高考数学总复习考点知识讲解与提升练习29 简单的三角恒等变换

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习
专题29 简单的三角恒等变换 考点知识
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S 2α：sin2α＝2sin αcos α.
(2)公式C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.
(3)公式T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α. 2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2
.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝
⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2，tan 2α＝1－cos2α1＋cos2α
.(降幂公式) 思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(√)
(2)存在实数α，使tan2α＝2tan α.(√)
(3)cos 2θ2＝1＋cos θ2
.(√) (4)tan
α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(√) 教材改编题
1．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12
等于() A.12 B.33 C.22 D.32
答案D
解析方法一(公式法)因为cos 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
－5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2
π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32. 方法二(代值法)因为cos π12＝6＋24，cos 5π12＝6－24， 所以cos 2π12－cos 25π12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋242－⎝ ⎛⎭
⎪⎫6－242＝32. 2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan2α等于() A ．－43 B.34 C ．－34 D.43
答案D
解析由题意知，tan α＝－2，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43
. 3．若α为第二象限角，sin α＝513
，则sin2α等于()
A ．－120169
B ．－60169 C.120169 D.60169
答案A
解析因为α为第二象限角，sin α＝513
， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫5132＝－1213， 所以sin2α＝2sin αcos α＝2×
513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169.
题型一三角函数式的化简
例1(1)(2021·全国甲卷)若α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝cos α2－sin α，则tan α等于() A.1515 B.55 C.53 D.153 答案A
解析方法一因为tan2α＝
sin2αcos2α＝2sin αcos α1－2sin 2α
， 且tan2α＝cos α2－sin α
， 所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14. 因为α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515
.
方法二因为tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin α
cos α1－sin 2αcos 2α
＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14
. 因为α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515
. (2)已知sin α＋cos α＝
233，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案13
解析因为sin α＋cos α＝233
， 两边同时平方得sin 2
α＋2sin αcos α＋cos 2α＝43， 即sin2α＝13
， 由降幂公式可知sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1－sin2α2＝12－12sin2α＝13. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1(1)若f (α)＝2tan α－2sin 2α2
－12sin α2·cos α2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是________． 答案6－ 3
解析依题意，f (α)＝2tan α－－cos αsin α
＝2tan α＋1tan α
， 而tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan
π3－tan π41＋tan π3·tan π4＝3－11＋3＝2－3， 于是得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2(2－3)＋12－3
＝6－3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是6－ 3. (2)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2
－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2＝________. 答案2sin α
解析⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan
α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2
＝cos 2
α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin α2cos αcos α2 ＝2cos αsin α·cos α2
cos αcos α2＝2sin α. 题型二三角函数式的求值
命题点1给角求值
例2计算：(1)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°；
(2)12sin10°－32cos10°
； (3)cos10°(1＋3tan10°)－2sin50°1－cos10°
. 解(1)原式＝12
cos20°·cos40°·cos80° ＝sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝sin160°16·sin20°＝116
. (2)原式＝cos10°－3sin10°2sin10°·cos10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin20°＝2sin (30°－10°)sin20°
＝2. (3)原式＝cos10°＋3sin10°－2sin50°2sin5°＝2sin40°－2sin50°2sin5°
＝2sin40°－2cos40°2sin5°＝22sin (40°－45°)2sin5°＝－22sin5°2sin5°
＝－2. 命题点2给值求值 例3(2023·长春质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2α＋π6等于()
A.23
B.29 C ．－19 D ．－79
答案D
解析∵sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＋3cos α＝13， ∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13
， ∴12sin α－32cos α＋3cos α＝13
， ∴12sin α＋32cos α＝13
， ∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π2 ＝cos2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝2cos 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－1 ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫132－1 ＝－79
. 命题点3给值求角
例4已知sin α＝210，cos β＝31010
，且α，β为锐角，则α＋2β＝. 答案π4
解析因为sin α＝210
，且α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝1－2100＝7210， 因为cos β＝31010
，且β为锐角，所以sin β＝1－cos 2β＝1－90100＝1010， 那么sin2β＝2sin βcos β＝2×
1010×31010＝35， cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝45
， 所以cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝7210×45－210×35＝22
， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2β∈(0，π)． 所以α＋2β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，3π2，故α＋2β＝π4. 思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练2(1)已知α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝cos α－1，则sin2α等于() A.34 B ．－38 C ．－34或0 D.38
答案C
解析∵sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，
∴2sin αcos α＋2cos 2α＝cos α，
当cos α＝0时，等式成立，此时sin2α＝0；
当cos α≠0时，sin α＋cos α＝12
， 两边平方得sin2α＝－34
. 综上可得，sin2α＝－34
或0. (2)(2023·南京模拟)已知sin ⎝
⎛⎭⎪⎫15°－α2＝tan210°，则sin(60°＋α)的值为() A.13 B ．－13 C.23 D ．－23
答案A
解析∵sin ⎝
⎛⎭⎪⎫15°－α2＝tan210°， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫15°－α2＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan30°＝33， 则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫15°－α2＝1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫15°－α2＝23， cos(30°－α)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫15°－α2－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫15°－α2＝13， ∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]
＝cos(30°－α)＝13
. 题型三三角恒等变换的综合应用
例5已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3π4. (1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3的值；
(2)若锐角α满足f (α)＝33
，求sin2α的值． 解(1)由题意得
f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3
＋3cos2x ＝12sin2x ＋32
cos2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝0. (2)∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3，又∵f (α)＝33， ∴f (α)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝33， 又∵sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝33<32， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3
，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝－63，
∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝
33×12＋63×32＝3＋32
6
. 思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 跟踪训练3已知3sin α＝2sin 2α
2
－1. (1)求sin2α＋cos2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，2tan 2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
解(1)因为3sin α＝2sin 2
α
2
－1， 所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－1
3
，
又因为sin2α＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1－tan 2α
1＋tan 2α，
所以sin2α＋cos2α＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13＋1－
191＋19＝15.
(2)因为β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，所以tan β<0，
因为2tan 2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0， 所以tan β＝－1
2
，
又因为α∈(0，π)，tan α＝－13，所以π
2<α<π.
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝－13－1
21－1
6＝－1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
π2<β<π，π2<α<π，
得π<α＋β<2π，所以α＋β＝
7π
4
. 课时精练
1．已知x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
－π2，0，cos(π－x )＝－45，则tan2x 等于() A.
724 B ．－724 C.247 D ．－24
7
答案D
解析因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，cos(π－x )＝－45，
所以cos x ＝45，sin x ＝－1－cos 2x ＝－3
5，
由同角三角函数的关系， 得tan x ＝sin x cos x ＝－3
4.
因此tan2x ＝2tan x
1－tan 2x
＝2×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－341－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－342
＝－247.
2．(2023·保定模拟)已知sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π4＝223，则sin2θ的值为()
A.79B ．－79C.29D ．－2
9 答案B
解析由sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ－π4＝223，
得sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4＝22(sin θ－cos θ)＝223，
即sin θ－cos θ＝4
3
，
等式两边同时平方，得1－sin2θ＝16
9，
所以sin2θ＝－7
9
.
3．(2023·枣庄模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α－4π3等于()
A ．－59B.59C ．－13D.1
3
答案A
解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－4π3＝cos
⎝ ⎛
⎭⎪⎫－π＋2α－π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3－2α
＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫π6－α
＝－⎝
⎛
⎭⎪⎫1－2×29＝－59.
4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若4m 2＋n ＝16，则
m n 2cos 227°－1
的值为()
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 答案C
解析因为m ＝2sin18°，
所以由4m 2＋n ＝16，可得n ＝16－4(2sin18°)2＝16cos 218°， 因此
m n 2cos 227°－1
＝
2sin18°·4cos18°cos54°＝4sin36°cos54°＝4cos54°
cos54°
＝4.
5．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是() A ．cos(－15°)＝
6－24
B ．sin15°sin30°sin75°＝1
8
C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－1
2
D ．2sin18°cos36°＝1
2
答案BD
解析对于A ，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋2
4
，所以A错误；
对于B，sin15°sin30°sin75°＝sin15°sin30°cos15°＝1
2
sin15°cos15°＝
1
4
sin30°＝1
8
，所以B正确；
对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－
35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝1
2
，所以C错误；
对于D,2sin18°cos36°＝2cos72°cos36°＝2×sin144°
2sin72°
×
sin72°
2sin36°
＝
sin36°
2sin36°
＝
1
2
，
所以D正确．
6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三
角形．如图，在黄金△ABC中，BC
AC
＝
5－1
2
，根据这些信息，可得sin54°等于()
A.25－1
4
B.
