2020年湖南省常德市石门县第一中学高一数学文模拟试卷含解析

2020年湖南省常德市石门县第一中学高一数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数在区间[m,n]的值域为[1,4]，则的取值范围是（▲ ）
A. [8,12]
B.
C. [4,12]
D.
参考答案：
C
由题意得，函数在区间的值域为，
则当时，；当时，，
设，
其中表示点和点之间的距离，
当，此时取得最小值，所以，
当m=－2，n=2，此时取得最小值，所以z max=12，
所以的取值范围是，故选C.
2. 已知3∈{1，a，a﹣2}，则实数a的值为（）
A．3 B．5 C．3或 5 D．无解
参考答案：
B
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】根据元素与集合的关系进行判断．
【解答】解：3∈{1，a，a﹣2}，
当a=3时，那么：a﹣2=1，违背集合元素的互异性，不满足题意．
当a﹣2=3时，a=5，集合为{1，5，3}满足题意．
∴实数a的值为5．
故选B 3. 在中，若，则是（）
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形
参考答案：
B
4. 关于的方程有一个根为则此三角形为()
等腰三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形
参考答案：
A
略
5. 在平行四边形中，下列结论中错误的是
A．
B．C．D．
参考答案：
B
略
6. 若函数y=x2+(2a-1) x+1在区间(－∞,2上是减函数，则实数a的取值范围是（▲）
A.，+∞)
B.－，+∞)
C.(－∞,－
D.(－∞，
参考答案：
C
略
7. 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与
半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为
A． B． C． D．
参考答案：
C
8. 如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，我们把叫做的正割，记作
；把叫做的余割，记作. 则=
A. B. C. D.
参考答案：
A
略9. 若函数在一个周期内的图象如下图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 在正四面体A－BCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动(P不与A，M重合)，过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：
①BC⊥平面AMD；
②Q点一定在直线DM上；
③V C－AMD＝4．
其中正确的是()
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数，为偶函数，则_______.
参考答案：
【分析】 根据诱导公式以及
的取值范围，求得
的值.
【详解】根据诱导公式可知，是的奇数倍，而
，所以
.
【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查三角函数的奇偶性，属于基础题. 12. 设
表示不大于的最大整数，则方程
的实数解的个数是___________.
参考答案：
由表示不大于的最大整数，即，又，即，解得：
，所以
，代入，均不成立，则方程解得个数为0. 13. 满足
的集合
的个数为_________.
参考答案：
8
14. （4分）已知||=4，||=5，与的夹角为60°，那么|3﹣
|=
．
参考答案：
考点： 平面向量数量积的含义与物理意义；向量的模；向量的线性运算性质及几何意义． 专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 由数量积的运算，可先求，求其算术平方根即得答案．
解答： 由题意可得：
==9
=9×42
﹣6×4×5×cos60°+52
=109
故=
，
故答案为：
点评： 本题考查向量的数量积的运算和模长公式，属基础题．
15. 已知数列满足：
，定义使为整数的
数
叫做企盼数，则区间
内所有的企盼数的和为 .
参考答案：
略
16. 若二次函数
的图象和直线y=x 无交点，现有下列结论：
①方程
一定没有实数根；
②若a>0，则不等式
对一切实数x 都成立；
③若a<0，则必存存在实数x 0，使；
④若
，则不等式
对一切实数都成立；
⑤函数的图像与直线也一定没有交点。

