数字信号处理基础书后题答案中文版

Chapter 2 Solutions
2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。

2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f =
3.18 Hz 。

信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。

(b)、35000π
=ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。

(c)、7
3000π
=ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。

2.3 (a) 1258000
1f 1T S S ===
μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。

2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。

因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。

对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。

所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。

因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。

2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。

因此，5个周期为5/1250 sec 。

对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。

采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。

这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。

事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。

2.6
2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍 (a) 采样频率满足奈奎斯特采样定理，所以没有混叠发生。

(b) 采样频率对于这个信号来说太低了，所以混叠发生了。

混叠图用虚线展示，最后的频谱用实线展示。

2.8 蜂窝电话信号是带宽受限的。

传输范围为30 kHz 。

最小采样频率至少为60kHz 。

在这道题中，60kHz 采样频率是足够的。

传输范围的基带搬移能被一个截止频率为
2.9 (a)、信号在300Hz 处的镜像出现在3001000±-, 3000±, 3001000±,
3002000± Hz ，......，即–1300, –700, 300, 700, 1300, 1700, 2300 Hz ，......。

这些信号只有一个位于奈奎斯特范围内（采样后能被恢复的范围，这道题为0到500Hz ）。

真实的信号频率为
300Hz ，没有混叠发生。

(b)、信号的镜像出现在6001000±-, 6000±, 6001000±,
6002000±Hz ，......，即–1600, –600, –400, 400, 600, 1400, 1600, 2600Hz ，......。

这些信号只有400Hz 落在奈奎斯特范围内。

这是混叠频率。

(c)、信号的镜像出现在13001000±-, 13000±, 13001000±,
13002000±Hz ，......，即–2300, –1300, –300, 300, 700, 1300, 2300, 3300Hz ，......。

这些信号只有300Hz 落在奈奎斯特范围内。

这是混叠频率。

2.10 (a)、信号在100到400Hz 发生混叠。

频率倒置不发生在基带。

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率/kHz
0 30 60 90 120
2.11 8kHz 的采样频率允许奈奎斯特范围为0到4kHz 。

在采样之后，信号的频谱搬移发生在–24000 ± 25000, –16000 ± 25000, –8000 ± 25000, 0 ± 25000, 8000 ± 25000, 16000 ± 25000Hz......。

奈奎斯特范围内唯一的镜像点为1000Hz 。

这就是混叠频率。

2.12 最简单的方法是通过看这两个信号有相同的采样点来比较两者。

采样时刻由nT S 2.13 由于目标的镜像出现在0 ± 0.2 MHz, 2 ± 0.2 MHz, 4 ± 0.2 MHz, … 900 ± 0.2 MHz ，目标的实际频率为900.2MHz 。

2.14 车轮每转一圈，轮胎走过πd = .635π = 1.995 m 。

自行车速为15 km/h ，即
15000/3600 = 4.17 m/sec 。

因此，自行车每个轮子以
cycles/sec 09.2m/cycle
1.995m/sec
17.4=的
频率往复出现。

根据奈奎斯特采样定理，每个周期至少有两个采样点。

所以采样频率应为4.18 samples/sec。

这能通过每100s 418次快照完成。

2.15 当信号以600Hz的频率采样，正弦波频率的镜像出现在采样频率整数倍的两边。

由于混叠频率为150Hz。

镜像出现在0 ± 150, 600 ± 150, 1200 ± 150Hz......。

只有150、450、750Hz在1kHz以下。

当采样频率为550Hz时，混叠频率为200Hz，所以镜像出现在0 ± 50, 550 ± 200, 1100 ± 200Hz......。

只有200、350、750和900Hz处在1kHz以下。

与两者都一致的正弦波频率为750Hz。

2.16 模拟电压范围为6V。

(a)量化步长为6/24 = 375 mV
(b)量化步长为6/28 = 23.44 mV
(c) 量化步长为6/216 = 91.55 μV
2.17 (a) 28 = 256 (b) 210 = 1024 (c) 212 = 4096
2.18 量化映射一个无限模拟信号等级到一个有限数字信号等级，量化程度由使用的数位来决定。

对于任意有限数位，误差一定会出现，因为量化步长的大小是非零的。

2.20 量化步长为范围/2N = 4/24 = 0.25 V。

下表标书了量化方法。

底端范围是步长的一半，顶端范围是步长的1.5倍。

所有其
2.21
2.22 动态范围为20 log (2N ) (a) 24.1 dB (b) 48.2 dB (c) 96.3 dB 2.23 动态范围为20 log (2N ) = 60.2 dB ，由此可以得出2N = 102
3.29。

N 的值最靠近10，所以N 取10。

量化值
0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000
数字编码
2.24 范围 = R, 量化步长 = Q
R = 1 V
0.5Q = 0.1 V
因此, Q = 0.2 V
R/Q = 2N = 5
两个量化位(N = 2)不满足需求。

至少需要三个量化位(N=3)。

2.25 比特率=B bits/sample *f samples/sec=16*8000=128kbps 2.26 中间范围最大量化误差是量化步长Q 的一半。

对于范围R ，位数N 来说，步长为R/2N 因此。

R 01.02
R 21Q 21N ≤= 将会保持量化误差在满意范围内。

消去R 然后解出N 为02.02
1
N ≤，即
502N ≥。

N 满足关系的最小值为N=6。

因此，最小比特率为Nf S = 6(16) = 96 kbps 。

2.27 这个表展示了与3位编码相称的电压。

对于编码111 101 011 101 000 001 011 010 100 110对应的零阶保持信号如下：.
2.28 抗镜像滤波器从零阶保持信号中移除了尖峰。

