2018年秋高中数学课时分层作业20复数代数形式的乘除运算新人教A版选修2-2

课时分层作业（二十）复数代数形式的乘除运算
（建议用时：40分钟） ［基础达标练］
、选择题
已知复数z 满足(z — 1)i = 1 + i ，则z =(
)
B. — 2+ i
D. 2+ i
[z — 1=匕+丄=1— i ，所以 z = 2 — i ，故选 C.]
[占
+
(
1
+
3i
)
[••• (3 — 4i) z = |4 + 3i| , 5
5 Mi
二 z =3—7=可
zr
4
故z 的虚部为5选D ］ 5.
设复数z 的共轭复数是 z ，若复数 乙=3 + 4i , z 2= t + i ，且Z 1 •
z 2是实数，则实 数t 等于（
）
1. A. B. 1-i C.
D.— 1— i
[..1+i
3
21 l + i
—1 — i ，选 D.]
4. A.
C.
—|+ (2 .3+ 1)i ,
对应点
若复数z 满足(3 — 4i) z = |4 + 3i|
，则z 的虚部为（
B.
D.
2. 【导学号：31062225】
A. C.
3.
在复平面内，复数
占+
（1
+
3i ）2
对应的点位于（
A. 第一象限
B.第二象限
C. 第三象限
D.第四象限
A ［ T Z 2= t + i ,.•. z 2= t — i.
z i • z 2= (3 + 4i)( t — i) = 3t + 4 + (41 — 3)i ,
又••• Z i • T2 € R,. 4t — 3 = O ,. t = 4.］
、填空题
6. i 为虚数单位，若复数 z =芋丝,z 的共轭复数为 三，则z • I
2— i
【导学号：31062226】
.1 + 2i 1 + ?丄 ？ + 丄 5i . z =h=二 丁= 7 =i ，
z =— i , . z • z = 1.
［答案］1
［解析］••• — = b + i ,. a + 2i = (b + i)i =— 1 + b i ,
a =— 1,
b = 2,. a + b = 1.
［答案］1
&设复数Z 1、Z 2在复平面内的对应点分别为 A 、B,点A 与B 关于x 轴对称，若Z 1 (1 —
i) = 3— i ，贝U | Z 2I = ________ .
3 — i 3 — j
］ + I
［解析］•••乙(1 — i) = 3— i ,.乙= =
=2+ i ，: A 与 B 关于 x
1 — i J. — 1
1+1
轴对称，.乙与Z 2互为共轭复数，••• Z 2= z 1= 2 — i ，二| Z 2| = 5.
［答案］,5 三、解答题 9•已知复数z =总. (1)求Z 的实部与虚部；
2
⑵ 若z + mz + n = 1 — i( m n € R, z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值.
4 - 3 3-4 - A G
3 -.
4 -3 -
［解
7.已知 a + 2i
i
=b + i( a , b € R)，其中i 为虚数单位，则 a + b =
所以z 的实部为2,虚部为1.
(2)把 z = 2 + i 代入 z 2 + mz + n = 1 - i ,
2
得(2 + i) + m 2 — i) + n = 1 — i ,
2m+ n +3= 1, 所以
解得m= 5, n =— 12.
4 — m=— 1.
z
10 .把复数z 的共轭复数记作 z ，已知(1 + 2i) z = 4 + 3i ，求z 及 .
z
【导学号：31062227】
［解］设 z = a + b i( a , b € R)，贝U z = a — b i ,
由已知得：(1 + 2i)( a — b i) = (a + 2b ) + (2a — b )i = 4 + 3i ，由复数相等的定义知， a + 2b =4, 2a — b = 3.
■-
得 a = 2, b = 1，- z = 2+ i. z 2 + i 2 + j 2
3 + 4i 3 4
•-7 = 2^ = IT 丁 = 丁 = 5 + 5i.
［能力提升练］
1.
设复数Z 1, Z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
Z 1 = 2 + i ，贝y Z 1Z 2=
( )
A. — 5
B. 5
C.
— 4+ i
D.— 4— i
A ［ v 乙=2 + i , Z 1与Z 2关于虚轴对称，
Z 2 = — 2+ i ,
Z 1Z 2=— 1 — 4=— 5,故选 A.］
2.
设Z 1, Z 2是复数，则下列命题中的假命题是
(
)
A. 若 | Z 1 — Z 2| = 0,则 z 1= z 2
B. 若 Z 1 = z 2
，贝U z
1
= Z 2
C. 若 | Z 1| = |
Z 2|，贝U Z 1 • z 1= Z 2 • Z 2
D.
若 | Z 1| = | Z 2| ，贝U z 2= z 2
［解］(1)z =
— f
5 2+1
5
D ［A , | Z1 —Z2| = 0? Z1 —Z2= 0? Z1= Z2? z 1= z 2, 真命题；B, Z1= z 2? z
1 = z 2
=Z2,真命题;
2 2
C, | Z1| = I Z2I ? I Z1I = | Z2| ? Z1 • Z 1 = Z2 • z 2,真命题;
［解］(1)因为z 是虚数，所以可设 z = x + y i , x , y € R,且沪0.
2 2 2 2
D,
当 | z i | = |Z 2| 时，可取 z i = 1, Z 2= i ，显然 z i = 1, Z 2=— 1,即 Ze Z 2,假命题.］
3.
若Z 1 = a + 2i , Z 2= 3— 4i ,且」为纯虚数，则实数 a 的值为
Z 2
【导学号：31062228 ］
3a + 4a i + 6i — 8 25
:〕a — +
乜+「
25
4.
------------------------------------------------------------------------------------------- 设x 、y 为实数'且 百
+
汙无=3T '则x +
y = ---------------------------------------------------------------------
由复数相等的充要条件知
x + y = 1
2 十 5 2， x 2
3
.尹 5y =
2.
...x —1， y = 5,
.x + y = 4. ［答案］4
1
5.设Z 是虚数，3 = z + -是实数，且一 1 v 3 v 2,
z
(1) 求|z |的值及Z 的实部的取值范围；
［解
Z 1 a + 2i a +2i 3 +［一 Z 2— 3 — 4i — 9+ 16
3a — 8= 0, 4a + 6工 0,
8 .a = 3.
•
I
2 - 5
+
+
y
一 5
+
X-2
1
1 —Z
(2) 设u= 1^Z，证明u为纯虚数.
【导学号：31062229 ］
1 1
所以 3 = z + = x + y i +
z x + y i
,.,x- yi , x f y . ' x + y x + y fx + y ■
因为3是实数且y 工0,
y
所以 y —2= 0,
7
x + y 所以 x 2+ y 2= 1, 即 | z | = 1.此时 3 = 2x . 因为一1 v 3 v 2, 所以一1 v 2x v 2,
1
从而有—x v 1,
⑵证明：设 z = x + y i , x , y € R ,且 y z 0, 由⑴
知，x 2 + y 2 = 1,
1 — z 1 — x + yi u= “ = “ r
1 + z 1 + x + yi 1 — x — yi + x — yi
+ x 2 2
+ y
2 2 1 — x — y — y . 2 2 1 + x + y
=—
1 + x i.
因为x €
-1,1, y 主o ,
所以u 为纯虚数.
即z 的实部的取值范围是
所以
y
1+ x。