新教材人教B版必修第二册 对数运算法则 学案

4.2.2 对数运算法则
自主预习
复习回顾
问题1 对数的定义及性质有哪些?
问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗? 问题3 指数的运算法则有哪些? 课前自测
1.用分数指数幂的形式表示下列各式. (1)√x 23
= ;(2)√x
3= ;(3)√x
3
= .
2.用对数的形式表示x.
(1)10x =25;(2)5x
=6; 3.求值.
(1)log 21
8;(2)log 48;(3)lg 1+lg 10+lg 100. 4.解方程.
(1)log 7(log 3x )=1;(2)(12)x
82x
=4.
课堂探究
探究一 对数的运算法则 证明运算法则一
log a (MN )=log a M+log a N ,a>0且a ≠1. 请同学们写出探究结论: (1) (2) (3)
探究二 运算法则的应用
例1 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式.
(1)log a xx x ;(2)log a (x 3y 5
);(3)log a 2√x √z
3.
例2 求(lg 2)2
+lg 20×lg 5的值. 探究三 证明、应用换底公式
阅读课本第22~23页,讨论公式的证明并解决问题. 例3 求log 89×log 2732的值. 变式训练
求log 2125×log 38×log 51
9的值.
课堂练习
(1)已知3a
=2,用a 表示log 34-log 36.
(2)已知log 32=a ,3b =5,用a ,b 表示log 3√30. 课堂小结 (1)
(2)
核心素养专练
作业A 基础练习 练习A 第4,5题. 练习B 第3,4,5题. 作业B 提升练习 限时20分钟完成. 1.化简求值.
(1)-log 2log 2√√√2;(2)log 48-lo g 19
3-lo g √24;
(3)log 43log 925log 58;
(4)(log 25+log 415)(log 52+log 251
2).
2.已知log 189=a ,18b
=5,则log 3645= .(用a ,b 表示) 3.设3a =4b
=36,求2x +1
x 的值.
参考答案
自主预习
:略 课前自测:
1.(1)x 23 (2)x -13 (3)x 12x -2
3 2.(1)x=lg 25 (2)x=log 56 3.(1)-3 (2)3
2 (3)
3 4.(1)x=37
(2)x=2
5 课堂探究
:略
例1 (1)log a x+log a y-log a z (2)3log a x+5log a y
(3)2log a x+1
2
log a y-1
3
log a z
例2 原式=(lg 2)2+(2lg 2+lg 5)·lg 5=(lg 2)2+2lg 2·lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2
=1. 例3 log 89×log 2732=lg9
lg8×lg32lg27=2lg33lg2×5lg23lg3=10
9
. 变式训练
12 课堂练习
(1)a-1 (2)1
2a+x 2+1
2 课堂小结
核心素养专练
作业B
1.(1)3 (2)-2 (3)3
2
(4)1
4
2.x +x
2-x 3.a=log 336=
lg36lg3
,b=log 436=
lg36lg4
,则2
x +1x =
2lg3lg36+lg4lg36
=
lg(32×4)
lg36
=1.
学习目标
1.通过对数运算法则的推导,培养逻辑推理的核心素养.
2.通过对数运算法则的运用,培养数学运算的核心素养.
自主预习
认真阅读课本第20~23页,做好预习笔记. 1.积、商、幂的对数
对于a>0且a ≠1,M>0,N>0,
积的对数log a (MN )=log a M+log a N.
真数为有限多个正因数相乘的情形,即 log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 商的对数log a x x
=log a M-log a N. 幂的对数log a M n
=n log a M. 2.换底公式
log a b=log x x
log x
x ,a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.
课堂探究
一、积、商、幂的对数
请同学们判断一下几组数是否相等? (1)lg 100+lg 0.1与lg (100×0.1); (2)log 28+log 24与log 232.
1.你知道log 63与log 62的值吗?你能算出log 63+log 62的值吗?如果设x=log 63,y=log 62,则6x = ,6y
= ,怎样由这两个式子得到x+y ?
2.由指数运算的法则a αa β=a α+β
能得出对数运算具有什么运算法则?
