2023学年人教版九年级上册数学第22章二次函数图像与性质讲义

2023学年九年级上册第4讲二次函数的图象和性质（1）
知识点1 二次函数的概念
1.二次函数：一般地，形如）是常数，0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 的
函数，叫做二次函数，其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。

2.二次函数必须同时满足三个条件（1）函数解析式是整式
（2）化简后自变量的最高次数是2
（3
【例1】如果函数()132
32++−=+−mx x
m y m m 是二次函数，试确定m 【变式练习】
（1）y=2x 2
-3x ；（2）y=x 3
+2；（31− （4） y=0x 2-3x
（5）y=(x-3)2
-x
2
（6）y=
x
1
x 12+知识点2 二次函数2ax y =的图象和性质 ☞ 重点．．
1.抛物线：二次函数c bx ax y ++=2
的图象是一条曲线，这条曲线叫抛物线
c bx ax y ++=2。

抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点，
顶点是抛物线的最低点或最高点。

2.用描点法画二次函数2
ax y =的图象一般步骤
（1）列表 （2）描点 （3）连线 【注意】：（1）用描点法画出图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的（2）在画二次函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画出尖的，一般来说 选点越多，图象越精确。

（3）抛物线是向两端无限延伸的，左右两侧应关 于对称轴对称。

【例2】用描点法画二次函数2
2
1x y =
和221x y −=的图象。

函数
2ax y =（0＞a ）
(以
2x y =为例)2ax y =（0＜a ）
(以
2x y −=为例)
图象
开口方向 顶点坐标 对称轴 最大（小）值 当x= 时，y 最小=________
当x= 时，y 最大=_______
函数的变化
当x>0时，y 随x 增大而 ；
当x<0时，y 随x 增大而 ； 当x>0时，y 随x 增大而； 当x<0时，y 随x 增大而
；
【例3】已知二次函数2
5
6x y −=，回答下列问题：（1）抛物线2
5
6x y −
=开口方向______，对称轴是_______，顶点坐标________
（2）当x ＞0时，y 随x 的增大而_______，
当x ＜0时，y 随x 的增大而_______（3）对于任意x 的值，总有函数值y_____0，
当x=______时，y 有最_____值，是________【变式练习】1.抛物线2
3x y =，2
3x
y −
=，2
3
1
x y =的共同性质是（ ）A.开口向上 B.对称轴是y 轴
C.都有最高点
D.y 随x 的增大而增大
2.在同一平面直角坐标系中，二次函数2
ax y =与一次函数a ax y +=的图象大致是（ ）
知识点3 二次函数k ax y +=2的图象和性质 ☞ 重点．．
1.二次函数k ax y +=2
与2
ax y =图像间的关系
二者图象形状相同，只是位置不同，抛物线k ax y +=2可由抛物线2
ax y =沿y 轴向上（下）平移k 个单位长度得到。

（1）当k ＞0k
ax y ax y k y k y += ← →
=22
抛物线抛物线个单位长度
轴向下平移沿个单位长度
轴向上平移沿（2）当k ＜0k
ax y ax y k y k y += ← →
=22
抛物线抛物线个单位长度
轴向上平移沿个单位长度轴向下平移沿
k ax y +=2
0＞a
0＜a
图象 顶点坐标 对称轴
最大（小）值 当x= 时，y 最小=______ 当x= 时，y 最大=_______
函数的变化
当x>0时，y 随x 增大而 ； 当x<0时，y 随x 增大而 ； 当x>0时，y 随x 增大而 ； 当x<0时，y 随x 增大而 ；
【例4】已知抛物线322
−=x y
（1）它的开口方向_____，对称轴：_________，顶点坐标：_______ （2）把抛物线22x y =______________________得到抛物线322
−=x y （3）若点（-4，y 1），（-1，y 2）在抛物线322
−=x y 上，则y 1__________y 2 （填“＞”“＜”“=”）
【变式练习】对于抛物线y=-x 2
+1与y=x 2
-1,描述正确的是（ ） A.开口方向相同 B.顶点相同 C.当x>0时，y 随x 的增大而增大 D.对称轴相同
知识点4 二次函数()2
h x a y −=的图象和性质 ☞ 重点．．
1.二次函数2)h x a y −=（与2
ax y =图象间的关系
二者图象形状相同，只是位置不同，抛物线2)h x a y −=（可由抛物线2
ax y =沿x 轴向右（左）平移h 个单位长
度得到。

