让向量之舟载你渡河—研究性课题“向量在物理中的应用”的解法探讨

联 立 ① 、 得 ｍｓ ② ０＝一０ ７ ５ － ０＝ １ ７ ． ．３ ６ ￣ ３ 。 ｔ＝
雨
＝
＿ ｌ ：．ｍ） ４ ｎ ・ ｉ． ４ ’ （
教 材 中给 出 的其余 几 种 情 况 均 可 类 似 求 解 ， 在
此 不加 赘述 ．
Ｊ Ｉ ＝ １ ，ＩＶ ＝ ４ Ｃ Ｉ Ｉ ， ｐ 与 ｐ ｐ Ｉ ０ ２Ｉ ，ｌ ： Ｂ ＡＢ Ｉ求 ｌ ２
Ｉ ＝ Ｉ Ｔ ｉｆ ）一 ． ｒｎ． Ｉ ｝ｓ ＿ ｐ — ｐ ｎ（ ＝ － ＝６２ ｉ ７ ｒ一 ‘（ ） ａ
ｔ
问题 ３ 若 Ｂ ： Ｄ ２ ０ 要 使 船 到 达 Ｄ ５ ｍ， 处 ，。 ｐ ｐ 与 ２的夹 角 ０多 大 ？ 行驶 多少 时 间 ？ 船
Ｊ
Ｉ １ ＝ ０，Ｉ ２ ＝ ４，Ｉ Ｉ
１
Ｂ ：÷ Ｉ Ｂ Ｉ求 ｐ Ｄ１ ， ｌ Ａ
Ｉ ｌｌ ２Ｉ ０＋ Ｉ ｌ ｍｓ
图３
ｊ ２ ＿
・ ２＝ ０ 又 Ｊ ２： 且 ． ＋ ２
２・ ｌ ２ ２・ （ ＋ ）＝
分 析 如 图 ３， 由
船航 行 的速 度 Ｉｐ ＝ １ ｋ ｈ 水 流 速度 Ｉｐ ＝ 。Ｉ ０ ｍ／ ， ２Ｉ ４ ｍ／ ． 么 ｐ 与 ｐ 的 夹角 （ 确 到 ｒ） ｋ ｈ那 。 ： 精 多大 时 ， 船 才能 垂直 到 达对 岸 Ｂ 处 ？ 行 驶 多 少 时 间 （ 确 到 船 精
与ｐ ：的夹 角 以及船 行驶 时 间 ｔ ．
ｐｌ ￣ ｓ＝ 号 ＝１＂ ２２ ｍ０ 一 ＝０ １， ４￡
Ｔ －
ｄ
解 Ｉ 专ＩＢ￣ ＤＢ ａｔ １ Ｉ Ｌ Ａ ：ｒ Ｂ ＝ ＡＩ Ｄ ｃ 锄
： ２ ．。 ６ ６． ｐ 与 ｐ ｌ ２的夹 角 ０为 １６ ６ ． １ ．‘ ｌ＋ ２＝ 且 ≠ ０ ＞ ２： ＝ ２・（ ＋ ）＝ ２・ ｌ ２
ｌ ２ ｓ ＝ Ｉｐ Ｉ ｌ Ｉ ｍ ０
儿６＋８ ｍｓ ０ ０： Ｉ ② Ｉ ｐ ．
图 ｌ 图 ２
问题 ２ 若 Ｂ ＝ ５ ０ 要使 船 到 达 Ｃ 处 ， ． Ｃ ０ ｍ， ｐ
与ｐ ２的夹 角 ０多 大 ？ 行驶 多少 时 间？ 船 分析 如 图 ２， 由题 意 知 ： ｌ＋ ｐ ｐ ２＝ ｐ ，
ｍｓ３ 。 ４ ｍｓ １ ５￣ ０ ０：一ｌ ６—２
ＩｐＩ① ．
用正 弦定 理 、 弦定 理求 解 的 ， 余 笔者 认 为此 解法 没 有
充分 体现 本节 的 意 图 用 “ 向量 有 关 知 识 研 究 物 理 中 的相 关 问题 ” 特 给 出此 问题 的 向量 解 法 ， 大 家 参 ， 供
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《 中学 数学 杂 志》 高 中） ２ ０ （ ０ ２年 第 ６期
１ ３
让 向 量 之 舟载 你 渡 河
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研 究性课 题 “ 向量 在 物理 中的应 用 ”的解 法探 讨
连 云 港 市 东方 中 学 ２２４ ２０ ２ 丁 雪 梅
高 中数学 新 教 材第 一 册 （ ）的 “ 究 性 课 题 ： 下 研
０１ ｎ？ ．ｍｉ）
分析 如 图 ｌ 将 原 问题转 化 为数 学 问题得 ： 。 ， ｐ
＋ｐ ２＝ ｐ Ｉ １ ，Ｉ ２Ｉ ４ ｐｊ ２ 求 ｐ 与 ｐ ，Ｉ Ｊ ＝ ０ ＝ ， ＿ｐ ， ｐ ｐ Ｊ ２ 的 夹 角 ０以及船行 驶 时间 ｔ ．
解
≠０
题意 知 ： ｌ＋ ｐ ｐ ２＝ ｐ ，
的夹 角 ０以 及船 行驶 时 间 ｔ ． 解 Ｉ Ｃ Ｉ Ｉ ＝ Ｉ Ｂ ＡＢ Ｃ ＡＢ ＝４ 。 ｐ 与 Ｖ ５ ｌ ２
考．
ｌ＋ ２： ≠ ０ Ｉ Ｉ ＋ Ｉ ２Ｉ ＋ ２ Ｉ ｌ ｌ ２ Ｉ ｌ Ｉ
ｍｓ ０＝Ｉｐ Ｉ
儿６＋８ ｍｓ ０ ０＝ ＩｐＩ ② ．
联立 ① 、 得 ｍｓ ② ０：一０ ８ ８ ０＝ １ １ ， ．７￣ ５ 。ｔ＝
问题 ｌ 一 条 河 的 两 岸 平 行 ， 的 宽 度 ｄ ＝ 河 ５ ０ 一 艘 船从 Ａ 处 出发 航 行 到 河 的 正对 岸 Ｂ 处 ． ０ ｍ．
向量 在物 理 中的应 用 ”中 的 渡河 问 题 ， 材 是 “ 据 教 根 向量 的平 行 四边形 法 则和 解 直角三 角形 的知识 ” 利 ，
的夹 角为 １ ５ ． ｌ＋ ｐ ３。ｐ ２＝ ｐ且ｐ ２≠ ０ Ｖ （ ｌ＋ ２。 ｐ
２
）： ２・
Ｉ ｌ ｌ ２Ｉ ０＋ Ｉ ２Ｉ ＝ Ｖ ｌ ｌ ｍｓ ２ ｌ
＿ ＝ ＝
ｊ ｊ ｍｉ） ＿￣ ｎ ’
．、
ｌ Ｉ ｌ ｌ ２Ｉ ｓ ０＋ Ｉ ２ Ｉ ＝ ｝ ２ ｌ ｐ Ｉ ｓ ｌ ｍ ｌ ｍ ｌ ６．
６ ． ０ ０＋１ 。￣４ ｍｓ ６： ４ ｌ ６ ６ ． ｍｓ １ ．。Ｉ Ｉ① ｐ
又 Ｉ＋ ｐ ： ｐ≠ Ｏ Ｉ Ｉ Ｉ ＋Ｉ ２ Ｉ ＋ ２ Ｉ ２ ｐ ｐ ｐ Ｊ