这样做之后，所有的奈奎斯特范围外的频率都被移除了。

但是滤波器引起了一个附加时延。

Chapter 3 Solutions
3.1 (a) (i) x[0] = 3
(ii) x[3] = 5
(iii) x[–1] = 2
(b) (i)
(ii) x[n+1]
3.2 冲激函数除了n=0处之外都是0
(a) δ[–4] = 0
(b) δ[0] = 1
(c) [2] = 0 3.3 (a)
(b) 这个函数是由冲激函数向右移两个单位得到，然后将它的振幅扩大一倍。

(c)
3.4 阶跃函数对于n<0部分为0，其他部分为1。

(a) u[–3] = 0 (b) u[0] = 1 (c) u[2] = 1
3.5
(a) x[n] = 4u[n –1]
(b)
(c)
(d)
(e) x[n] = u[2–n]
3.6
(a)
(b)
3.7 (a)、这个信号是移动的阶跃函数之和。

每个增加一单位振幅。

(b)、这个信号一系列振幅增加的冲激信号之和。

3.8
3.9 x[n] = 2δ[n] – 3δ[n –1] + δ[n –2] – δ[n –3] + 3δ[n –4]
3.10 (a)
x[n] = δ[n –3] + δ[n –4] + δ[n –5] + δ[n –6] – δ[n –7] – δ[n –8] – δ[n –9] – δ[n –10] – δ[n –11] ∑∑==-δ--δ=11
7
k 6
3
k ]k n []k n [
(b) x[n] = u[n –3] – 2u[n –7] + u[n –12]
3.11 x[n] = u[n] + 2u[n –4]
3.12
3.13 这个信号包括1, 0.5, 0.25, 0.125,......。

这些值能被0.5n 函数概括，其中每个值是一个冲激信号的振幅。

这个信号也能表示成 ∑∞
=-δ=0k k ]k n [)5.0(]n [x = δ[n] + 0.5δ[n –1] + 0.25δ[n –2] + 0.125δ[n –3] + …
3.14 (a) 利用欧拉公式 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π==π-4n sin j 4n cos e
]n [x 4
n
j
(b)
由(a)可知, 4π=
Ω. 因此, 184
22=ππ=Ω
π. 数字周期为8个采样点。

3.15 (a)
⎪⎭⎫
⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π==π-3n sin j 3n cos e ]n [x 3n j
(b)、复数的模式实部和虚部的平方和再开根号。

(a)中最后一列展示了3
n j e π- = 1，
这对所有的n 都成立。

3.16 模拟信号的频率为f = ω/2π = 200/2π Hz 。

采样频率为f S = 1/T S = 1/(25x10–3) = 40 Hz 。

数字频率为Ω = 2πf/f S = 200/40 = 5 rads 。

数字信号为x[n] = 5sin(n Ω) = 5sin(5n)。

3.17 检查每个函数的2π/Ω。

如果比值是有理数则函数是周期的。

n
(a) 2π/Ω = 2π/(4/5) = 10π/4 = 5π/2
比值是无理数，所以这个正弦曲线不是周期的。

(b) 2π/Ω = 2π/(6π/7) = 14/6 = 7/3
比值是周期的，而且是最简形式。

分子为7，是序列重复之前采样点的数量。

(c) 2π/Ω = 2π/(2π/3) = 3
结果也可以看成3/1。

因此，这个正弦曲线是是周期的，且周期为3。

3.18 (a) 从x(t)的等式可以看出，ω = 2πf = 1000π，所以f = 500 Hz 。

因此每3个循环就采集7个采样点，N=7,M=3，所以
3
7
M N 2==Ωπ
这意味着S S f 5002f f 276π=π=π=Ω. 解得S f 500276π=π 得出f S = 1167 Hz 。

(b)
由于f S > 2f ，采样率足够避免混叠。

(b) 2π/Ω的比值为2π/(4π/5)=10/4 = 5/2。

分子5表示正弦序列每5个采样点重复一次。

因为比率的分母为2。

这5个采样点是在两个模拟周期中取得的。

(c)
3.20 x(t)的模拟频率为f = ω/(2π) = 2500π/(2π) = 1250 Hz 。

x[n]的数字频率为π/3 rads 。

这些频率必须满足如下等式：
S
S f 12502f f 23π=π=π=Ω
通过这个等式解得f S = 7500 Hz. 其他解也是可能的，由
⎪⎭
⎫
⎝⎛π=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π=⎪⎭⎫ ⎝⎛π3n 5cos 3n n 2cos 3n cos . 通过这个式子可以得出
S
f 1250235π=π=Ω
即 f S = 1500 Hz.。

在这个频率下，混叠发生了。

这个信号出现在250Hz 。

这解释了为什么第二个采样率起了作用
3
15002502f f 2S π
=π=π=Ω
3.21 (a) 由052n 92=π+π, n = 5
9
-。

位移将信号左移了9/5个采样点。

(b) 两个信号的采样点不匹配，因为位移不是一个整数。

(c) 951.052)0(9
2sin ]0[x 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+π
=
927.052)1(92sin ]1[x 1=⎪⎭
⎫ ⎝⎛π+π
=
(d) 对于两个信号向右的相移0)2(92n 92=θ+π=θ+π，所以9
4π
-=θ。

