滁州市定远县育才学校2019学年高二数学上学期期中试题(实验班)文

育才学校2018-2019学年度第一学期期中考试
高二实验班文科数学试题
满分：150分，考试时间：120分钟；命题人：
第I 卷选择题 60分
一、选择题（12小题，共60分）1.直线MN 的斜率为2，其中点11N ，，点M 在直线1y
x 上，则（
）
A.
57M ， B. 45M ， C.
21M ， D.
23
M ，2.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（
）
A.若a ⊥b ，a ⊥α，
，则
B.若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β
C.若a ⊥β，α⊥β，则或
D.若
，
，则
3.如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（
）
A. B. C. D.
4.已知,A B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB ，若直线PA 的方程为
1
0x y ，则直线PB 的方程是（）
A. 270
x y
B. 50x
y C. 240
y x D.
21
x y 5.在正方体1111ABCD
A B C D 中，P 为棱1AA 上一动点，Q 为底面ABCD 上一动点，
M 是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何
体是（
）
A. 棱柱
B. 棱台
C. 棱锥
D. 球的一部分6.若直线2
2
1
0m x m
m y 与210x
y 互相垂直，则实数m
（）
A. 1
B. 0
C.
1或0
D.
1
7.如图所示，正四棱锥
P
ABCD 的底面面积为
3，体积为
22
，
E 为侧棱PC 的中点，
则PA 与BE 所成的角为（
）
A. 30
B. 45
C. 60
D.
90
8.已知正方体1111ABCD
A B C D 的棱长为1，在正方体的侧面
11BCC B 上的点P 到点A 距
离为
233
的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是（）
A. B. C. D.
9.已知两点
1,0M ，1,0N ，若直线2y
k x
上至少存在三个点P ，使得MNP
是直角三角形，则实数k 的取值范围是（
）
A.
11,00,
3
3
B.
33,00,
3
3
C.
11
,33
D. 5,5
10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的
体积为(
)
A.
cm 3
B.
cm 3
C.
cm 3
D. cm
3
11.已知四棱锥S ABCD 的底面是边长为2的正方形，SD
ABCD SD AB 平面，且，
则四棱锥
S ABCD 的外接球的表面积为（
）
A.
9 B.
43 C.
12 D.
10
12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为
6，底面正方形的边长为
1现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容
器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）
（
）.
A. 42
B.
22
C.
41 D.
21
第II 卷
非选择题 90分
二、填空题（每小题5分，共20分）13.如图，在边长为
4的正方形纸片
ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ，将
剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则折叠后以,,,A B C D O 为顶点的四面体的
体积为__________．
14.如图，已知正方体1111ABCD
A B C D 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面
1111A B C D 的对角线11B D 上一点，且PQ 平面11AA B B ，则线段PQ 的长为__________．
15.在三棱台中，，点、分别是棱、的中点，则在三棱
台的各棱所在的直线中，与平面平行的有__________．
16.若圆2
2
:2
4(0)C x
a
y a 被直线:30l x y 截得的弦长为
23，则
a
__________．
三、解答题（70分）17.（10分）已知ABC 的三个顶点4,6A ，4,0B ，1,4C ，求：
（1）AC 边上的高BD 所在直线的方程；（2）
BC 的垂直平分线EF 所在直线的方程；
（3）AB 边的中线的方程. 18.（12分）已知圆C 过两点3,3M ，1,5N ，且圆心C 在直线220x y 上．
（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点
2,5且与圆C 有两个不同的交点
A ，
B ，若直线l 的斜率k 大于0，
求
k 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点
3,1P ，若存在，
求出直线
l 的方程；若不存在，请说明理由．
19.（12分）如图所示，空间四边形ABCD 中，E F G 、、分别在AB BC CD 、、上，且
满足::2:1AE EB
CF FB ，:3:1CG GD
，过E F G 、、的平面交AD 于H ，连接
EH .
（1）求:AH HD ；
（2）求证：EH FG BD 、、三线共点. 20.（12分）如图，在正方体
1111ABCD
A B C D 中，棱长为a ，E 是棱1DD 的中点
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
E
（1）求三棱锥B B A E
11的体积；
（2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使1//B F 平面1A BE ？证明你的结论。

21.（12分）正方体
中，为
中点，
为
中点.
（1）求证：平面；（2）
，求三棱锥
的体积.
22.（12分）如图，在直四棱柱
1111ABCD
A B C D 中，底面四边形ABCD 为菱形，
12AA AB ，60ABC ，E 是BC 的中点.