其中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）.
参考答案：
①②④⑤ 因为函数
的图像与直线
没有交点，所以
或
恒成立.
①因为
或
恒成立，所以没有实数根；
②若
，则不等式对一切实数都成立； ③若
，则不等式
对一切实数都成立，所以不存在，使
；
④若，则
，可得
，因此不等式
对一切实数都成立；
⑤易见函数，与f(x)的图像关于轴对称，所以和直线也一定没有
交点.
17. 若
,且,则的取值范围为
.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过、
、三点，M 是直线AD 上的动点，是过点
且互相垂直的两条直线，其中交
轴于点
，交圆C 于P 、Q 两
点． （1）若，求直线的方程；
（2）若是使
恒成立的最小正整数，求三角形EPQ 的面积的最小值．
参考答案：
(1) (2)
【分析】
（1）求出圆心与半径，设方程为：
，因为
，则直线到圆心的距离
，即可求直线
的方程.
（2）设
，由点
在线段
上，得
，因为
，所以
.
依题意知，线段与圆
至多有一个公共点，所以
，由此入
手求得三角形
的面积的最小值
【详解】解：（1）由题意可知，圆
的直径为
，所以圆
方程为：
.
设方程为：，则
，解得
，
，
当
时，直线与
轴无交点，不合，舍去．
所以
，此时直线的方程为
.
（2）设，由点在线段上，得，即.
由
，得
.
依题意知，线段
与圆
至多有一个公共点，
故，解得
或
. 因为是使恒成立的最小正整数，所以
.
所以圆
方程为：
(i) 当直线时，直线的方程为，此时，
(ii) 当直线的斜率存在时，
设的方程为：
，则的方程为：
，点
.
所以
.
又圆心
到
距离为
，所以
故
因为，所以.
【点睛】本题考查圆锥曲线与直线问题，涉及到的知识点有求圆的方程，直线方程，点到直线的距离公式，以及恒成立问题等，解题的关键是求出圆的方程，属于偏难题目。

19. 已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=-x2+ax.
（1）若a=-2，求函数f (x)的解析式；
（2）若函数f (x)为R上的单调减函数，
①求a的取值范围;
②若对任意实数m,f (m-1)+f (m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案：
(1) .
(2) ①a≤0②t>.
【详解】（1）当时，，又因为为奇函数，
所以
所以
（2）①当时，对称轴，所以在上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，
又在上，在上，
所以当a0时，为R上的单调递减函数
当a>0时，在上递增，在上递减，不合题意
所以函数为单调函数时，a的范围为a…
②因为，∴
所以是奇函数，∴
又因为为上单调递减函数，所以恒成立，所以恒成立，所以
20. (13分)函数y=f(x)满足f(3+x)=f(1－x), 且x1, x2∈(2, +∞)时, ＞0成立,
若f(cos2θ+2m2+2)＜f(sinθ+m2－3m－2)对θ∈R恒成立.
(1) 判断y=f (x)的单调性和对称性;
(2) 求m的取值范围.
参考答案：
解: (1) 由f (3+x)=f (1－x) f (2+x)=f(2－x) ∴y=f (x)的对称轴为x=2……………2分
当2＜x1＜x2时, f (x1)＜f (x2); 当2＜x2＜x1时, f (x2)＜f (x1)
∴y=f (x)在(2, +∝)上为增函数, 在(－∞, 2)上为减函数…………4分
(2) 由f(cos2θ+2m2+2)＜f(sinθ+m2－3m－2)|cos2θ+2m2|＜|sinθ+m2－3m－4|
即m2－3m－4+sinθ＞cos2θ+2m2(i) 或m2－3m－4+sinθ＜－cos2θ－2m2(ii)恒成立
……………………………………………………………………………………7分
由(i)得m2+3m+4＜－cos2θ+sinθ=(sinθ+)2－恒成立, ∴m2+3m+4＜－
4m2+12m+21＜0恒成立, 无解………………………………10分
由(ii) 得3m2－3m－4＜－cos2θ－sinθ=(sinθ－)2－恒成立3m2－3m－4＜－
12m2－12m－11＜0＜m＜……………………13分
略
21. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
参考答案：
【考点】HX：解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
22. （本小题满分9分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）两数中至少有一个奇数的概率；
（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x,y）在圆x2+y2=15的内部的概率．
参考答案：
解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件
（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，
所以P（A）=；答：两数之和为5的概率为．。

3分（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P
（B）=；答：两数中至少有一个奇数的概率．。

6分（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件，所以P
（C）=．答：点（x,y）在圆x2+y2=15的内部的概率。

9分
略。