因此，
⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π
=94n 9
2sin ]n [x 1。

这个信号的一个周期包含了和x 2[n]一个周期相同的采样值。

3.22
(b)
(c)
3.23 (a)、由于数字正弦曲线是周期的，M
10M N 2==Ωπ。

根据S f f 2π=Ω, M 10
f f S =。

因此，10
Mf f S
=。

模拟信号的可能频率f 由M = 1, 3, 7, 9, 11, …决定，也就是不包括
10的因数的所有整数。

其他整数M 得出的结果中数字周期小于10。

对于4kHz 的采样来说，f 的可能频率为400, 1200, 2800, 3600, 4400, … Hz 。

(b)、(a)中只有两个频率处在奈奎斯特范围内，它们是400Hz 和1200Hz 。

所有其他的f 频率在采样频率为4kHz 的情况下，都在400或者1200Hz 产生了混叠。

3.24 一个16比特图用16位灰度来表现图中的每个像素。

16位总计能代表65536个灰度值。

3.25 棋盘上每个方块被16*16的像素块记录。

所有白块里的像素点的灰度值为255，所有黑块里的像素的灰度值为0。

Chapter 4 Solutions
4.1 (a)、这个滤波器的通带增益是1单位的。

增益衰减到0.707是在频率为2400Hz 和5200Hz时。

能通过这个滤波器的频率范围为2400到5200Hz。

(b)、这个滤波器是带通滤波器。

(c)、频率的通带范围是增益超过最大值的0.707的范围，即5200 –2400 = 2800 Hz。

4.2 一个低通滤波器能通过在直流和它的截止频率之间的频率。

通带也就等同于截止频率。

因此，截止频率是2kHz。

4.3 滤波器的最大通带增益是20dB。

带宽定义为：增益比通带增益低不超过3dB的频率范围。

对于这道题为17dB。

这个增益出现在截止频率700Hz上。

对于高通滤波器来说，带宽是在截止频率，700Hz，和奈奎斯特频率（等于采样频率的一半），2kHz，之间的范围。

带宽为1300Hz。

4.4 低通滤波器截止频率为150Hz，带宽为150Hz。

带通滤波器截止频率为250Hz和350Hz，带宽为100Hz。

高通滤波器截止频率为400Hz，带宽为100Hz，也就是从它的截止频率增加到奈奎斯特限制（采样频率的一半）。

4.5 (a)、低通滤波器输出在上边，高通滤波器的在下边。

(b)、原始元音信号的近似值能通过高通和低通波形的叠加得到。

4.6 (a)、线性 (b)、非线性 (c)、非线性 (d)、线性
4.7 由于新输入是原输入向右移两个单位得到的，新输出也是原输出向右移动两个
4.8
(a) y[n] = –0.25y[n –1] + 0.75x[n] – 0.25x[n –1] (b) y[n] = y[n –1] – x[n] – 0.5x[n –1]
4.9 (a)、系统是非递归的。

b 0 = b 1 = b 2 = 1/3 (b)、系统是递归的。

a 0 = 1, a 1 = –0.2, b 0 = 1 (c)、系统是递归的。

a 0 = 1, a 1 = 0.5, b 0 = 1, b 1 = –0.4
-2
-10123456
00.2
0.4
0.6
0.8
1
y[n]
n
x[n]
n
4.10 (a)
(b)
(c)
(d)
4.11
4.12
4.13 x[n]采样时刻的全部输入是输入x1[n]和x2[n]之和。

全部输入被应用于差分方程在正常求输出时。

4.14
4.15
4.16 y[n] = 0.5y[n –2] + 1.2x[n] – 0.6x[n –1] + 0.3x[n –2] 4.17 y[n] = 2.1x[n –1] – 1.5x[n –2] 4.18 w[n] = x[n] + 0.3w[n –1] – 0.1w[n –2] y[n] = 0.8w[n] – 0.4w[n –2] 4.19 第一个二阶部分的差分方程为 y 1[n] = –0.1x[n] + 0.2x[n –1] + 0.1x[n –2]
第二个二阶部分差分方程为 y[n] = y 1[n] + 0.3y 1[n –2]
将第一个等式代入第二个中得到 y[n] = (–0.1x[n] + 0.2x[n –1] + 0.1x[n –2])
+ 0.3(–0.1x[n –2] + 0.2x[n –3] + 0.1x[n –4])
= –0.1x[n] + 0.2x[n –1] + 0.07x[n –2] + 0.06x[n –3] + 0.03x[n –4] 4.20
x[n] y[n] y[n]
4.21 直接Ⅱ型方程为 w[n] = x[n] + 1.2w[n –1] – 0.5w[n –2]
y[n] = w[n] – 0.2 w[n –1] 4.22 (a) y[n] = –0.14 y[n –1] – 0.38 y[n –2] + x[n]
(b) w[n] = x[n] – 0.14w[n –1] – 0.38w[n –2] y[n] = w[n]
请注意这部分的差分方程和(a)部分是一样的
y[n]
–0.2
y[n]
4.23 前10个脉冲响应的采样为
4.24 从表中可以看出，滤波器是有限脉冲响应。

