴mn=1．
∵点B 在反比例函数y=
k
x
的图象上， ∴B 点的坐标是（-1n ，1m ）． ∴k=-1n•1m=-4mn=-2． 故答案为-2． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B 的坐标（用含n 的式子表示）是解题的关键． 18．3 【解析】 【分析】
在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答. 【详解】 解:根据题意得，10
m
＝0.3，解得m ＝3. 故答案为:3. 【点睛】
本题考查随机事件概率的意义，关键是要知道在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）
16
．
【解析】 【分析】
（1）首先根据A 组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a 、b ； （2）B 组的频率乘以360°即可求得答案；
（2）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率； 【详解】
（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a=30
100
=0.3，b=100×0.45=45（人）． 故答案为0.3，45； （2）360°×0.3=108°．
答：扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角为108°．
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A 、B ，另外两学生记为C 、D ，画树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为
212=16
． 【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（1）244893
y x x =-++；（2）①2315(5)102S m =
-+，当m=5时，S 取最大值；②满足条件的点F 共有四个，坐标分别为13(,8)2F ，23()2
F ,4，33(,627)2F +，43
(,627)2F -，
【解析】 【分析】
（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线y=-
49
x 2
+bx+c ，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数； ②直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写． 【详解】
解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得84
366b+c=09c =⎧⎪
⎨-⨯+⎪⎩ ， 解得：438
b c ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣
49
x 2+4
3x+8；
（2）①∵OA=8，OC=6， ∴
=10，
过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB =
QE QC = AB AC =3
5
， ∴
10QE m - =3
5
，
∴QE=3
5（10﹣m ），
∴S=12•CP•QE=12m 35×（10﹣m ）=﹣310m 2+3m ；
②∵S=12•CP•QE=12m×35（10﹣m ）=﹣310m 2+3m=﹣310（m ﹣5）2+152
，
∴当m=5时，S 取最大值；
在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y=﹣
49x 2+43x+8的对称轴为x=3
2
，
D 的坐标为（3，8），Q （3，4），
当∠FDQ=90°时，F 1（3
2，8）， 当∠FQD=90°时，则F 2（3
2，4），
当∠DFQ=90°时，设F （3
2
，n ），
则FD 2+FQ 2=DQ 2， 即
49+（8﹣n ）2+4
9
+（n ﹣4）2=16， 解得：
n=6±
2
， ∴F 3（
32，
6+2），F 4（32，6
﹣2
）， 满足条件的点F 共有四个，坐标分别为
F1（3
2
，8），F2（
3
2
，4），F3（
3
2
，6+
7
2
），F4（
3
2
，6﹣
7
2
）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用能力，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．21．（2）证明见试题解析；（232
【解析】
【分析】
（2）过点O作OM⊥AB于M，证明OM=圆的半径OD即可；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，得到四边形OMBN是矩形，在直角△OBM中利用三角函数求得OM和BM的长，进而求得BN和ON的长，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．
【详解】
解：（2）过点O作OM⊥AB，垂足是M．
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAO=∠MAO，
∴OM=OD，
∴AB与⊙O相切；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．
∵O是BC的中点，
∴OB=2．在直角△OBM中，∠MBO=60°，
∴∠MOB=30°，BM=1
2
OB=2，
33
∵BE⊥AB，
∴四边形OMBN是矩形，
∴ON=BM=2，BN=OM=3．
∵OF=OM=3，由勾股定理得NF=2．
∴BF=BN+NF=32
．
考点：2．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题．
22．（2）65°；（2）2．
【解析】
试题分析：（2）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT 为⊙O的切线；
（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．
试题解析：（2）连接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；
（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，AE＝，∴AD=2AE=2．
考点：2．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理．
23．（1）50，18；（2）中位数落在51﹣56分数段；（3）2
3
．
【解析】
【分析】
（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．【详解】
解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）； m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）； （2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数， ∴中位数落在51﹣56分数段； （3）如图所示：
将男生分别标记为A 1，A 2，女生标记为B 1
P （一男一女）==63
． 【点睛】
本题考查列表法与树状图法，频数（率）分布表，扇形统计图，中位数． 24．（1）C （2，0），A （1，4），B （1，9）；（2
）12＜t ＜5；（2）m=72，∴n=
372
. 【解析】
分析：（Ⅰ）将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C 的坐标，联立抛物线与直线的解析式即可求出A 、B 的坐标．