5＋1
4
C.
5＋4
8
D.
5＋3
8
答案B
解析由题设，可得cos72°＝1－2sin236°＝5－1
4
，又因为cos236°＋sin236°＝1，
所以cos 2
36°＝5＋38，又cos36°∈⎝
⎛⎭⎪⎫22，32，
所以cos36°＝cos(90°－54°)＝sin54°＝
5＋1
4
. 7．(2023·淄博模拟)sin12°(2cos 212°－1)
3－tan12°＝.
答案18
解析因为sin12°(2cos 212°－1)3－tan12°＝sin12°cos12°cos24°3cos12°－sin12°
＝1
4sin48°
2sin48°＝1
8.
8．(2023·青岛模拟)已知tan2θ＝－22，π4<θ<π
2，则2cos 2
θ
2－sin θ－1
2sin ⎝
⎛
⎭⎪
⎫θ＋π4＝________.
答案－3＋2 2
解析由tan2θ＝－22，即
2tan θ1－tan 2
θ＝－22，解得tan θ＝2或tan θ＝－2
2
. 因为π4<θ<π
2，所以tan θ＝2且cos θ≠0.
则
2cos 2θ
2－sin θ－12sin ⎝
⎛
⎭⎪
⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－2
1＋2＝－3＋2 2. 9．化简并求值．
(1)3－4sin20°＋8sin 320°
2sin20°sin480°；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
1cos 280°－3cos 2
10°·1cos20°
.
解(1)原式＝3－4sin20°(1－2sin 220°)2sin20°sin480°＝3－4sin20°cos40°
2sin20°sin480°
＝
2sin (20°＋40°)－4sin20°cos40°2sin20°sin480°＝2sin (40°－20°)2sin20°sin480°＝1sin480°＝1
sin120°
＝
23
3
. (2)原式＝(cos10°－3cos80°)(cos10°＋3cos80°)
cos 280°cos 210°cos20°
＝
(cos10°－3sin10°)(cos10°＋3sin10°)
cos 280°cos 210°cos20°
＝
4cos70°cos50°cos 280°cos 210°cos20°＝4sin20°sin40°
sin 210°cos 210°cos20°
＝32sin 220°cos20°sin 220°cos20°
＝32. 10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，求tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3；
(2)已知cos2θ＝－45，π4<θ<π
2
，求sin4θ，cos4θ.
(3)已知sin(α－2β)＝437，cos(2α－β)＝－1114，且0<β<π4<α<π
2，求α＋β的
值．
解(1)因为tan(α＋β)＝35，tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫β－π3＝13，
所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫β－π31＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝35－131＋35×
13＝
2
9
.
(2)由π4<θ<π2，得π2<2θ<π，∴sin2θ＝1－cos 2
2θ＝35，
sin4θ＝2sin2θcos2θ＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425，
cos4θ＝2cos 22θ－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－452－1＝3225－1＝725.
(3)由0<β<π4<α<π2，得0<2β<π2，－π2<－2β<0，则－π4<α－2β<π
2
.
因为sin(α－2β)＝43
7
>0，所以cos(α－2β)＝1－⎝
⎛⎭
⎪⎫4372
＝1－
4849＝17
. 由0<β<
π4<α<π2，得π2<2α<π，－π
4
<－β<0， 则
π
4
<2α－β<π， 因为cos(2α－β)＝－1114，所以sin(2α－β)＝53
14.
因为π4<α＋β<3π
4
，
又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12，所以α＋β＝π3
.
11．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，tan α＝cos2β1－sin2β，则()
A ．α＋β＝π2
B ．α－β＝π
4
C ．α＋β＝π4
D ．α＋2β＝π
2
答案B
解析tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2β
(cos β－sin β)2
＝
cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋β.
∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈
⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2， ∴α＝π4＋β，即α－β＝π
4
.
12.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于
355
113
，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2cos 27°
π16－π2
的值为() A ．－18B ．－8C ．8D.18
答案A
解析将π＝4sin52°代入1－2cos 27°π16－π2
，
可得1－2cos 27°π16－π2＝－cos14°4sin52°16－16sin 2
52°＝－cos14°16sin52°cos52°＝－cos14°8sin104° ＝－
cos14°8sin (90°＋14°)＝－cos14°8cos14°＝－1
8
.