它能用一系列脉冲函数之和来表示：
h[n] = 0.5δ[n] + 0.4δ[n–1] + 0.3δ[n–2] + 0.2δ[n–2]
差分方程有种平行形式
y[n] = 0.5x[n] + 0.4x[n–1] + 0.3x[n–2] + 0.2x[n–3]
4.25 脉冲函数是有限的，采样点如下：
FIR滤波器的冲激响应采样点直接用系数b k表示，如下
y[n] = x[n] + 0.3x[n–1] + 0.09x[n–2] + 0.027x[n–3]
这个结果也可以以冲函数的形式写成冲激响应
h[n] = δ[n] + 0.3δ[n–1] + 0.09δ[n–2] + 0.027δ[n–3]
4.26
4.27 冲激响应可以从差分方程中得到
h[n] = – 0.5h[n–1] + δ[n] – 0.8δ[n–1]
阶跃响应能从下式中得到
s[n] = – 0.5s[n –1] + u[n] – 0.8u[n –1]
或者通过冲激响应采样点的累加和得到
4.28
5项平滑滤波器的差分方程为 ()]4n [x ]3n [x ]2n [x ]1n
[x ]n [x 5
1
]n [y -+-+-+-+=
冲激响应为
()]4n []3n []2n []1n []n [5
1
]n [h -δ+-δ+-δ+-δ+δ=
4.29 这个冲激响应属于非递归滤波器，因为在有限采样点之后，输出永远归于0。

4.30 (a)、由定义可知，脉冲函数的响应被称为脉冲响应。

因此，(a)问的答案已经在问题中提供了。

(b)、信号x[n]由两个不同振幅和位置的脉冲信号组成。

这个输入的响应将和脉冲响应的结合相同。

也就是， y[n] = 0.8h[n] + 0.5h[n –1]
输出样值点在下表中列出
4.31 阶跃响应能通过下式得到 s[n] = u[n] – 0.5u[n –1] – 0.7u[n –2]
前10个样值点为 4.32 (a)、冲激响应能通过下式得到 h[n] = –0.75h[n –1] + δ[n] – 0.5δ[n –1]
]
(b) 阶跃响应能通过下式得到
s[n] = –0.75s[n–1] + u[n] – 0.5u[n–1]
或者通过冲激响应样值点的累加和得到。

Chapter 5 Solutions
5.1 (a) x[n] = δ[n] + 0.6065δ[n–1] + 0.3679δ[n–2]
(b) 和中的非零部分为k = 0、1、2。

5.2 系统对δ[n]的响应为h[n]，对δ[n–1]的响应为h[n–1]。

因此，当输入x[n] = δ[n] + δ[n–1]作用于这个系统，输出为y[n] = h[n] + h[n–1]。

h[n]和h[n–1]这两个信号能通过信号的形式相加。

h[n] + h[n–1]
h[n–
(b) h[n+1]
5.4 从n=0开始，输入x[n]有样值0，-1，-2。

从n=0开始，冲激响应h[n]有样值1,2,3,4。

这些样值点被插入卷积表。

在n=5以上，所有的输出都为0.这是有限长度输入和冲激响应信号的直接结果。

5.5 (a)
(b) 冲激响应h[n] = [n–k]是将信号延后了k个单位。

5.6 (a) 所有在n=0之前和n=8之后的采样点都为0。

(b)、输出受边界效应影响的点用问号标出。

5.7 冲激响应和阶跃函数卷积产生了阶跃响应。

阶跃响应的样值点当然是冲激响应
在17个样值点之后，阶跃响应的样值点改变小于1%。

这个点可以看成大致进入稳定状态的开始。

5.8 (a)
从n=10到n=19的输出值写在下面，所有20个输出样值作图如下。

(b)、输出在一个循环内的样值点变化保持在1%是从n=9开始的。

因此，大约稳定状态是在9个样值点后达到的。

5.9 (a)、冲激响应和输入的卷积产生了如下表的输出样值。

(b) 从n=6的样值点可似乎，输出和前面的样值改变范围在1%。

稳定状态从这点开始。

基本稳定状态输出倍数大约为1。

5.10 (a)、输入的时间大约为2π/Ω = 2π/2π/5 = 5.
(d)、在稳定状态下，输出就像输入一样，每5个样值重复一次。

(b)、输出的稳定状态部分从n=7开始。

暂态部分包括从n=0到n=6。

5.12 (a)、为了得到级联系统的冲激响应，一个冲激函数作用在第一个系统的输入。

通过定义，得到输出为h1[n]。

这个输入作为第二个系统的输入，和h2[n]卷积得到整体冲激响应h[n]。

这是一般结论：两个级联滤波器的冲激响应时滤波器的冲激响应的卷积。

(b)、冲激响应能通过冲激响应h[n]和阶跃函数的卷积得到，或者通过计算冲激响应样值的累加和得到。

阶跃响应样值列在下表中，系统的冲激响应和阶跃响应画在下图中。

5.13 系统的阶跃响应是对于阶跃输入的响应，x[n] = u[n]。

输出稳定在恒值上因为输入是恒值。

5.14 为了重新表达这个差分方程，冲激响应必须首先表达出来。

冲激响应能通过差分方程得出： h[n] = –0.8h[n –1] + [n] 前10个样值为
差分方程变为：
y[n] = x[n] – 0.8x[n–1] + 0.64x[n–2] – 0.512x[n–3]
+ 0.410x[n–4] – 0.328x[n–5] + …
或者，更简洁地表示为：()
∑∞
=-
-=
k
n]k
n[x
8.0
]n[y.
5.15 冲激函数样值如下表：
这是一个有限冲激响应，所以差分方程的系数b k和冲激函数样值是匹配的。

y[n] = x[n] + 0.7408x[n–1] + 0.5488x[n–2] + 0.4066x[n–3]
从这个差分方程，阶跃响应能得到如下：
s[n] = u[n] + 0.7408u[n–1] + 0.5488u[n–2] + 0.4066u[n–3]
前八个样值列在下表中：
或者，阶跃响应也能通过卷积求得。