（1）图1中，点
F 是1A C 的中点，求异面直线
,EF AD 所成角的余弦值；
（2）图2中，点
H N 、分别是11A D AD 、的中点，点M 在线段1A D 上，1123
A M A D
，求
证：平面AEH ∥平面
CNM .
高二实验班文科数学试题
参考答案与解析
1.B 【解析】设点,1M x x ,11222241
MN
x k x x x
x ，则4,5M ，
选B.
2.D 【解析】A ：记a ，b 确定的平面为γ，
，在平面γ内，∵　
，
，
∴　
，从而根据线面平行的判定可知
A 不符合题意；
B ：等价于两个平面的法向量垂直，根据面面垂直的判定可知B 不符合题意；
C ：根据面面垂直的性质可知C 符合题意；
D ：
或
，故D 符合题意，
故答案为：D ．
3.B 【解析】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体，正四面体的棱长为，
设内切球的半径为r ，
则易得：∴内切球的表面积为故答案为： B
4.B 【解析】
点P 的横坐标为2，
32,3
P P 点的纵坐标为，又
PA PB
PA PB ，的斜率互为相反数，
PB 的斜率为
1
则直线PB 的方程是32y x ，即50x y 。

故答案选B
5.A 【解析】由题意知，当P 在A ′处，Q 在AB 上运动时，M 的轨迹为过
AA ′的中点，在平
面AA ′B ′Ｂ内平行于AB 的线段（靠近AA ′），当P 在A ′处，Q 在AD 上运动时，M 的轨迹
为过AA ′的中点，在平面
AA ′D ′Ｄ内平行于AD 的线段（靠近
AA ′），
当Q 在B 处，P 在AA ′上运动时，M 的轨迹为过AB 的中点，在平面AA ′B ′Ｂ内平行于AA ′的线段（靠近
AB ），
当Q 在D 处，P 在AA ′上运动时，M 的轨迹为过AD 的中点，在平面AA ′B ′Ｂ内平行于AA ′的线段（靠近
AD ），
当P 在A 处，Q 在BC 上运动时，M 的轨迹为过AB 的中点，在平面ABCD 内平行于AD 的线段
（靠近AB ），
当P 在A 处，Q 在CD 上运动时，M 的轨迹为过AD 的中点，在平面ABCD 内平行于AB 的线段
（靠近AB ），
同理得到：P 在A ′处，Q 在BC 上运动；P 在A ′处，Q 在CD 上运动；P 在A ′处，Q 在C 处，P 在AA ′上运动；
P 、Q 都在AB ，AD ，AA ′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M 的轨迹为棱柱体．故
选：A ．
6.A 【解析】由题意得2
2
2001
m
m
m m m
或，当
0m 时直线
2
2
1
0m x
m
m y 方程为10不成立，舍去，选
A.
7.C 【解析】连接,AC BD 交于点O ，连接,,OE PO 正四棱锥P ABCD
的底面
ABCD 是正方形，O 是AC 中点，
E 是PC 中点，
//,
OE PA PA 与BE 所成的角为
,
BEO 正四棱锥
P
ABCD 的
底面积为
3，体积为
22
，
23,,62
AB BC PO AC ，
622,,,
2
2
PA OB
OE
在
Rt OEB 中，tan 3OB OEB
OE
，
60OEB ，故选 C.
8.B 【解析】正方体每个面到点
A 距离为
233
的点的轨迹如图：
则在正方体的侧面
11BCC B 上的点P 到点A 距离为
233
的点的轨迹为小圆弧。

故选
B
9.B 【解析】当
NMP ，MNP 为直角时，0k ，且k 一定存在，
故至少存在一个点，使
MPN 为直角，
即直线与圆2
2
1x
y
至少有一个交点，
∴2
211
k d
x
，解得2
13
k
，
∴
333
3
k
且0k ．故选B ．
10.A 【解析】由题意可得，设球心为O,球与不面切点为
B, 球与棱的一个切点为
C,点C 所
在截面圆圆心为
P, PB=2,PC=4,OC=R,OP=R-2,由勾股定理
得
，解得R=5, cm 3
，选 A.
11.C 【解析】由题意，将四棱锥S ABCD 扩充为正方体，体对角线长为
23，所以四棱
锥外接球的直径为23，半径为
3，所以四棱锥外接球的表面积为
2
4
312，故
选C.
12.C 【解析】有题意可知：该球形容器得半径最小值为
14136+4+1=
2
2
，所以表面积最
小值为2
4=41
R 13.