（1）当h ＞022
)h x a y ax y h x h x −= ← →
=（抛物线抛物线个单位长度
轴向左平移沿个单位长度
轴向右平移沿
（2）当h ＜022
)h x a y ax y h x h x −= ← →
=（抛物线抛物线个单位长度
轴向右平移沿个单位长度
轴向左平移沿
2、二次函数
2
)h x a y −=（
0＞a 0＜a
图象
开口方向 顶点坐标 对称轴
最大（小）值
当x= 时，y 最小=_______
当x= 时，y 最大=________
）0(≠a
【例5】在同一平面直角坐标系中，画出函数22
1x y −=
与()2
221−−=x y
的图象，并根据图象回答下列问题 （1）抛物线()2221
−−=x y 可以有抛物线221x y −=怎样平移得到？ （2）抛物线()222
1
−−
=x y 的对称轴是_______；当x ＜______时，曲线 自左向右上升；除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的__________方 （3）对于函数()222
1
−−
=x y ，当x ＞_______时，y 随x 的增大而减小； 当x=_______时，y 有最大值，最大值是___________。

（1）开口方向 ；顶点坐标： ；对称轴： ； （2） 当x= 时，y 有最 值为 ；
当x 时，y 随x 增大而增大。

【课堂检测】
1.下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x
y=3（x －1）2
＋2；③y=（x ＋3）2
－2x 2
；④y=＋x ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2.函数12)2(2+++=+x x
m y m
m 是二次函数，则m 的值为（ ）
A.-2
B.0
C.-2或1
D.1 3.若二次函数7
2−=m mx
y 的图象开口向下，则m 的值为（ ）
A.-3
B.3
C.-9
D.±3 4.函数12
+=x y 的图象大致是（ ）
x 121
x 函数的变化
当x>h 时，y 随x 增大
而 ；
当x<h 时，y 随x 增大而 ；
当x>h 时，y 随x 增大而 ；
当x<h 时，y 随x 增大而 ；
5.二次函数c ax y +=2
（a ≠0）中，当x 分别取1x ，2x （1x ≠2x ）时，它们对应的函数相等，则当x 取1x +2x 时，函数值为（ ） A.a+c
B.a-c
C.-c
D.c
6.在同一平面直角坐标系中，下列抛物线不可能有抛物线2
2x y =平移得到的是（ ）A.5
22
+=x y B.5
22
−=x y C.10
22
−=x y D.1
32
+=x y 7.抛物线()2
32−=x y 的顶点坐标为（ ）A.（3,0） B.（-3,0） C.（0,3）
D.（0，-3）
8.对于二次函数()2
35+=x y 的图象，下列说法不正确的是（ ）A.开口向上
B.对称轴是直线x=-3
C.顶点坐标为（-3,0）
D.当x ＜-3时，y 随x 的增大而增大
9.已知二次函数()2
23+=x y 的图象上有三点A （1，1y ），B （2，2y ），C （-3，3y ），则1y ，2y ，3y 之间的大小关系为（ ） A.1y ＞2y ＞3y B.2y ＞1y ＞3
y C.3y ＞1y ＞2
y D.3y ＞2y ＞1
y 10.要得到抛物线()2431
−=
x y ，可将抛物线23
1x y =（ ） A.向上平移4个单位长度 B.向下平移4个单位长度C.向右平移4个单位长度 D.向左平移4个单位长度11.已知4
2
2−++=k k x k y ）（是二次函数，且函数图象有最高点。