下表展示了卷积结果。

卷积和差分方程得到了同样的结果。

5.16 9项平滑滤波器冲激响应为
h[n] =
(]4n []3n []2n []1n []n [9
1
-δ+-δ+-δ+-δ+δ )]8n []7n []6n []5n [-δ+-δ+-δ+-δ+
8个样值受边界效应影响。

稳定状态从n=8开始。

5.17 由于11项平滑滤波器的冲激响应有11项，前11-1=10个采样值和后10个采样值受边界效应影响。

因此，20个采样值受影响，其中2048-20=2028位置的点没受影响。

5.18 5项平滑滤波器冲激响应为
h[n] = ()]4n []3n []2n []1n []n [5
1
-δ+-δ+-δ+-δ+δ
输出中的16个采样值由卷积表计算得来，画在下图中。

这个滤波器有能从其他稳定信号中平滑突变的效果。

5.19
(a)、差分方程为
3
]
2n [x ]1n [x ]n [x ]n [y -+-+=
冲激响应为
3
]
2n []1n []n []n [h -δ+-δ+δ=
(b) 前几个样值点计算如下：
输出信号
(c)、如上表所示，只有在n=0和n=1时的样值受边界效应影响。

这些样值也形成了输出响应的暂态部分。

输出从n=2开始显示它的稳定性。

5.20 (a)、推断出冲激响应的最简单的方法是从下表一次确定一个冲激响应。

冲激响应为h[n] = 2δ[n] – δ[n –2]。

h[4–k] –1 0 2
y[4] = 2 h[5–k] –1 0 2 y[5] = 0 h[6–k] –1 0 y[6] = –0.5 h[7–k] –1 y[7] = 0.0
5.21 12*12的原式图像有如下灰度值：
255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 255 255 255 255 255 255
平滑滤波器的卷积核为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡11111111191 为了避免边界效应，滤波后图像将有两行和两列比原图像更小。

滤波后图像每个像素的灰度值是原图像9个相邻方块像素灰度值的平均值。

平滑之后，10*10滤波图像有如下灰度值：
255 255 255 255 170 85 0 0 0 0 255 255 255 255 170 85 0 0 0 0 255 255 255 255 170 85 0 0 0 0 255 255 255 255 170 85 0 0 0 0 170 170 170 170 142 113 85 85 85 85 85 85 85 85 113 142 170 170 170 170 0 0 0 0 85 170 255 255 255 255 0 0 0 0 85 170 255 255 255 255 0 0 0 0 85 170 255 255 255 255 0 0 0 0 85 170 255 255 255 255 原图中尖锐的黑白边缘暗到了滤波后的图像变淡到了灰色。

白色方块得到一个亮灰边缘，黑色方块得到一个亮灰边缘。

5.22 卷积核中心在输出图像中作为每个像素的中心。

由于核为7*7,图像的顶部和底部3行，左侧和右侧3列将会受边界效应影响。

原图是1024*512，所以滤波后的图像为1018*506。

Chapter 6 Solutions
6.1 (a)、δ[n] 的z 变换为1。

位移后的冲激函数δ[n –k]的z 变换为z –k 当k 为1的时候，或者就是z –k 。

x[n]的z 变换为
X(z) = 2 – 3z –1 + z –3 =3
233z 1z 3z 2z 1z 32+-=+-
(b) Z{u[n]} = z/(z –1) Z{u[n –2]} = z –2 z/(z –1) = z –1/(z –1)
z 变换为X(z) =
1211z 1z
1z )1z (z 1z 1z z z 1z z 1z z ---+=+=--=--=---. 这个结果说得通是因为u[n] – u[n –2]和δ[n] + δ[n –1]是等价的，它们的z 变换都是1 + z –1。

(c) X(z) = )
1z (z 2z z )1z (z 2)1z (z )1z (z 2z 11z z 2z 1z z z 2z 2
22221
31-+-=-+-=-+=-+=-+----
6.2 (a)、利用z 变换表可以得到X(z) = 2
.0z z
-
(b)、对于这个正弦信号，Ω = π/2。

利用z 变换表得到
X(z) = 1
z z 312
cos z 2z 2sin
z 32
2
+=+π-π
(c)、利用z 变换表
X(z) = 2
)1z (z
5.0-
(d)、根据β = e –0.1和Ω = π/7，z 变换通过表得到
8187
.0z 6305.1z z
8152.0z 4 )z (X 22+--=
(e)、根据β = 0.8和Ω = 3π/4，z 变换通过表得到
64
.0z 1314.1z z
5657.0)z (X 2
+--=
6.3 (a)、这个信号有有限个非零样值。