（Ⅱ）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（2﹣t ，1），然后求出直线AC 的解析式后，将点E 的坐标分别代入直线AC 与AD 的解析式中即可求出t 的值，从而可知新抛物线的顶点E 在△DAC 内，求t 的取值范围．
（Ⅲ）直线AB 与y 轴交于点F ，连接CF ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，交DB 于点G ，由直线y=x+2与x 轴交于点D ，与y 轴交于点F ，得D （﹣2，0），F （0，2），易得CF ⊥AB ，△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍，所以
12AB•PM=1
2
AB•CF ，，从而可求出PG=3，利用点G 在直线y=x+2上，P （m ，n ），所以G （m ，m+2），所以PG=n ﹣（m+2），所以n=m+4，由于P （m ，n ）在抛物线y=x 2﹣1x+9上，联立方程从而可求出m 、n 的值．
详解：（I ）∵y=x 2﹣1x+9=（x ﹣2）2，∴顶点坐标为（2，0）．
联立2693y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩，
解得：14x y =⎧⎨=⎩或6
9x y =⎧⎨=⎩
；
（II ）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（2﹣t ，1），设直线AC 的解析式为y=kx+b
将A （1，4），C （2，0）代入y=kx+b 中，∴4
30k b k b +=⎧⎨+=⎩
，
解得：2
6
k b =-⎧⎨
=⎩，
∴直线AC 的解析式为y=﹣2x+1．
当点E 在直线AC 上时，﹣2（2﹣t ）+1=1，解得：t=12
． 当点E 在直线AD 上时，（2﹣t ）+2=1，解得：t=5， ∴当点E 在△DAC 内时，
1
2
＜t ＜5； （III ）如图，直线AB 与y 轴交于点F ，连接CF ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，交DB 于点G ．
由直线y=x+2与x 轴交于点D ，与y 轴交于点F ， 得D （﹣2，0），F （0，2），∴OD=OF=2． ∵∠FOD=90°，∴∠OFD=∠ODF=45°． ∵OC=OF=2，∠FOC=90°，
∴，∠OFC=∠OCF=45°， ∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°，∴CF ⊥AB ． ∵△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍，∴12AB•PM=1
2
AB•CF ，
∴
∵PN ⊥x 轴，∠FDO=45°，∴∠DGN=45°，∴∠PGM=45°．
在Rt △PGM 中，sin ∠PGM=PM
PG
， ∴PG=
45PM sin ︒=3． ∵点G 在直线y=x+2上，P （m ，n ）， ∴G （m ，m+2）．
∵﹣2＜m ＜1，∴点P 在点G 的上方，∴PG=n ﹣（m+2），∴n=m+4． ∵P （m ，n ）在抛物线y=x 2﹣1x+9上，
∴m2﹣1m+9=n，∴m2﹣1m+9=m+4，解得：m=773
2
±
．
∵﹣2＜m＜1，∴m=773
+
不合题意，舍去，∴m=
773
-
，∴n=m+4=
3773
-
．
点睛：本题是二次函数综合题，涉及待定系数法，解方程，勾股定理，三角形的面积公式，综合程度较高，需要学生综合运用所学知识．
25．13.1．
【解析】
试题分析：如图，作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据=，可求得CM的长，在RT△AMN 中利用三角函数求得AN的长，再由MN∥BC，AB∥CM，判定四边形MNBC是平行四边形，即可得BN的长，最后根据AB=AN+BN即可求得AB的长．
试题解析：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．
由题意=，即=，CM=，
在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，
∴tan72°=，
∴AN≈12.3，
∵MN∥BC，AB∥CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN=CM=，
∴AB=AN+BN=13.1米．
考点：解直角三角形的应用.
26．（1）证明见解析；（2）1
【解析】
分析：（1）利用“AAS”证△ADF ≌△EAB 即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF ，根据DF=AB 可得答案．
详解：（1）证明：在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，
∴∠AEB=∠DAF ，
又∵DF ⊥AE ，
∴∠DFA=90°，
∴∠DFA=∠B ，
又∵AD=EA ，
∴△ADF ≌△EAB ，
∴DF=AB ．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠FDC=∠DAF=30°，
∴AD=2DF ，
∵DF=AB ，
∴AD=2AB=1．
点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．
27．见解析
【解析】
分析：(1)根据OAC OCB V V ∽求出点C 的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)分两种情况进行讨论即可.
(3)存在. 假设直线l 上存在点M ，抛物线上存在点N ，使得以A 、O 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边
形.分当平行四边形AOMN '是平行四边形时，当平行四边形AONM 是平行四边形时，当四边形AMON 为平行四边形时，三种情况进行讨论.
详解：(1)易证OAC OCB V V ∽，得OA OC OC
OB =，2· 4.OC OAOB == ∴OC=2，∴C(0，2),
∵抛物线过点A(-1，0)，B(4，0)
因此可设抛物线的解析式为(1)(4),y a x x =+-
将C 点(0，2)代入得:42a -=，即1,2a =-
∴抛物线的解析式为213 2.22
y x x =-
++ (2)如图2，
当1CDP CAO V V ∽时，1CP l ⊥，则P 1(32
，2), 当2P DC CAO V V
∽ 时，2P ACO ，∠=∠ ∴OC ∥l,
∴225
OC OA P H AH ==， ∴P 2H ＝
52·OC ＝5， ∴P 2 (32
，5) 因此P 点的坐标为(
32，2)或(32，5). (3)存在.
假设直线l 上存在点M ，抛物线上存在点N ，使得以A 、O 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形. 如图3，
当平行四边形AOMN'是平行四边形时，M(3
2
，
21
8
)，N'(
1
2
,
21
8
),
当平行四边形AONM是平行四边形时，M(3
2
，
21
8
)，N(
5
2
,
21
8
),
如图4，当四边形AMON为平行四边形时，MN与OA互相平分，此时可设M(3
2
，m)，则
5
(,)
2
N m
--，
∵点N在抛物线
1
(1)(4)
2
y x x
=-+-上，
∴-m＝-1
2
·(-
5
2
+1)( -
5
2
-4)=-
39
8
,
∴m=39 8
,
此时M(3
2
，
39
8
)，N(-
5
2
,-
39
8
).
综上所述，M(3
2
，
21
8
)，N(
1
2
,
21
8
)或M(
3
2
，
21
8
)，N(
5
2
,
21
8
) 或M(
3
2
，
39
8
)，N(-
5
2
,-
39
8
).
点睛：属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式等，注意分类讨论的思想方法在数学中的应用.。