机器人参考答案1

1.1 点矢量v 为]00.3000.2000
.10[T ，相对参考系作如下齐次坐标变换：
A=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--10000.9000.1000.0000.00.3000.0866.0500.00.11000.0500.0866.0 写出变换后点矢量v 的表达式，并说明是什么性质的变换，写出旋转算子Rot 及平移算子Trans 。

解：v ，=Av=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--10000.9000.1000.0000.00.3000.0866.0500.00.11000.0500.0866.0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡100.3000.2000.10=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡13932.1966.9 属于复合变换：
旋转算子Rot （Z ，30̊）=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-1000010000866
.05.0005
.0866.0 平移算子Trans （11.0，-3.0，9.0）=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000
0.91000.30100.11001
1.2 有一旋转变换，先绕固定坐标系Z 0 轴转45̊，再绕其X 0轴转30̊，最后绕其Y 0轴转60̊，试求该齐次坐标变换矩阵。

解：齐次坐标变换矩阵R=Rot(Y ，60̊）Rot （X ，30̊）Rot(Z ，45̊）
=
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-1000010000707.0707.000707.0707.010
000866
.05.0005.0866.0000
01100005.00866.000100866.005.0=
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----1000
0433.0436.0436.005.0612.0612.00750.0047.0660.0 1.3 坐标系{B}起初与固定坐标系{O}相重合，现坐标系{B}绕Z B 旋转30̊，然后绕旋转后的动坐标系的X B 轴旋转45̊，试写出该坐标系{B}的起始矩阵表达式和最后矩阵表达式。

解：起始矩阵：B=O=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡100001000010
0001 最后矩阵：B´=Rot(Z ，30̊）B Rot （X ，45̊）=
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--1000
0707.0707.000612.0612.05.000353
.0866.0 1.4 坐标系{A}及{B}在固定坐标系{O}中的矩阵表达式为
{A}=⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--10000.20866.0500.0000.00.10500.0866.0000.00.0000
.0000.0000.1 {B}=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----10000.3866.0433.0250.00.3500.0750.0433.00.3000.0500.0866.0 画出它们在{O}坐标系中的位置和姿势；
A=Trans （0.0，10.0，-20.0）Rot （X ，30̊）
O
B=Trans(-3.0，-3.0，3.0）Rot(X ，30̊）Rot （Z ，30̊）O
1.5 写出齐次变换阵H A
B ，它表示坐标系{B}连续相对固定坐标系{A}作以下变换： （1）绕A Z 轴旋转90̊。

（2）绕A X 轴旋转-90̊。

（3）移动[]T 973。

解：
H A B
=Trans （3，7，9）Rot （X ，-90̊）Rot （Z ，90̊）
=⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010
00001001
01000001
00100000
11000910070103001=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-1000010
00001001
0100090107100300
1=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--100
0900171003010 1.6 写出齐次变换矩阵H B
B ，它表示坐标系{B}连续相对自身运动坐标系{B}作以下变换： （1）移动[]T
973。

（2）绕B X 轴旋转90̊。

. （3）绕B Z 轴转-90̊。

.
H B B
=Trans （3，7，9）Rot （X ，90̊）Rot （Z ，90̊）=
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000
0100
0001001010000010
010000
01
1000910070103001=
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000
9001
710030
1
10000100
000100101000
9010710030
1 1.7 对于1.7图（a ）所示的两个楔形物体， 试用两个变换序列分别表示两个楔形物体的变换过程，使最后的状态如题1.7图（b)所示。

(a) (b)
解：A=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---1111
112200000044
00111111 B=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---1111
112200005599551111
11 A´=Trans(2，0，0）Rot （Z ，90̊）Rot （X ，90̊）Trans （0，-4，0）A=
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000
0100
401000
01
100
0001
00100000
1100
0010
00001001
01000
010*********⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---111111220000004400111111=
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--1000401000012100⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---111111220000004400111111=
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---1111
11440044111111002222 B´=Rot （X ，90̊）Rot （Y ，90̊）Trans （0，-5，0）B=
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000100
501000
01
10000001
00100100
1000
0010010000
1⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---111111220000559955111111
=
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000
0100
501000
01
1000
001000010100⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---1111
11220000559955111111=
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000
501000
010100⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---111111220000559955111111=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---1111110044
001111112200
00 1.8 如题1.8图所示的二自由度平面机械手，关节1为转动关节，关节变量为θ1；关节2为移动关节， 关节变量为d 2。