收敛域是除了z=0以外所有的z 。

(b)、这个信号有有限个非零样值。

收敛域是除了z=0以外所有的z 。

(c)、收敛于由1
z z
-收敛的限制求得。

因此，收敛域为 |z| > 1。

6.4 (a)、由变换表，收敛域为|z| > 0.2。

(b)、由于...z z z 1
z z
5312-+-=+---, 收敛域由|–z –2| < 1给出，即|z| > 1。

(c)、收敛域由2
)
1z (z
-的限制求出。

由变换表，收敛域为 |z| > 1。

(d)、由变换表，收敛域为|z| > e –0.1 = 0.9048。

(e)、由变换表，收敛域为|z| > 0.8。

6.5 (a)、y[n] = 0.2y[n –1] + x[n] + 0.4x[n –1] + 0.1x[n –2] (b)、变换函数为
1
2
1z 2.01z 1.0z 4.01)z (H ----++=
6.6 变换函数通过对每项取z 变换和找到Y(z)/X(z)（输出除输入）的比率得到。

过程在(a)中举例。

(a) Y(z) – 0.7z –1Y(z) = X(z) + 0.2z –1X(z)
Y(z)(1–0.7z –1) = X(z)(1+0.2z –1)
1
1
z
7.01z 2.01)z (X )z (Y )z (H ---+== (b) 2
2
1z 25.01z 25.0z 5.01)z (H ----+-=
(c) 3
233
2
1z 25
.0z 25.0z 25.0z 25.0)z z z 1(25.0)z (H +++=+++=---
(d) H(z) = 1
6.7 利用H(z) = Y(z)/X(z)，交叉相乘，进行逆z 变换。

用z 变换的时延属性，形如z –k Y(z)的式子有逆变换y[n –k]。

(a) (1 + 0.5z –1 + 0.75z –2) Y(z) = (1 – 0.4z –1) X(z)
Y(z) + 0.5z –1Y(z) + 0.75z –2Y(z) = X(z) – 0.4z –1X(z) y[n] + 0.5y[n –1] + 0.75y[n –2] = x[n] – 0.4x[n –1]
(b) y[n] = x[n] – 0.4x[n –1] + 0.1x[n –2]
(c) 逆z 变换得到
y[n+2] + 1.4y[n+1] + 0.9y[n] = 4x[n+1]
等式中每一项能通过延后2个单位得到一个更标准的形式，不受差分方程关系影响。

y[n] + 1.4y[n –1] + 0.9y[n –2] = 4x[n –1]
(d) 6
.0z 2.0z 2z
)z (H 2-+=
2y[n+2] + 0.2y[n+1] – 0.6y[n] = x[n+1] 2y[n] + 0.2y[n –1] – 0.6y[n –2] = x[n –1] y[n] + 0.1y[n –1] – 0.3y[n –2] = 0.5x[n –1]
6.8 传递函数是冲激响应的z 变换：
H(z) = 2 – 1.5z –1 + z –2 + 0.5z –3
差分方程能通过两种方式得到。

通过用y[n]代替h[n]和x[n]代替δ[n]。

冲激响应本身提供了差分方程
y[n] = 2x[n] – 1.5x[n –1] + x[n –2] + 0.5x[n –3]
作为另一种选择，差分方程可以通过H(z) = Y(z)/X(z)，然后交叉相乘，取逆z 变换得到。

6.9 冲激响应的样值如下表：
传递函数为
H(z) = 0.5625z –1 + 0.3164z –2 + 0.1780z –3 6.10 两个滤波器的传递函数为
1
1
1z
2.01z 2.01)z (H --+-= 和
2
12z 4.0z 1.015
.0)z (H --+-=
(a)、级联情况下，全部传递函数为
H(z) = H 1(z)H 2(z) = 3
211
z
08.0z 38.0z 1.01z 1.05.0----+++-
(b)、在并联情况下，全部传递函数为
H(z) = H 1(z) + H 2(z) = 3
213
21z
08.0z 38.0z 1.01z 08.0z 42.0z 2.05.1------+++-+- 6.11 冲激函数的样值为
系统的传递函数为
H 1(z) = 1 + 0.2z –1 + 0.04z –2 H 2(z) = –3z –1 – 6z –2 – 9z –3
在级联系统中，滤波器的传递函数为
H(z) = H 1(z)H 2(z) = 54321z 36.0z 04.2z 32.10z 6.6z 3----------
6.12 (a) 2.0z 4.0z z 2.01z 2z 5z )z (H 22
22+-=+-=
(b) 52
.0z 15.0z z
z z 52.0z 15.01z 1)z (H 22211---=---=---
6.13 x[n] = δ[n] – 0.5δ[n –1] – 3δ[n –4] 6.14 Y(z)和u[n]的z 变换很相似，将Y(z)分隔成
1
z z
z )z (Y 2-=-
z –2项表示时域上两个单位的延迟。

z/(z –1)的逆z 变换为u[n]。

所以y[n]=u[n-2]。

6.15 (a) 由变换表, x[n] = (–0.12)n u[n].
(b) 1
z z
5)z (X -=
由变换表, x[n] = 5u[n]. (c) 这个函数可以整理为
5.0z z
4z )
5.0z (z 4)z (X 32-=-=-
由变换表，4z/(z – 0.5)的逆z 变换为4(0.5)n u[n]。

