山东省济南市济钢高中高三数学4月第三次模拟考试 文 新人教A版

山东省济南市济钢高中2014届高三数学4月第三次模拟考试
文 新人教A 版
一、选择题（共10道小题，每题5分，共50分）
1．设集合{|2sin ,[5,5]}M y y x x ==∈-，2{|log (1)}N x y x ==-，则M
N =
（ ）
A ．{|15}x x <≤
B ．{|10}x x -<≤
C ．{|20}x x -≤≤
D ．{|12}x x <≤ 2．已知复数2
1i
z =-+，则
（ ）
A ．||2z =
B ．z 的实部为1
C ．z 的虚部为﹣1
D ．z 的共轭复数为1+i 3．下列命题中的真命题是 山东中学联盟
（ ）
A ．对于实数a 、b 、c ，若a b >，则22ac bc >
B ． x 2＞1是x ＞1的充分而不必要条件
C ．,R αβ∃∈ ，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立
D ．,R αβ∀∈，tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
++=
-⋅成立
4.如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为
（ ）
A ．π)3412(+
B ．20π
C ．π)3420(+
D ．28π
5．双曲线122
22=-b
y a x 的离心率为3,则它的渐近线方程是
（ ）
A ．x y 2±=
B ．x y 2
2
±= C ．x y 2±= D ．x y 2
1±
= 6．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；
③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.下列四个图中，函数10ln 11
x y x +=
+的图象可能是 （ ）
A B C D 8．数列{}n a 中，352,1,a a ==如果数列1
{
}1
n a +是等差数列，则11a = （ ）
A ．0
B ． 111
C ．113-
D ．17-
9．已知函数2014
sin (01)
()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨
>⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a ＋b
＋c 的取值范围是
（ ） A ．（1，2014）
B ．（1，2015）
C ．（2，2015）
D ．[2，2015]
10．已知抛物线2
4y x =的准线过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点且与双曲线交于A 、
B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为3
2，则双曲线的离心率为
（ ）
A ．3
2
B ．4
C ．3
D ．2
二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分）
11．设32()32f x ax x =++，若f (x )在x =1处的切线与直线330x y ++=垂直，则实数a 的值
为 ．
12．设关于x ，y 的不等式组210,
0,0.x y x m y m -+>⎧⎪
-<⎨⎪+>⎩
表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，
则m 的取值范围是 .
13．在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知222a c b -=,且
sin cos 3cos sin A C A C =，
则b = .
14．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB 在A 点处与圆O
相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ·AB 的 取值范围是 .
15．函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称
()f x 为单函数.例如,函数()1()f x x x =+∈R 是单函数.下列命题:
①函数2()2()f x x x x =-∈R 是单函数;
②函数2log ,2,
()2,x x f x x x ≥⎧=⎨
-<2.⎩
是单函数;
③若()f x 为单函数, 12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠;
④若函数()f x 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()f x 一定是单函数. 其中真命题是 (写出所有真命题的编号). 三、解答题（本大题共6小题，满分75分） 16．（本题满分12分）
已知向量a =（cos ,sin x x ωω），b =（cos x ω,3cos x ω），其中（02ω<<）．函
数21)(-
⋅=x f ，其图象的一条对称轴为6
x π
=． （I ）求函数()f x 的表达式及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 为其面积，若()2
A f =1，b =l ，
S △ABC =a 的值．
17.（本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，
AD ∥BC ,CE ∥BG ，且2
BCD BCE π
∠=∠=，平面ABCD ⊥平面
BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2. 求证: （Ⅰ）EC ⊥CD ；
（Ⅱ）求证：AG ∥平面BDE ； （III ）求：几何体EG-ABCD 的体积.
18．（本小题满分12分）
对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：
重量段
[80，85）
[85，90）
[90，95）
[95，100]
件数
5
a
15
b
规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有“A ”
型2件
（Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B ”型的概率；
（Ⅱ）从重量在［80,85)的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率. 19．（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和n n S kc k =-（其中c ，k 为常数），且a 2=4，a 6=8a 3
（1）求a n ；
（2）求数列{na n }的前n 项和T n 。

20．（本小题满分13分）
已知关于x 的函数()(0)e
x
ax a
f x a -=≠ （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 取值范围.
21．（本小题满分14分）如图；.已知椭圆C: 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点T 为圆心作圆T:2222)(0),x y r r ++=>（设圆T 与椭圆C 交于点M 、N. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程;
（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线MP ,NP 分别与x 轴交于点R ，S ，
O 为坐标原点。