试：
（1）建立关节坐标系，并写出该机械手的运动方程式。

（2）按下列关节变量参数求出手部中心的位置值。

解：建立如图所示的坐标系
θ1 0 30 60 90 d 2/m
0.50
0.80
1.00
0.70
参数和关节变量
连杆 θ а d 1
θ1 0 0 0 2
d 2
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==1000
00000000),(11
1111θθ
θθθC S S C Z Rot A ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡==100001000010001
)0,0,(222d d Trans A 机械手的运动方程式：
=•=212A A T ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-1000
0100sin 0cos sin cos 0sin cos 12111211θθθθθθd d 当θ1=0 ， d 2=0.5时：
手部中心位置值⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=1000
00000010
5.0001
B 当θ1=30 ， d 2=0.8时
手部中心位置值 ⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-=1000
00004.00866.05.0433.005.0866.0B
当θ1=60 ， d 2=1.0时
手部中心位置值
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-=1000
0000866.005.0866.05.00
866
.05.0B 当θ1=90 ， d 2=0.7时
手部中心位置值⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-=100
000007.000
1001
0B 1.11 题1.11图所示为一个二自由度的机械手，两连杆长度均为1m ，试建立各杆件坐标系，
求出1A ，2A 的变换矩阵。

解：建立如图所示的坐标系 参数和关节变量
连杆 θ α а d 1
1θ
1 0 0 2
2θ-
1
A 1=Rot(Z , θ1) Trans(1,0,0) Rot(X , 0º)=⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-100001000cos sin 0sin cos 111
111θθθ
θθθs c A 2= Rot(Z , -θ2)Trans(l, 0, 0)Rot(X , 90º)⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=10
0000000022
22θθθθc c s s 1.13 有一台如题1.13图所示的三自由度机械手的机构，各关节转角正向均由箭头所示方向指定，请标出各连杆的D-H 坐标系，然后求各变换矩阵1A ，2A ，3A 。

解：D-H 坐标系的建立
按D-H 方法建立各连杆坐标系 参数和关节变量
连杆 θ
α
a d
1 θ1 90̊ 0
1L +2L
2 θ2 0 3L
0 3
θ3
4L
1A =⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡+-10
0100cos 0sin 0sin 0cos 2111
11L L θθ
θθ 2A =
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-10000100sin 0cos sin cos 0sin cos
23222322θθθθθθL L 3A =⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-1000
010
0sin 0cos
sin cos 0sin cos
343
33433θθθθθθL L
3.3 单连杆机器人的转动关节，从q = –5°静止开始运动，要想在4 s 内使该关节平滑地运动到q =+80°的位置停止。

试按下述要求确定运动轨迹： (1)关节运动依三次多项式插值方式规划。

(2)关节运动按抛物线过渡的线性插值方式规划。

解：（1）采用三次多项式插值函数规划其运动。

已知,4,80,50s t f f ==-=οοθθ代入可得系数为66.2,94.15,0,53210-===-=a a a a 运动轨迹：
()()()t
t t t t t t t 96.1588.3198.788.3166.294.155232-=-=-+-=•••
θθθ
（2）运动按抛物线过渡的线性插值方式规划：
,4,80,50s t f f ==-=οοθθ
根据题意，定出加速度的取值范围：
225.2116
854s οο=⨯≥•
•θ
如果选2
42s ο
=•
•θ，算出过渡时间1a t ，
1a t =[42
285
4244422422⨯⨯⨯-⨯-]=0.594s
计算过渡域终了时的关节位置1a θ和关节速度•
1θ，得
1a θ=οοο4.2)594.0422
1
(52=⨯⨯+-
s s a s t οο95.24)594.042(111=⨯==•
••θθ。