2021-2022年高考数学一轮总复习第一章集合与简易逻辑题组训练2命题及其关系充要条件理

2021年高考数学一轮总复习第一章集合与简易逻辑题组训练2命题及其
关系充要条件理
1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案B
解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.
2．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )
A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0
B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0
C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0
D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0
答案B
解析否命题既否定条件又否定结论．
3．若命题p的否命题是命题q的逆否命题，则命题p是命题q的( )
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题D．p与q是同一命题
答案A
解析 设p ：若A ，则B ，则p 的否命题为若綈A ，则綈B ，从而命题q 为若B ，则A ，则命题p 是命题q 的逆命题，故选A. 4．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x 2
≤1，则x≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a>b ，则1a <1
b ”的逆否命题
答案 A
解析 A 中原命题的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，由x>|y|≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x>1”，是假命题，因为x 2>1⇔x>1或x<－1；C 中原命题的否命题是“若x≠1，则x 2
－x≠0”，是假命题；D 中原命题的逆命题是“若1a ≥1b ，
则a≤b”是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1，故选A.
5．(xx·河北唐山一中月考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是( ) A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分
C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分
D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分 答案 C
解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系，命题p ：“若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格”的逆否命题是“若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分”，故选C.
6．(xx·课标全国Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z∈R ，则z －
∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4
答案 B
解析 对于p 1，由1z ∈R ，即z －z ·z －∈R 得z －
|z|
2∈R ，∴z －
∈R ，∴z ∈R .故p 1为真命题．
对于p 2，显然i 2＝－1，但i ∉R .故p 2为假命题．
对于p 3，若z 1＝1，z 2＝2，则z 1z 2＝2，满足z 1z 2∈R ，而它们的实部不相等，不是共轭复数．故p 3为假命题．
对于p 4，z ∈R ，则z －
∈R .故p 4为真命题，故选B. 7．(xx·皖南八校联考)“1
x >1”是“e x －1<1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1
<1，∴x<1.
∴“1x
>1”是“e x －1
<1”的充分不必要条件．
8．(xx·衡水中学调研卷)在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 在△ABC 中，若sinB ＝1，则B ＝π
2，所以△ABC 为直角三角形；若△ABC 为直角
三角形，则sinB ＝1或sinA ＝1或sinC ＝1.所以在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件，故选A.
9．(xx·浙江宁波一模)若“x>1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a>3 B ．a<3 C ．a>4 D ．a<4
答案 A
解析 若2x >a －x ，即2x ＋x>a.设f(x)＝2x ＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x ＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.
10．(xx·《高考调研》原创题)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 p ⇒q ，而qp ，∴选A.
11．若不等式13<x<1
2的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( )
A ．[－43，12]
B ．[－12，4
3]
C ．(－∞，1
2)
D ．(4
3，＋∞)
答案 B
解析 由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式13<x<1
2的必要不充分条件是|x －m|<1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，12≤m ＋1，
且等号不能同时取得，解得－12≤m ≤4
3
，故选B.
12．(xx·天津)设x>0，y ∈R ，则“x>y”是“x>|y|”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由x>y 推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y ，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
13．(xx·山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝x 2
－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若f(x)≥g(x)，则x 2－(2＋k)x ＋4≥0，所以f(x)≥g(x)在R 上恒成立⇔(2＋k)2－16≤0⇔－6≤k≤2；而|k|≤1⇔－1≤k≤1.所以“|k|≤1”⇒“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”，而“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”不能推出“|k|≤1”，所以“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的充分不必要条件，故选A.
14．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a>b ，则1a <1
b ”及其逆命题、否命
题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________． 答案 ab<0
解析 显然ab≠0，当ab>0时，1a <1b ⇔1a ·ab<1
b ·ab ⇔b<a ，所以四种命题都是正确的．当
ab<0时，若a>b ，则必有a>0>b ，故1a >0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b ，则必有1a <0<1
b ，
故a<0<b ，所以其逆命题也是假命题；由命题的等价性可知，四种命题都是假命题．从
而本题应填ab<0.
15．已知p ：2x ＋m>0，q ：x 2－4x>0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]
16．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要
条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0，1
2
]
解析
2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒1
2
<x<1， x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1， 由题意得(1
2，1)[a ，a ＋1]，
故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，
解得0≤a≤1
2.
17．(xx·沧州七校联考)已知命题：“∃x ∈{x|－1<x<1}，使等式x 2
－x －m ＝0成立”是真命题．
(1)求实数m 的取值集合M ；
(2)设不等式(x －a)(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x∈N 是x∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．
答案 (1){m|－14≤m<2} (2)(－∞，－14)∪(9
4
，＋∞)
解析 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1，1)上有解，即m 的取值范围就为函数y
＝x 2
－x 在(－1，1)上的值域，易知M ＝{m|－14≤m<2}．
(2)因为x∈N 是x∈M 的必要条件，所以M ⊆N. 当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意； 当a>1时，a>2－a ，此时集合N ＝{x|2－a<x<a}， 则⎩⎪⎨
⎪⎧2－a<－14，
a ≥2，
解得a>94； 当a<1时，a<2－a ，此时集合N ＝{x|a<x<2－a}， 则⎩⎪⎨⎪⎧a<－14，2－a≥2，解得a<－14. 综上，a>94或a<－1
4
.
18．已知p ：|3x －4|>2，q ：1
x 2－x －2>0，r ：(x －a)(x －a －1)<0.
(1)綈p 是綈q 的什么条件？
(2)若綈r 是綈p 的必要非充分条件，求实数a 的取值范围． 答案 (1)綈p 是綈q 的充分不必要条件 (2)(－∞，－1
3
]∪[2，＋∞)
解析 (1)p ：|3x －4|>2⇔x<2
3
或x>2；
q ：
1x 2－x －2>0⇔1
（x －2）（x ＋1）
>0⇔x>2或x<－1；
所以綈p ：2
3≤x ≤2，綈q ：－1≤x≤2.
因为綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒/綈p ， 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件． (2)r ：(x －a)(x －a －1)<0⇔a<x<a ＋1. 所以綈r ：x≥a＋1或x≤a.
又因为綈r 是綈p 的必要不充分条件， 所以有a≥2或a ＋1≤2
3，
解得a≥2或a≤－1
3
.
因此实数a 的取值范围是(－∞，－1
3
]∪[2，＋∞)．
1．给定两个命题p ，q.若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
2．“a>0”是“|a|>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0.但|a|>0⇒/a>0，所以a>0是|a|>0的
充分不必要条件．故选A.
3．(xx·安徽毛坦厂中学月考)设a ，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 当a ＝2，b ＝－1时，a ＋b ＝1>0，但ab ＝－2<0，所以充分性不成立；当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＝2>0，但a ＋b ＝－3<0，所以必要性不成立，故选D.
4．p ：x>1，q ：x 2＋2x －3>0.q 是p 的________条件．(填充要，充分不必要，必要不充分)
答案 必要不充分
5．(xx·河南偃师模拟)已知集合A ＝{x|a －2<x<a ＋2}，B ＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B ＝∅的充要条件是________． 答案 0≤a≤2
解析 A∩B＝∅⇔⎩⎨⎧a ＋2≤4，a －2≥－2
⇔0≤a ≤2.
6．已知f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 答案 略 解 (1)逆命题：
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
(用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛看，故假设不成立．
从而a＋b≥0成立．逆命题为真．
(2)逆否命题：
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.
原命题为真，证明如下：
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．
∴原命题为真命题．
∴其逆否命题也为真命题．
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