（1）求k 的值
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 增大而减小。

【课后作业】
1.若二次函数2
ax y =的图象经过P （2,4），则该图象必经过点（ ）A.（-2，-4） B.（-2,4） C.（-4，2）
D.（4，-2）
2.若点P （-3，1y ），Q （2，2y ）都在抛物线12
+−=x y 上，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A.1y ＞2
y B.1y =2
y C.1y ＜2
y D.无法确定3.关于二次函数322
−=x y ，下列说法正确的是（）
A.图象开口向下
B.图象经过点（2,3）
C.图象的对称轴是直线x=1
D.最小值是-3
4.将二次函数2
x y =的图象向下平移1个单位长度，则平移后得到的图象对应的二次函数的解析式为（ ）A.1
2
−=x y B.1
2
+=x y C.()
2
1−=x y D.()2
1+=x y 5.在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x=-2的是（）
A.()
2
2+=x y B.2
22
−=x y C.2
22
−−=x y D.()
2
22−=x y
6.二次函数()2
13+=x y 的图象不经过的象限是（ ）
A.第一、第二象限
B.第二、第四象限
C.第三、第四象限
D.第二、第三象限
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数2
n mx y +−=与二次函数m x y +=2
的图像可能是（ ）
8.下列函数中，当x>0时，y 随x 增大而减小的是 （ ）
A.y=x
B.y=2x-2
C.y=-x 2
D.y=x
2
9.下列是二次函数的是。

（1）y=-x 2
； （2）y=ax 3
+bx+c ；（3）x
x y 1
2
−
=（4）y=x(x+1)-x 2 （5）y=(2x-3)-x 2
（6）y=
2
2x x +10.（1）已知1−−=x x y m
是关于x 的二次函数，则实数m=。

（2）已知132
−−−=x x m y ）（是关于x 的二次函数，则实数m 的取值范围是。

11.已知点（-1，1y ），（2，2y ），（-3，3y ）都在函数2
2x y =的图象上，则1y ，2y ，3y 之间的大小关系为______________。

（用“＜”连接）
12.抛物线12
−=x y 与y 轴的交点坐标为________，与x 轴的交点坐标为______________________13.抛物线y=ax 2
的图像经过点A （2，-2），（1）这个函数的解析式为
；
（2）抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 坐标 ，△AOB 的面积是
；
（3）抛物线上一点C 满足S △ABC =
2
1
S △AOB,求点C 坐标。

2023学年九年级上册第5讲二次函数的图象和性质（2）知识点1二次函数()k
h
x a
y+
−
=2的图象和性质☞重点
．．
1.二次函数k
h
x
a
y+
−
=2)
（与2ax
y=图像间的关系
图象是一条抛物线，可由二次函数2
ax
y=的图象向右（左）平移h个单位长度，
再向上（下）平移k个单位长度得到。

2.二次函数()k
h
x
a
y+
−
=2的图象和性质
k
h
x
a
y+
−
=2)
（（0＞a）k
h
x
a
y+
−
=2)
（（0＜
a）
图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
最大（小）值当x= 时，y最小= 当x= 时，y最大=
函数的变化
当x>h时，y随x增大而；
当x<h时，y随x增大而；
当x>h时，y随x增大而；
当x<h时，y随x增大而；
【例1】对于抛物线()3
2
2
12
+
+
=x
y，给出下列结论：
①抛物线()3
2
2
12
+
+
=x
y可由抛物线2
2
1x
y=先向左平移2个单位长度，
再向上平移
3个单位长度得到；②对称轴为直线2
=
x；③顶点坐标为
（-2,3）；④当2
−
＞
x时，y随x的增大而增大。