13．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33
，α∈(0，π)，则()
A ．cos α＝1
3
B ．sin α＝2
3
C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α2＋π4＝6＋236
D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝23－6
6
答案AC 解析∵sin
α2＝3
3
，α∈(0，π)， ∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α
2＝
1－sin 2
α2＝6
3
. ∴cos α＝1－2sin 2
α
2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13
，故A 正确； sin α＝2sin
α2cos α2＝2×33×63＝223
，故B 错误； sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α2＋π4＝sin α2cos π4＋cos α2sin π4
＝
33×22＋63×22＝6＋23
6
，故C 正确； sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α2－π4＝sin α2cos π4－cos α2sin π4
＝
33×22－63×22＝6－23
6
，故D 错误． 14．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝－35，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π3＝513，则sin(α＋β)＝，cos(2α－β)＝.
答案
3365204
325
解析因为sin ⎝
⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3＝－35， sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫β－π3＝513，
所以α＋π3为第二象限角，β－π
3为第一象限角，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1－cos 2
⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π3＝45， cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫β－π3＝
1－sin 2⎝
⎛
⎭⎪⎫β－π3＝1213，
所以sin(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3·sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π3＝3365.
cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π) ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3
＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3·sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π3
＝－1213cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－513sin2⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π3
＝－1213⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－1－1013·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3·cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3＝204325.
15．(2023·武汉模拟)f (x )满足：∀x 1，x 2∈(0,1)且x 1≠x 2，都有
x 2f (x 1)－x 1f (x 2)
x 1－x 2
<0.a ＝
sin7°sin83°，b ＝tan8°1＋tan 28°，c ＝cos 25π
24－12，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c
的大小顺序为()
A.f (a )a <f (b )b <f (c )c
B.f (a )a <f (c )c <f (b )
b
C.
f (b )b <f (c )c <f (a )a D.f (c )c <f (a )a <f (b )b
答案C
解析a ＝sin 7°sin83°＝sin7°cos7°＝12sin14°，b ＝tan8°1＋tan 2
8°＝sin8°cos8°cos 28°＋sin 28°＝12sin16°，c ＝12cos 5π12＝12sin π12＝1
2
sin15°，∴a <c <b . 由题意得，∀x 1，x 2∈(0,1)且x 1≠x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)
x 1－x 2<0，即f (x 1)x 1－f (x 2)
x 2x 1－x 2<0，
∴y ＝
f (x )x 在(0,1)上单调递减，∴f (b )b <f (c )c <f (a )
a
. 16.(2023·盐城模拟)已知由sin2x ＝2sin x cos x ，cos2x ＝2cos 2x －1，cos3x ＝cos(2x ＋
x )可推得三倍角余弦公式cos3x ＝4cos 3x －3cos x ，已知cos54°＝sin36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18°＝________；如图，已知五角星ABCDE 是由边长为2的正五边形GHIJK 和五个全等的等腰三角形组成的，则HE →·HG →＝
________.
答案
5－1
4
5＋ 5
解析因为cos54°＝cos(90°－36°)＝sin36°，所以4cos 318°－3cos18°＝2sin18°cos18°，
即4cos 218°－3＝2sin18°，即4(1－sin 218°)－3＝2sin18°，即4sin 218°＋2sin18°－1＝0，
因为0<sin18°<1，解得sin18°＝－2＋4＋168＝5－14.
在五角星ABCDE 中，EG ＝EI ，HG ＝HI ，HE ＝HE ，故△EHG ≌△EHI ， 从而可得∠HEG ＝12∠CEB ＝18°，∠EHG ＝1
2
∠IHG ＝54°，
过点H 作HM ⊥BE ，垂足为点M ，如图，则∠GHM ＝18°，于是cos∠GHM ＝HM
GH
，
从而有HM ＝GH cos∠GHM ＝2cos18°，于是EH ＝
HM sin∠HEG
＝
2cos18°
sin18°
，
所以HE →·HG →＝|HE →|·|HG →|cos54°＝2×2cos18°
sin18°×sin36°＝8cos 218°＝8－8sin 218°
＝8－8×⎝
⎛⎭
⎪⎫5－142
＝8－(3－5)＝5＋ 5.。