z –3项表示时域上3个单位的延迟。

因此
x[n] = 4(0.5)n –3u[n –3]
(d) 9
.0z z
z 9.0z z 29.0z 19.0z z 29.0z 1z 2)z (X 1
---=---=--=-
考虑z –1延迟项然后使用变换表： x[n] = 2(0.9)n u[n] – (0.9)n –1u[n –1]
(e) 用覆盖法
4
.0z 35
2.0z 354.0z B 2.0z A )4.0z )(2.0z (1)z (X +-
+
-=++-=+-= 因此
X(z) = ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+--4.0z z 352.0z z 3
5
z 1
给出逆z 变换
x[n] = ]1n [u )4.0(3
5
]1n [u )2.0(351n 1n ------
(f) 1
z 65
2.0z 625z 5
1z C 2.0z B z A )1z )(2.0z (z 1)z (X -+++-=-+++=-+=
为了能使用变换表，最后整理X(z)：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-+
++-=-1z z 652.0z z 6255z )z (X 1
括号内部分的逆z 变换为]n [u 6
5
]n [u )2.0(625]n [5n +-+δ-，所以整个部分的逆变换为
]1n [u 6
5
]1n [u )2.0(625]1n [5]n [x 1n -+--+-δ-=-
一个相等的结果能通过将X(z)重写得到
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-)1z )(2.0z (1
z )z (X 1
对括号内部分利用覆盖法。

对方法使用逆变换
]2n [u 6
5
]2n [u )2.0(65]n [x 2n -+---=-
这能产生和先前x[n]的表达相同的样值。

(g) ⎪⎭⎫
⎝
⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=3.0z B 25.0z A z )3.0z )(25.0z (5.0z 075.0z 55.0z z 5.0)z (X 2 使用覆盖法
3.0z z 1025.0z z 103.0z 1025.0z 10
z )z (X +-++=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++=
利用z 变换表 x[n] = 10(–0.25)n u[n] –10(–0.3)n u[n]
一个等价的结果能通过直接对X(z)使用覆盖法得到，不在一开始提出z 。

(h) 03
.0z 9.0z 8
.0z z 03.0z 9.01z 8.01)z (X 22212+--=+--=---
这个有理函数不完全适当。

在使用覆盖法之前必须用长除法将它转化为严格适当的表达式。

1
z 2 – 0.9z + 0.03) z 2 – 0.8 z 2– 0.9z + 0.03 0.9z – 0.83
03
.0z 9.0z 83
.0z 9.01)z (X 2
+--+
=
使用二次公式找到分母的根
2
8307
.09.0269.09.0)1(2)03.0)(1(4)9.0()9.0(z 2±=
±=--±--= = 0.0347 or 0.8653
这些根允许X(z)的分母中第二项的分母被分解。

覆盖法只能在X(z)的有理数部分使用。

()()8653.0z 0347.0z 83
.0z 9.0103
.0z 9.0z 83.0z 9.01)z (X 2---+=+--+=
8653
.0z 062
.00347.0z 962.018653.0z B 0347.0z A 1--+
-+=-+-+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-+=-8653.0z z 062.00347.0z z
962.0z 1)z (X 1
x[n] = δ[n] + 0.962(0.0347)n –1u[n –1] – 0.062(0.8653)n –1u[n –1]
另一种方法将会得到同样的结果：
03
.0z 9.0z 8
.0z z 03.0z 9.01z 8.01)z (X 222
12+--=+--=--- 03
.0z 9.0z 8
.003.0z 9.0z z 222+--+-=
03
.0z 9.0z 8.003.0z 9.0z 1z 2
22+--⎪⎭⎫
⎝⎛+-=
覆盖法能被用在第二项和第一项的括号部分。

z 2项使时域提前了两个单位。

x[n]的表达式用这个方法可以得到：
(
)
]1n [u )0347.0(]1n [u )8653.0(204.1]n [x 1n 1n +-+=++
()()(
)
]1n [u 8653.0]1n [u 0347.0963.01
n 1
n ---+--
(i) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=
-----35.0z z z 35.0z 1z 35.0z z z 35.01z )z (X 2111
2
x[n]的逆z 变换为x[n] = (–0.35)n –2u[n –2].
(j) 由z 变换表，X(z)为正弦波的变换。

由分母可知，2cos Ω = 1.618。

这个等式可以
得到结论Ω = 0.6283 = π/5。

由5878.05sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛π可以得到]n [u 5n sin ]n [x ⎪⎭
⎫
⎝⎛π=。

(k) 1
z z z
5.0z z z 1z 5.01)z (X 222
11+--=+--=---
由变换表，X(z)为余弦波的变换。

从cos Ω = 0.5, Ω = 1.047 = 3
π
rads 可以得到。

x[n] = ]n [u 3n cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛π
(l)、由变换表，X(z)为正弦波的变换。