其中正确结论的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式练习】二次函数y=3(x+2)2+1
（1）开口方向；顶点坐标：；对称轴：；
（2）当x= 时，y有最值= ；
当x>-2时，y随x增大而
知识点2二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象和性质☞重难点
．．．
1.二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象的顶点坐标和对称轴
把二次函数c
bx
ax
y+
+
=2化成k
h
x
a
y+
−
=2)
（的形成，
可得到c
bx
ax
y+
+
=2的性质。

c
bx
ax
y+
+
=2=
a
b
ac
a
b
x
a
4
4
2
2
2−
+
+，对称轴：直线
a
b
x
2−
=；
顶点坐标：（
a
b
x
2−
=，
a
b
ac
4
42
−
）
2.图象和性质
字母的符号
图象的特征 a 0＞a
开口向上 0＜a
开口向下 b
0=b
对称轴为y 轴 0＞ab （a ，b 同号）
对称轴在y 轴左侧 0＜ab （a ，b 异号）
对称轴在y 轴右侧 c
0=c
图象经过原点 0＞c 与y 轴正半轴相交 0＜c
与y 轴负半轴相交
拓展：二次函数c bx ax y ++=2
，
（1）当x=1时，y=a+b+c 。

此时，若y ＞0，则a+b+c ＞0；
若y=0，a+b+c=0；若y ＜0，则a+b+c ＜
0。

（2）当x=-1时，y=a-b+c 。

此时，若y ＞0，则a-b+c ＞0；
若y=0，a-b+c=0；若y ＜0，则a+b+c ＜0。

【例2】 已知二次函数3422
++−=x x y ，请回答下列问题： （1）试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数3422
++−=x x y 的图象， 并指出抛物线3422
++−=x x y 是由抛物线22x y −=经过怎样的 平移得到的?
【变式练习】将抛物线562
+−=x x y 向上平移2个单位长度，再向右 平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A.()642−−=x y B.()242
−−=x y
C.()222
−−=x y D.()312
−−=x y
【例3】二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示。

给出下列结论： ①0＜b ； ②0＞c ；
③0＞c b a ++；④024＜c b a ++。

其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【变式练习】如图，二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）的图象与x 轴的
交点（-1,0）和（3,0），则下列结论： ①0＞a ； ②02=+b a ；
③0＞c b a ++；④当31＜＜x −时，y ＞0. 其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
知识点3 用待定系数法求二次函数解析式
1.设一般式确定二次函数的解析式
抛物线上任意三个点的坐标，可将二次函数的解析式设为一般式
c bx ax y ++=2，然后列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组的解
2.设顶点式确定二次函数的解析式
已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小）值，可将此二次函数的 解析式设为顶点式：
()k h x a y +−=2
，再把已知的另外一个点或两点的坐标代入，
求出待定系数的值。

（1）抛物线顶点在原点，设解析式为：2
ax y = （2）抛物线顶点在y 轴上，设解析式为：c ax y +=2 （3）抛物线顶点在x 轴上（或抛物线与x 轴只有一个交点）， 设解析式为：2
）（h x a y −=
（4）若抛物线过原点，可设解析式为：bx ax y +=2
3.设交点式确定二次函数的解析式
抛物线与x 轴的两个交点的坐标（或已知抛物线与x 轴的一个交点的坐标 和对称轴）和另一个点的坐标，设抛物线的解析式为))21x x x x a y −−=（（ （1x ，2x 是二次函数图象与x 轴的交点的横坐标），再将另外一个点的 坐标代入求解。

【例4】已知二次函数的图象经过（1,4），（2,1），（0,1）三点，求 这个二次函数的解析式。

【变式练习】某抛物线过点（0,-1），(1,0),（-1,2）三点，
求抛物线的解析式。

【例5】已知抛物线的顶点是（1,2），且经过点（3,-6），则抛物线的解析式是________________
【变式练习】二次函数的图像与y轴交于（0,3），对称轴是直线x=-2，函数最小值为-1，求它的解析式。

