初中数学巧用系数 妙解方程组学法指导

巧用系数 妙解方程组
任守辉
解二元一次方程组的基本思想是“消元”——把二元转化成一元，通常所使用的方程是代入消元法和加减消元法，但有些方程组的系数间具有特殊性，我们要根据它的具体特点，选择较为简便的方法，灵活地求解。

一、代入法
将方程组中的一个方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（如
b kx y +=）
，再代入另一个方程达到消元的目的。

例1. 解方程组⎩⎨⎧=++=②①
.19y 2x 3,2x y
解：将①代入②，得()192x 2x 3=++，
解得3x =。

将3x =代入①，得5y =，
所以原方程组的解是⎩
⎨⎧==.5y ,3x 二、加减法
通过适当变形，使方程组中某未知数的系数相同或相反，再进行加减即可达到消元的目的。

例2. 解方程组⎩⎨
⎧=-=+②①.7y x ,11y x 解：①+②，得9x =，
把9x =代入得2y =，
所以原方程组的解是⎩
⎨⎧==.2y ,9x
三、消常法
两个方程的常数项相同，消去常数项。

例3. 解方程组⎩⎨⎧=+-=-②①
.72y 10x 21,9y 5x 3
解：②①+⨯8，得0y 30x 45=-，
y 2x 3=，③
将③代入①，解得3y =。

将3y =代入③，得2x =。

所以原方程组的解是⎩
⎨⎧==.3y ,2x
四、叠加法
观察系数的特点，两个未知数系数在两个方程中轮换出现，可用叠加消元法。

例4. 解方程组⎩⎨
⎧=+=+②①.149y 51x 49,151y 49x 51 解：①+②，得300y 100x 100=+，
得3y x =+，③
①-②，得2y 2x 2=-，
得1y x =-。

④
解③、④组成的方程组⎩
⎨⎧=-=+.1y x ,3y x 得⎩⎨⎧==.
1y ,2x
所以原方程组的解是⎩
⎨⎧==.1y ,2x
五、换元法
引入一个或几个新变量代替原式中某些变量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，再代回求出关于原变量的结果，这种解决问题的方法叫做换元法。

例5. 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.5y
1x 1,1y 1x 1 解：设m x
1=，n y 1=， 则原方程组可化为⎩
⎨⎧=-=+.5n m ,1n m 解得⎩
⎨⎧-==.2n ,3m 所以原方程组的解是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==.21y ,31x 六、整体求解法
把方程组中某些含有未知数的代数式看做一个整体，通过先求这些代数式的值，再求未知数的值。

例6. 解方程组⎩
⎨⎧=--=.1y 3x 2,5y 3x 4 解：原方程组可化为
⎩
⎨⎧=--=-②①.1y 3x 2,5y 3x 4 ①可变形为()5x 2y 3x 2-=+-，③
将②代入③，得5x 21-=+，
解得3x -=。

将3x -=代入②，解得3
7y -=。

所以原方程组的解是⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=.37y ,3x
七、参数法
解方程组的基本思想是消元，而引入参数时不仅没有消元，反而增加了元，但它能够更好地消元。

例7. 解方程组()()()()⎩⎨
⎧-=++=-②①.3y 31x 2,3y 21x 5 解法1：由①设()()k 103y 21x 5=+=-，则1k 2x +=，3k 5y -=，
代入②，得()()6k 532k 22-=+，
解得2k =，
故原方程组的解是⎩
⎨⎧==.7y ,5x 解法2：由②设()()k 63y 31x 2=-=+，
则1k 3x -=，3k 2y +=，
代入①，得()()6k 222k 35+=-，
解得2k =。

故原方程组的解是⎩
⎨⎧==.7y ,5x 数学思想方法是数学知识的灵魂，是解决数学问题的金钥匙，我们在平时学习中要善于观察，勤于反思，不断总结解题技巧，逐步提高解题能力，努力把数学知识学活学透。