一般地,设a α=M>0,a β=N>0,则有log a M=α,log a N=β.由a α+β=a αa β
=MN. 可知log a (MN )=α+β,代入α与β的值,有 log a (MN )=log a M+log a N.(积的对数=对数的和)
真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 特别地,当正因数全部相等时,可得
log a N k
=k log a N (正数的k 次方的对数=正数的对数的k 倍),其中k 是正整数.
我们还可以由(a β)α=a β×α
得出
log a M α
=αlog a M ,其中α为任意实数(证明留作练习).例如,
lg 0.001=lg 10-3
=-3lg 10=-3. 另外,由上面两个结论可知
log a x x
=log a (MN -1)=log a M+log a N -1
=log a M-log a N.(商的对数=对数的差) 例1 log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a
xx x ;(2)log a (x 3x 5
);(3)log a 2√x √z
3. 例2 计算下列各式的值.
(1)lg 4+lg 25;(2)lg √1003
;
(3)log 2(47×25);(4)(lg 2)2
+lg 20×lg 5. 二、换底公式
我们能不能借助lg 3和lg 5求出log 35的值呢? 一般地,我们有 log a b=xxx c x
xxx c
x ,
其中a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.这一结果通常被称为换底公式. 换底公式及常用的推论
(1)log a b=xxx c x
xxx c
x (a>0且a ≠1,c>0且c ≠1,b>0)叫做换底公式.
(2)由换底公式可得两个结论:
①lo x a m b n =x
x log a b ; ②log a b=1
log
x x
(或log a b ·log b a=1).
例3 求log 89×log 2732的值. 例4 求证lo g x x b s
=x x
log a b ,
其中a>0且a ≠1,b>0,s ∈R,t ∈R 且t ≠0. 三、对数式的化简求值 例5 计算下列各式的值. (1)12lg 3249-4
3lg √8+lg √245;
(2)lg 52
+2
3lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
.
对数式的化简求值这类问题一般有两种处理方法:
一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值.
课堂练习
一、积、商、幂的对数 1.计算下列各式的值.
(1)log 26-log 23;(2)lg 5+lg 2;(3)log 53-log 51
3; (4)log 35-log 315;(5)ln √e ;(6)lg 100-2
.
2.已知3a
=2,用a 表示log 34-log 36. 二、换底公式
3.已知log 32=a ,3b
=5,用a ,b 表示log 3√30.
4.已知lg 2≈0.301 0,求lg 5的近似值(精确到0.000 1). 三、对数的运算法则
5.计算:log 54×log 85.
6.化简:√(log 35)2
-4log 35+4.
核心素养专练
1.求下列各式的值. (1)lg 0.001-log 271
81; (2)log 48+lo g 12
4;
(3)log 7√493
.
2.(1)已知α∈R,a>0且a ≠1.由(a β)α=a β×α,证明log a M α
=αlog a M ; (2)由对数的定义证明换底公式log a b=
log x x log x x
.
3.计算(lg5)2+lg 2×lg 50的值.
4.求证log x y×log y z×log z x=1.
5.比较log 62与log 63的大小.
6.化简lg 5×lg 8 000+(lg2√3
)2
+lg 0.06-lg 6. 7.化简
2lg2+lg3
1+12lg0.36+13
lg8.
参考答案
自主预习
课堂探究
课堂练习
1.(1)1 (2)1 (3)2 log 53 (4)-1 (5)1
2 (6)-4
2.由3a
=2,可知a= log 32,因此原式=log 346=log 32
3= log 32-1=a-1. 3.log 3√30=1
2log 330=1
2(1+a+b ) 4.lg 5=1-lg 2≈1-0.301 0=0.699 0 5.2
3
6.2-log 35 核心素养专练 1.(1)-5
3 (2)-1
2 (3)2
3
2.(1)设a β
=M ,则β=log a M ,所以
log a M α=log a (a β)α=log a a β×α
=α×β.
把β=log a M 代入,即可得log a M α
=αlog a M.
(2)设对数log a b=x ,则a x =b ,且a=√b x ,于是x log x x =√x x
,则x x log x x =b ,两边取以c 为底的对数得
x log c a=log c b ,
则x=log x x log x x
,即log a b=
log x x log x x
.
3.1
4.左边=
lg x lg x ×lg x lg x ×lg x
lg x
=1=右边 5.log 62<log 63 6.1 7.1。