由分母，2cos Ω = 1.0806，其中Ω = 1 rad 。

因为sin(1) = 0.84147和1.6829/0.84147 = 2.0，可以得到=]n [x 2sin(n)u[n]。

6.16 完整的方法只在(a)部分图解 (a) 1 – 0.5z –1 – 0.55z –2 + 0.675z –3 + 0.1025z –4 – 0.591z –5 + 0.214z –6 + 0.366z –7 – …
z 2 + 0.5z + 0.8) z 2 z 2 + 0.5z + 0.8 - 0.5z – 0.8 - 0.5z – 0.25 – 0.4z –1 - 0.55 + 0.4z –1
- 0.55 – 0.275z –1 – 0.44z –2
0.675z –1 + 0.44z –2
0.675z –1+ 0.3375z –2 + 0.54z –3
0.1025z –2 – 0.54z –3
0.1025z –2 + 0.0513z –3 + 0.082z –4 - 0.591z –3 – 0.082z –4
- 0.591z –3 – 0.296z –4 – 0.473z –5
0.214z –4 + 0.473z –5
0.214z –4 + 0.107z –5 + 0.171z –6 0.366z –5 – 0.171z –6 …
x[n] = δ[n] – 0.5δ[n –1] – 0.55δ[n –2] + 0.675δ[n –3] + 0.1025δ[n –4]
– 0.591δ[n –5] + 0.214δ[n –6] + 0.366δ[n –7] – …
(b) 9
.0z 1.0z 5
)z (X 2++=
x[n] = 5.0 δ[n –2] – 0.5 δ[n –3] – 4.45 δ[n –4] + 0.90 δ[n –5] + 3.92 δ[n –6]
- 1.20 δ[n –7] – 3.40 δ[n –8] + 1.42 δ[n –9] + …
(c) x[n] = 0.500δ[n –2] + 0.425δ[n –3] + 0.349δ[n –4] + 0.286δ[n –5] + 0.234δ[n –6]
+ 0.192δ[n –7] + 0.157δ[n –8] + 0.129δ[n –9] + …
6.17 75
.0z z
z 75.0z 1)z (H 1
-=-=
-
冲激响应是传递函数的逆z 变换，即
h[n] = (0.75)n –1u[n –1]
其中一单位的延迟来自z –1项。

6.18 (a) X(z) = 1 – z –1 = z
1
z z 11-=-
H(z) = 25
.0z z
-
(b) Y(z) = H(z)X(z)
=25
.0z z
z 25.0z z 25.0z 125.0z z 25.0z 1z z 1z 25.0z z 1
---=---=--=---
由变换表， y[n] = (0.25)n u[n] – (0.25)n –1u[n –1].
6.19 系统的传递函数为H(z) = z
1
z z 11-=--. 由变换表，输入的z 变换为X(z) =
2
)1z (z
5-。

输出为
Y(z) = H(z)X(z) = 1
z z
z 51z 51
-=--
6.20 H(z) = 2
e z z
-- X(z) = 1
z z
-
Y(z) = H(z)X(z) = ()()()
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=----1z e z 1z 1z e z z 2222
括号里的部分能用覆盖法。

Y(z) = ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-1z B 1353.0z A z 2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=1z z 157.11353.0z z 157.1z 1z 157.11353.0z 157.1z 2
系统的输出为
y[n] = –1.157(0.1353)n+1u[n+1] + 1.157u[n+1] 6.21 滤波器的传递函数为
07
.0z 15.0z z
25.0z 5084.0z 18.0z 2.1z 3.0z 6z 084.0z 18.02.1z 3.06)z (H 2222211-+-=-+-=-+-=---
冲激响应为传递函数的逆z 变换。

因式分解（或者用二次公式）得到
()()()()35
.0z z
637.32.0z z 364.135.0z 7273.02.0z 2727.0z 5 35.0z B 2.0z A
z 535.0z 2.0z 05.0z z 535.0z 2.0z z 25.0z 5)z (H 2++-=
⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++-=+--=+--=
由变换表
h[n] = 1.364(0.2)n u[n] + 3.637(–0.35)n u[n]
6.22 )
9.0z )(1.0z (5
z )9.0z )(1.0z (z 5)z (H 2
2--=--=
(a)、冲激响应h[n]为H(z)的逆变换
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=--=9.0z z 25.61.0z z 25.6z 9.0z 25.61.0z 25.6z )9.0z )(1.0z (5z )z (H 22
冲激响应为h[n] = –6.25(0.1)n+1u[n+1] + 6.25(0.9)n+1u[n+1]。

(b)、阶跃函数的z 变换为z/(z –1)。

所以阶跃响应的z 变换为
1z z
)9.0z )(1.0z (5z )z (X )z (H )z (Y 2---==
()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--+-=---=1z 56.559.0z 5.621.0z 94
.6z 1z 9.0z 1.0z 5z 33
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--+-=1z z 56.559.0z z 5.621.0z z 94.6z 2
阶跃响应为s[n] = 6.94(0.1)n+2u[n+2] – 62.5(0.9)n+2u[n+2] + 55.56u[n+2].
6.23 (a) 408
.1z z
408.11z 71.0z )z (H -=
-=
系统有一个零点，即
(b)、系统在z = –1.2得到。

计算得到z = –
(c) 4
.0z 5.1z 8.0z 3z 2z )z (H 2
2+-=+-=
传递函数在z=0处有一个零点，利用二次公式可以得到极点，z = 1.153 和z = 0.347。

6.24 (a)
(b)、滤波器的传递函数为
()()
(
)
(
)
61.0z z )8.0z (z
6.05.0z )8.0z (z
)z (H 2
2
2
+++=
+++=
488
.0z 41.1z 8.1z z
23+++=
6.25
(a)、传递函数为
09
.0z 8.0z 5
.0z )1.0z )(9.0z (5.0z )z (H 2---=+--=
(b)、在z=0.9的极点有冲激响应的最大增益，它与单位圆也是最近的，这产生了最长的稳定时间。

由于极点在z=-0.1，响应飞快衰减。

6.26 (a)、滤波器有5个极点。

(b)。