【例6】经过A（4,0），B（-2,0），C（0，3）三点的抛物线的解析式是_________________________
【变式练习】二次函数的图象经过（1,0），（3,0），顶点坐标为（2，2）求抛物线的解析式。

【课堂检测】
1.将抛物线2
3x y =先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A.()3232++=x y
B.()3232−+=x y
C.()3232−−=x y
D.()3232+−=x y 2.二次函数()122
−+=x y 的图象大致是（ ）
3.已知二次函数()5232
+−=x y ，则有（ ） A.当x ＞-2时，y 随x 增大而减小 B.当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大
C.当x ＞2时，y 随x 的增大而减小
D.当x ＞2时，y 随x 增大而增大
4.将二次函数422+−=x x y 化为()k h x a y +−=2
形式，下列正确的是（ ） A.()212+−=x y B.()312+−=x y C.()222+−=x y D.()422
+−=x y 5.抛物线2532−
+−=x x y 的对称轴是直线（ ） A.x=3 B.x=
23 C.x=23− D.x=25− 6.二次函数322−−=x x y 中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）
A.0，-4
B.0，-3
C.-3，-4
D.0,0
7.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0,-4）和（1,1），则该二次函数的解析式为（ ）
A.4362++−=x x y
B.4322
−+−=x x y
C.422−+=x x y
D.4322−+=x x y
8.对称轴平行于y 轴的抛物线的顶点为（2,3），且抛物线经过点（3,1），则该抛物线的解析式是（ ）
A.3822++−=x x y
B.3822+−−=x x y
C.5822−+−=x x y
D.2822+−−=x x y
9.已知二次函数的图象如图，则该函数的解析式是（ ）
A.22+−−=x x y
B.22++=x x y
C.22+−−=x x y
D.22++−=x x y
10.如图是二次函数()k m x y ++=2的图象，其顶点坐标M （1，-4）， （1）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标
（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S △△4
5=
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
【课后作业】
1.将抛物线()322
−+=x y 向右平移3个单位长度，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（ ）A.（ 0，-2） B.（0，-1） C.（0,2） D.（0,3）
2.对于二次函数()32412−−−
=x y 下列说法正确的是（ ） A.图象开口向上
B.图象的对称轴为直线x=2
C.图象的顶点坐标为（-2，-3）
D.当x ＞2时，y 随x 的增大而增大3.将函数c bx ax y ++=2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为322−−=x x y ，则（ ）
A.b=2，c=2
B.b=2，c=0
C.b=-2，c=-1
D.b=-3，c=24.已知函数442−−=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ）
A.x ＜2
B.x ＞2
C.x ＞-2
D.-2＜x ＜45.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，
则下列结论正确的是（ ）
A.a ＞0
B.c ＞0
C.2a=-b
D.b ＞a
6.已知二次函数在x=1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向均与抛物线22x y −=相同，则这个二次函数的解
析式是（ ）
A.322+−−=x x y
B.422+−=x y
C.8422++−=x x y
D.6422
++−=x x y 7.已知抛物线过点A （-1，0）和点B （3,0），与y 轴交于点C ，且BC=23，则这条抛物线的解析式为（ ）
A.3
22++−=x x y B.322
−−=x x y C.322++−=x x y 或3
22−−=x x y D.322−+=x x y 或322++−=x x y 8.已知函数()9322+−=x y （1）该抛物线的开口方向_______，对称轴为直线________，顶点坐标为_________；
（2）当x=_______时，函数有最_________值，是_____________；（3）当x________时，y 随x 的增大而增大，当x________时，y 随x 的增大而减小；
（4）该函数图象先向_____平移______个单位长度，再向____平移_______个单位长度可以得到22x
y =9.如图，在平面直角坐标系中，已知直线421+−
=x y 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点C 的坐标为（-2,0）
（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；
（2）如果M 为抛物线的顶点，连接AM ，BM ，求四边形AOBM 的面积。