823
【解析】折叠后的四面体如图所示．
OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，
所以体积V ＝13S △OCD
·OA ＝13×1
2×(22)3＝8
2
3
14.2
2
【解析】连接1AB ，1AD ，
∵点P 是面11AA D D 的中心，∴11AD A D P ，P 是1AD 的中点，
∵PQ 平面11AA B B ，∴1PQ AB ，∴1112
11222PQ AB ．
故答案为2
2
15.，
【解析】
∵点、分别是，的中点，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面．
故在三棱台各棱所在直线中，与平面平行的有：，．
16.2-1
【解析】由题意利用弦长公式可得弦心距431d ，再由点到直线的距离公式可得23
23
122a a d ，，
解得2-1a ，或21a （舍去），
故选A ．
17.（1）240x y ；（2）6810x y ；（3）73010x y x ．
【解析】（1）由斜率公式易知k AC =-2，∴直线BD 的斜率1
2k .
又BD 直线过点B （-4，0），代入点斜式易得
直线BD 的方程为：x-2y+4=0．
（2）∵4
3k ，∴3
4k ．又线段BC 的中点为5
,22，
∴EF 所在直线的方程为y-2=-3
4（x+5
2）．
整理得所求的直线方程为：6x+8y-1=0．
（3）∵AB 的中点为M （0，-3），k CM =-7
∴直线CM 的方程为y-（-3）=-7（x-0）．
即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，
故所求的直线方程为：
7x+y+3=0（-1≤x ≤0）18.（Ⅰ）（x ﹣1）2+y 2=25；（Ⅱ）15
,8；（Ⅲ）x+2y ﹣1=0.
【解析】（I ）MN 的垂直平分线方程为：x ﹣2y ﹣1=0与2x ﹣y ﹣2=0联立解得圆心坐标为C （1，0）
R 2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25
∴圆C 的标准方程为：（x ﹣1）2+y 2=25
（II ）设直线l 的方程为：y ﹣5=k （x+2）即kx ﹣y+2k+5=0，设C 到直线l 的距离为d ，则d=
由题意：d ＜5 即：8k 2
﹣15k ＞0 ∴k ＜0或k ＞
又因为k ＞0
∴ｋ的取值范围是（，+∞）
（III ）设符合条件的直线
l 存在，则AB 的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x ﹣3）即：x+ky+k ﹣3=0
∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k ﹣2=0 即k=2
∵k=2＞
故符合条件的直线存在，l 的方程：x+2y ﹣1=0.
19.（1）3:1；（2）证明见解析.
【解析】（1）∵2AE CF EB FB
，∴//EF AC . ∴//EF 平面ACD .而
EF 平面EFGH ，且平面EFGH 平面ACD GH ，
∴//EF GH .而//EF AC ，
∴//AC GH .
∴3AH
CG HD GD ，即:3:1AH HD
. （2）证明：∵//EF GH ，且13EF AC ，14GH AC ，
∴EF GH ，∴四边形EFGH 为梯形.
令EH FG P ，则P EH ，而EH 平面ABD ，
P FG ，FG 平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD ，∴P BD .∴EH FG BD 、、三线共点.
20.（1）63
a V ；（2）详见解析.
【解析】（1）631
3
1111a
h S V B B A B B A E ·
（2）存在
F O
E
A B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
如图取11D C 中点F ,连D C EF F B 11,,,连A B 1交B A 1于O EF 是D C D 11的中位线
D
C EH C
D EF 121
,//因为正方体1111
ABCD A B C D 所以A
B O B 1121又因为四边形11AD
C B 是平行四边形，
所以D C A B 11//，D
C A B 11所以,//1EF O B ,
1EF O B 所以四边形OEF B 1是平行四边形，
所以OE F B //1,
所以1//B F 平面1A BE
法二：取1CC 中点H ,则平面//1HF B 平面BE
A 1H
F E
A B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
21.（1）证明过程见解析；（2）.
【解析】（1）取中点，连接，，有，所以是平行四边形，
所以，
又平面，
平面，
所以平面，得证.
（2）正方体中，
,,
点到面的距离即为,
所以三棱锥的体积
.
22.（1）2
cos 4
CEF 【解析】（1）因为底面四边形ABCD 为菱形，
所以AD BC ，异面直线,EF AD 所成角即为直线,EF BC 所成角，EFC 或其补角，连结1A B ，122A B ，2EF ，1EC ，2CF ，
2
cos 4
CEF （2）1A GH 与AGD 相似，12AG GD ，1113A G
A D ，112
3
A
M A D ，
所以1DM MG GA ，又AN ND
MN ∥AH,CN ∥AE,
CN NM N ，AE AH A ，
平面AEH ∥平面CNM .。