求证：OR OS ⋅为定值.
高三数学试题（文）参考答案
一、选择题：DCCBA ACACD 二、填空题：
11．－1； 12．2,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
； 13．4 14．[]5,5- 15．③
三、解答题
由余弦定理得2
2
2
41241cos6013a =+-⨯⨯︒=，……11分
故a =分
17.（Ⅰ）证明：由平面ABCD ⊥平面BCEG ，
平面ABCD ∩平面BCEG =BC , ,CE BC CE ⊥⊂平面BCEG , ∴EC ⊥平面ABCD ，…………3分
又CD ⊂平面BCDA , 故 EC ⊥CD …………4分
（Ⅱ）证明：在平面BCDG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ，连
DM ，则由已知知；MG =MN ，MN ∥BC ∥DA ,且1
2
MN AD BC ==
∴MG ∥AD ,MG =AD ， 故四边形ADMG 为平行四边形， ∴AG ∥DM ……………6分
∵DM ⊆平面BDE ，AG ⊄平面BDE ， ∴AG ∥平面BDE …………………………8分
（III ）解：11
33EG ABCD D BCEG G ABD BCEG ABD V V V S DC S BG ---∆=+=⋅+⋅ …………………… 10分
121117
2212132323
+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= …………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）设“从该批电器中任选1件，其为”B”型”为事件A 1，
则15059
()5010
P A -=
=，……………………………………………………………………3分 所以从该批电器中任选1件，求其为”B”型的概率为
9
10
. ……………………………4分 （Ⅱ）设“从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为”A”型”为事件A 2,记这5件电器分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中”A”型为a ，b .从中任选2件，所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种．……………8分
其中恰有1件为”A”型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种．………… 10分 所以263
()105
P A =
=.所以从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A”型的概率为3
5. (12)
分
19．(1)当1n >时，11()n n n n n a S S k c c --=-=- 则11()n n n n n a S S k c c --=-=-
656()a k c c =-，323()a k c c =-
65
363238a c c c a c c
-===-，∴c=2.∵a 2=4，即21()4k c c -=，解得k=2，∴2n n a =（n ）1） 当n=1时，112a S == 综上所述*2()n n a n N =∈ (2) 2n
n na n =，则
232
3
4
1
222322(1)
2122232(1)22
(2)
n n n n n T n T n n +=+⋅+⋅+
+=⋅+⋅+⋅+
+-+
（1）-（2）得
23122222n n n T n +-=++++-
12(1)2n n T n +=+-
20．解：（Ⅰ）2
e (2)(2)()(e )e x x x
a x a x f x ----'=
=
，x ∈R . ………………………………2分
当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：
所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2()e f x -=-. ……………………………6分 （Ⅱ）(2)()()e x
a x F x f x --''==
.
①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：
---7分
因为F (1)=1＞0, …………………………………………………………………………8分
若使函数F (x )没有零点，需且仅需2(2)10e
a
F =
+>，解得2e a >-,………………… 9分 所以此时2
e 0a -<<；……………………………………………………………………10分
②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：
-----11
分
因为(2)(1)0F F >>,且10110101110e 10
e 10(1)0e
e
a a
a
F a
--
----
=<
<，
所以此时函数()F x 总存在零点. ……………………………………………………12分 （或：当2x >时，()F x =
()111,e x
a x -+>
当2x <时，令()F x =
()110,e
x
a x -+<即()1e 0,x
a x -+<
由于()()21e 1e ,x a x a x -+<-+令()21e 0,a x -+<
得21e x a <-，即2
1e x a
<-时()0F x <，即2x <时()F x 存在零点.）
综上所述，所求实数a 的取值范围是2
e 0a -<<.………………………………13分
21．解：（I
）由题意知2,c a a ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
解之得；2,a c ==222c a b =-得b=1，
故椭圆C 方程为2
214
x y +=;…………………3分
（II ）点M 与点N 关于x 轴对称，
设1111(,),(,)M x y N x y - 不妨 设01>y . 由于点M 在椭圆C 上，∴
2
211
14
x y =-, 由已知),2(),,2),0,2(1111y x y x T -+=+=-（则, 22111111(2,)(2,)(2)TM TN x y x y x y ∴⋅=++-=+-, 阶段22
21115812)(1)()4455
x x x =+--=+-（;
由于22,x -<<故当18
5x =-时，TM TN ⋅取得最小值为-5
1,
当185x =-时135y =，故83(,),55M -又点M 在圆T 上，代入圆的方程得213
25
r =,故圆T
的方程为：2213
2)25
x y ++=（；.……………………………………………………………..8分
（III ）设00(,)P x y ，则直线MP 的方程为01
0001
(),y y y y x x x x --=
-- 令0y =，得100101R x y x y x y y -=-，同理100101S x y x y x y y +=+, 故2222
100122
01R S x y x y x x y y -⋅=-，……10分
又点M 与点P 在椭圆上，故222200114(1),4(1)x y x y =-=- ，
得2222221001012222
01014(1)4(1)4()
4R S y y y y y y x x y y y y ----⋅=
==--， 4R S R S O R O S x x x x ∴⋅=⋅=⋅=为
定值．…………………………………………….14分。